仝建
待定系數(shù)法是求直線及圓的方程的重要方法之一.一般需根據(jù)已知曲線類型,先設出方程表達式,然后由所給條件來確定未知系數(shù),這樣的方法就叫待定系數(shù)法,
下面結合幾個例子給同學們談談如何使用待定系數(shù)法求解相關的問題.一、求直線的方程
例1 直線z過點(5,10)且到原點的距離為5,求直線l的直線方程.
點評 直線的點斜式方程是使用頻率較高的一種直線方程形式,在使用時,需要考慮斜率是否存在,只有當直線的斜率存在時,才可以設其為點斜式方程,
另外,最后作答時,若沒有特別說明,一般需將直線的方程寫成一般式.
例2 已知直線z過點M(3, -4),且在兩坐標軸上的截距相等,求直線l的方程.
解析 若直線z過原點,則k=-4/3,所以y= -x,即4x+3y=0.
若直線l不過原點,因為l在兩坐標軸上的截距相等,所以設直線l的截距式方程為x/a+y/a=l,即x+y=a.
又因為l過點M(3,-4),所以a=3+(-4)=-1,所以直線l的方程為x+y+1=0.
綜上知,直線l的方程為4x+3y=0或x+y+1=0.
點評 在求直線方程時,選擇適當?shù)男问?,有助于運算的簡化.例2中當l不過原點時,使用直線的截距式方程較方便.
同樣也需要注意截距式方程的適用條件,只有當縱橫截距都存在且均不為零時才能使用,
例3 在平面直角坐標系xoy中,點A(0,3),直線l:y=2x-4.設圓C的半徑為1,圓心C在l上,也在直線y=x-1上,過點A作圓C的切線,求切線的方程.
解析 由圓心C是直線y=2x-4和y=x-1的交點,解得點C(3,2),所以過點A作圓C的切線斜率必存在.得k=0或k=-3/4.
故所求切線方程為y=3或3x+4y12=0.
點評 本題設直線的斜截式方程,與點斜式方程一樣,也需在直線斜率存在的條件下才能使用,
二、求圓的方程
點評 根據(jù)條件選擇恰當?shù)膱A的方程(標準方程或一般方程),會簡化運算.一般的,條件中給出圓心、半徑的信息較多時,設網的標準方程會更方便.
例5 圓c通過不同的三點P(k,0),Q(2,0),R(O,1),已知圓C在點P處的切線斜率為1,求圓C的方程.
解析 圓C的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=O,則易知k和2為x2+Dx+F=O的兩根,
由韋達定理,可知k+2=-D,2k=F,即D=-(k+2),F(xiàn)=2k,
義網過點R(O,1),故1+E+F一0.所以E一 2k 1.
故所求網的方程為x2+y2-(k+2)x(2足+1)V+2k一O,從而可知圓心坐標為((k+2)/2,(2k+1)/2).
因為圓C在點P處的切線斜率為1,所以kCP=-1=(2k+1)/(2-k),解得k=-3.
所以D=l,E=5,F(xiàn)=-6.
故網C的方程為x2+y2+x+5y6=0.
點評 已知圓上的三個點的坐標信息,通常設圓的一般式方程更方便,例5中還需注意圓的幾何性質(過切點的直線與圓心和該切點的連線垂直),建立方程求出未知參數(shù).
圓的幾何性質還有很多,較常用的是垂徑定理,直徑所對的圓周角為直角等,熟知這些性質有助于建立方程,求解未知參數(shù)的值.
二、總結
請同學們總結一下,待定系數(shù)法解題的關鍵是依據(jù)已知,正確列出等式或方程.使用待定系數(shù)法解題的基本步驟有三步:
第一步,確定所求問題含有待定系數(shù)的一般解析式;
第二步,根據(jù)待定系數(shù)的個數(shù)和恒等的條件,列出一組(一般與待定系數(shù)的個數(shù)相同)含待定系數(shù)的方程;
第三步,解方程組或者消去待定系數(shù),從而使所求問題得以解決.endprint