簡簡單單 妙用無窮

張素芝

在平面直角坐標(biāo)系中，任何一條直線都有一個表示這條直線的關(guān)于x，y的二元一次方程；任何關(guān)于x，y的二元一次方程都表示一條直線，即方程Ax+By+C=O（A，B不同時為0）叫作直線的一般式方程.關(guān)于直線的方程我們一共學(xué)習(xí)了五種形式，即點斜式、斜截式、兩點式、截距式和一般式.但是，除了一般式以外的其余四種方程形式都有其局限性.例如，l為一條垂直于x軸的直線且過點（2，6），直線l的方程：x-2=0但直線l不存在點斜式和斜截式方程（因為直線l的斜率不存在），直線l也不存在兩點式和截距式方程（因為直線l上任意兩點的橫坐標(biāo)都相同，而且縱截距不存在）.說到這里，我們似乎已經(jīng)看到了直線的一般式方程的優(yōu)越之處.不過這只是其一，即它能表示平面內(nèi)的任何一條直線.

下面，我們再探討一下直線的一般式方程還有何優(yōu)越之處.一、用直線的一般式方程判斷兩條直線的位置關(guān)系

已知直線l₁：A₁x+B₁y+C₁=O，直線l₂：A₂x-+B₂y+C₂=0，則有

l₁∥l₂→A₁B₂-A₂B₁，=0且B₁C₂B₂C₁≠0；

l₁與l₂重合→A₁=λA₂，B₁=λB₂，C₁，λC₂（≠0）：

l₁⊥l₂→A₁A₂+B₁B₂=0；

l₁與l₂相交→A₁B₂≠A₂B₁.

當(dāng)然，我們除了以上方法還可以用直線的斜截式方程對應(yīng)的結(jié)論來進(jìn)行判斷，但是由于斜截式方程要求直線的斜率必須存在，使其應(yīng)用起來有所限制.所以，盡管以上結(jié)論并不是用來判定兩直線位置關(guān)系的唯一方法，但確實是最方便有效、最快捷的方法.

例1 已知直線l₁：ax+2y+6=0和直線l₂：x+（a-1）x+a²-1=0，（1）試判斷兩條直線是否平行；（2）l₁⊥l₂時，求a的值.

解 （1）若兩條直線平行，則需要滿足a（a-l）-2Xl=0

2（a²-1）-6（a-1）≠0，解得a=-1或2，a≠1或2，即a=-1，所以當(dāng)a=-1時， l₁與l₂平行

（2）因為l₁⊥l₂，所以a+2（a-1）=0，解得a=2/3.

解決以上兩個問題不需要使用斜截式方程對應(yīng)的結(jié)論，那樣只是舍簡求繁.我們只需直接應(yīng)用一般式方程對應(yīng)的結(jié)論即可，解題過程簡捷快速，而且容易理解.

二、用直線的一般式方程求點到直線的距離、兩平行線間距離

我們在遇到求點到直線的距離，或者是兩平行線間的距離時，直線的方程一定化成Ax+By+C=O（A，B不同時為0）的形式，再應(yīng)用以上兩個公式對應(yīng)求解.這便體現(xiàn)了直線的一般式方程義一個優(yōu)越之處.

例2 求過點P（2，-1）且與原點的距離為2的直線l的方程.

分析 對于以上問題，我們易分析出滿足條件的直線有兩條，其中一條直線可直接觀察出來為x=2，那么另一條直線便不是通過觀察就能得到的.思考解決辦法，只有先設(shè)方程后應(yīng)用點到線的距離公式.

例3若O（0，0），A（4，-1）兩點到直線ax+a²⊥l₂y+6發(fā)現(xiàn)滿足條件的直線不只一條，可能是多條.那么，我們需要一一分析、一一求解嗎？如果我們將題中條件轉(zhuǎn)化為點到直線的距離公式求解，一切情況便可統(tǒng)一處理，解法一目了然，清晰透徹.

分析 先由兩直線平行的條件求m的值，再由兩平行直線間的距離公式求n，整個過程都需要應(yīng)用直線的一般式方程解決問題.

三、直線系問題

在直線系問題中，我們總結(jié)的一系列結(jié)論也都是應(yīng)用直線的一般式方程求得，可觀察以下結(jié)論：

以上五條結(jié)論均適用于求符合條件的任何直線，不會有漏解的情況.這也更加體現(xiàn)了直線的一般式方程應(yīng)用之廣，應(yīng)用之便.如果在求直線方程的過程中，有一個已知條件，另一個條件待定時，便可從以上幾點中選用合適的直線系方程來解決.

綜上，已經(jīng)能充分說明直線的一般式方程大有用處.在解決平行直線間的問題或是點到直線的距離問題時，把直線方程化為一般式形式，然后應(yīng)用公式解決問題，這個過程就體現(xiàn)了直線的一般式方程的一般性.可以說，直線的一般式方程是對直線方程的系統(tǒng)性和整體性的完美展現(xiàn).endprint