舉題說法：“直線、圓”典型問題探究

徐茂炳

【編者的話】親愛的同學(xué)們，解析幾何的本質(zhì)是利用代數(shù)方法解決幾何問題，這類問題的突破口往往是圖形，然后把問題“臺階式”分解，達(dá)到化大為小的目的.希望今天的探究能幫助大家突破直線和圓方面的難點(diǎn).

1.已知△ABC的一條內(nèi)角平分線CD的方程為2x+y-1=0，兩個頂點(diǎn)為A（l，2），B（ 1， 1），求頂點(diǎn)C的坐標(biāo).

同學(xué)們，題目要求我們求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，一般情況我們先設(shè)出其坐標(biāo)，然后如何利用角平分線建立等量關(guān)系呢？初中我們知道“角平分線上的點(diǎn)到角的兩條邊距離相等”，從這個結(jié)論出發(fā)求解的難點(diǎn)是什么？（直線AC，BC方程比較復(fù)雜）那么角平分線還有什么性質(zhì)呢？

請問，“已知三角形兩個頂點(diǎn)A，B和另一頂點(diǎn)C的角平分線，我們?nèi)绾巫鞒鲰旤c(diǎn)C？”我們可以作A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A'，然后直線A'B和l的交點(diǎn)即為點(diǎn)C.

解 設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線的對稱點(diǎn)A'（m，n），則直線2x+y-1=0是線段AA'的中垂線，所以（n-2）/（m-1）=1/2，2×（m+1）/2+（n+2）/2-1=0，

即m-2n=-3，2m+n=-2

解m=-7/5，n=4/5.所以A'（-7/5，4/5）

（這個方程組怎么來的？中垂線即垂直平分線，垂直利用斜率，平分利用中點(diǎn)）

因為B（-l，-1），所以直線BC的斜率為9/2，所以直線BC的方程為y=-9/2x-11/2.所以聯(lián)立方程組y=-9/2x-11/2，2x+y-1=0，解得x=-13/5，y=31/5，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-13/5.31/5）

2.求證：四點(diǎn)A（O，1），B（2，1），C（3，4），D（-1，2）共圓.

同學(xué)們，如果給你四個點(diǎn)，你如何判斷四點(diǎn)共圓？

思路1，根據(jù)不共線的三點(diǎn)共圓，我們可以求出其中三個點(diǎn)構(gòu)成的圓的方程，然后用第四個點(diǎn)檢驗；思路2，四邊形對角互補(bǔ).

那么從計算角度來說，思路1比較好操作.已知三點(diǎn)求圓的方程，我們可以設(shè)一般方程，然后解三元一次方程組，也可以聯(lián)立垂直平分線的方程組（尺規(guī)作圖的過程）.

證明 因為A，B，C三點(diǎn)不共線，（為什么交代這個？這三點(diǎn)的選擇有沒有要求呢？）

所以設(shè)過A，B，C三點(diǎn)的網(wǎng)的一般方程為x²+y²+Dx+Ey+F=O，

（如果設(shè)方程（x-a）²+（y-b）²=r²，r>O，則先求線段AB和線段AC的中垂線，請同學(xué)們自己試試看，并比較解法間的難易）所以，代入得1+E+F=0，5+2D+E+F=0，25+3D+4E+F=0

解得D=-2，E=-6，F(xiàn)=5所以網(wǎng)的方程為X²+y²-2X-6Y+5=0.

因為D（-1，2）代入網(wǎng)的方程滿足1+4+2-12+5=0，所以A，B，C，D四點(diǎn)共圓.

3.過點(diǎn)P（3，0）有一條直線Z，它夾在兩條直線l₁：2x-y-2=0和l₂：x+y+3=0之間的線段恰好被P平分，求直線l的方程.

題目要求我們已知一點(diǎn)P求直線l的方程.一般情況我們設(shè)其斜率為k（這時候容易漏掉斜率不存在的情況，這是點(diǎn)斜式的缺陷），然后聯(lián)立方程組，由直線l和l₁.求點(diǎn)A，直線l和₂：求點(diǎn)B，利用AB的中點(diǎn)為P即可解答，

解 設(shè)直線l與₁，的交點(diǎn)為A，直線l與l₂：的交點(diǎn)為B.

當(dāng)Z的斜率不存在時，A（3，4），B（3，-6）不成立（同學(xué)們，防止漏掉斜率不存在的情況）；

當(dāng)l的斜率存在時，設(shè)直線Z的方程為y=k（x-3），2x-y-2=0，y=k（x-3），解得x=（3k-2）/（k-2），y=4k/（k-2），所以A（（3k-2）/（k-2），y=4k/（k-2））由x+y+3=0，y=k（x-3），解得x=（3k-3）/（k+1），y=6k/（k+1），所以B（（3k-3）/（k+1），-6k/（k+1））

（方程組中把k看成常數(shù)，解方程組是這道題的難點(diǎn)，消元求解）

因為P為線段AB的中點(diǎn)，所以4k/（k-2）-6k/（k+1）=0.

（這個等式是利用A，P，B縱坐標(biāo)的關(guān)系，橫坐標(biāo)可以嗎？）

由題意可知k≠0，所以k=8，所以直線l的方程為y=8（x-3）.

這種解法思路比較自然，利用點(diǎn)斜式，難點(diǎn)在于求解A，B的坐標(biāo).但是我們?nèi)绻苯釉O(shè)A，B的坐標(biāo)呢？

解 設(shè)A（a，2a-2），B（b，-b-3），（因為A，B分別在直線l₁，l₂上）

因為P為線段AB的中點(diǎn)，所以有

a+b=6

2a-2-b-3=0

所以a=11/3（為什么只要求點(diǎn)A即可）

則A（11/3，16/3），由P（3，o）可知斜率為k=8，所以直線l的方程為y=8（x-3）.

這種解法計算過程比較簡單，回避了聯(lián)立方程組求解的過程.從直線的構(gòu)成要素（點(diǎn)）出發(fā)，直接設(shè)點(diǎn)，然后利用中點(diǎn)求解，方法比較巧妙，

探究 同學(xué)們，根據(jù)上題，你能否利用初中所學(xué)的知識解釋：“當(dāng)P為中點(diǎn)時，△ABM的面積最小”？

解釋 過點(diǎn)P任意作一條直線分別交l₁，l₂于點(diǎn)D，E，過點(diǎn)B作/.的平行線交直線DE于點(diǎn)F₁，l₁，l₂交于點(diǎn)M，下面證明S△ABM<△SDEM.

由S△_ABM—S_{四邊形DPBM}+S_APD

=S_{四邊形DPBM}+S△P_PFB

=S_{四邊形DFBM}，

知S△_DEM一S△S_ABM>0，結(jié)論成立.endprint