數(shù)學(xué)概念偷換不得

黃鵬程

李邦河院士說：“數(shù)學(xué)是玩概念的，而不是純粹的技巧.”對數(shù)學(xué)概念的理解是學(xué)好數(shù)學(xué)的最為重要的一項(xiàng)T作，然而很多同學(xué)對此不屑一顧，往往專注于對解題技巧的積累而忽視對數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)和理解，常常因偷換概念而形成一些似是而非的認(rèn)識(shí)，最終影響問題的解決.

1.對數(shù)運(yùn)算

課本中給出的對數(shù)運(yùn)算法則是：

當(dāng)a>0且a≠1，M>O，N>O時(shí)，有l(wèi)og_a（MN） =log_aM+log_aN.

經(jīng)常有同學(xué)給出錯(cuò)誤的運(yùn)算：

log₂（ab） =log₂a+log₂b.

產(chǎn)生這個(gè)錯(cuò)誤的根源是偷換了“方程中等于”和“運(yùn)算中等于”的概念.數(shù)學(xué)概念往往兼有“過程操作”與“對象結(jié)構(gòu)”的二重性.數(shù)學(xué)中“等于”在概念以及數(shù)與式的運(yùn)算中具有過程性，它表示由等號前的算式經(jīng)運(yùn)算得出等號后的結(jié)果的過程指向，在式的恒等變形中蘊(yùn)含著“往下繼續(xù)算”的操作屬性；而方程中的“等于”意義則不同，它沒有過程性指向，只有結(jié)構(gòu)意義，表示了等號兩邊代數(shù)式的一種關(guān)系.

因此，log₂a+log₂b=log₂（ab）是正確的運(yùn)算（其中的“一”是“運(yùn)算中等于”的意思），因?yàn)榈忍栕筮叺膬蓚€(gè)對數(shù)式隱含了“6”均大于O，從而等號右邊的ab也就大于O；反過來，log₂（ab）=log₂a+log₂b 就是錯(cuò)誤的運(yùn)算，因?yàn)榈忍栕筮叺膶?shù)式只隱含了ab大于0，即a，b同號，當(dāng)a，b均小于0時(shí)，顯然等號右邊的兩個(gè)對數(shù)式便失去意義.

2.函數(shù)零點(diǎn)

關(guān)于函數(shù)零點(diǎn)，課本中給出的定義是：一般地，我們把使函數(shù)y=f（x）的值為0的實(shí)數(shù)x稱為函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn).

因此，函數(shù)f（x）的零點(diǎn)就是方程f（x）=0的實(shí)數(shù)根.很多同學(xué)據(jù)此理解函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)就等于方程.f（x）=o的實(shí)根個(gè)數(shù).這個(gè)認(rèn)識(shí)其實(shí)是錯(cuò)誤的.

產(chǎn)生這個(gè)錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)的原因是偷換了“方程的解”與“方程的根”的概念.要想辯清這個(gè)概念，首先必須弄清何謂方程的根，何謂方程的解.事實(shí)上，方程的根是針對一元方程而言的，二元以上的方程只定義解，而不定義根.

對于一元方程而言，使方程f（x）一O成立的數(shù)稱為方程的根，也叫方程的解.方程的根可以是相等的，比方說一元二次方程有兩個(gè)相等的根（相等的根稱為重根，有幾個(gè)相等的根就稱為幾重根），但是方程的解一定是不等的，剛才說到的一元二次方程有兩個(gè)相等的根只能視為一個(gè)解.所以，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，當(dāng)一元方程不出現(xiàn)重根時(shí)，方程的根的個(gè)數(shù)與解的個(gè)數(shù)相同，當(dāng)出現(xiàn)重根時(shí)，重根只作一解.

結(jié)合以上實(shí)例不難看出，當(dāng)一元方程f（x）=0不出現(xiàn)重根時(shí)，函數(shù)y=f（x）零點(diǎn)個(gè)數(shù)等于方程實(shí)根個(gè)數(shù)，也等于方程實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)；而當(dāng)一元方程f（x）=o出現(xiàn)n重根時(shí)，由于這n個(gè)重根只視為方程的1個(gè)解，方程的解的個(gè)數(shù)就會(huì)小于方程的根的個(gè)數(shù)，方程f（x）-o的n重根對應(yīng)著函數(shù)y =f（x）的一個(gè)零點(diǎn)（稱為n階零點(diǎn)），函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)少于方程實(shí)根個(gè)數(shù)，而等于方程實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù).

實(shí)際上，我們把函數(shù)y=f（x）的圖象與橫軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)稱為這個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)，即一元方程f（x）=0的根；究其本質(zhì)而言，它是使函數(shù)y=f（x）的函數(shù)值為0時(shí)相應(yīng)的白變量的取值，是一個(gè)“數(shù)”的概念.從集合的角度來看，把一元方程f（x）一0的所有根寫成集合，那么相等的根自然只能記為一個(gè)（集合中的元素必須互異），這個(gè)集合就是方程的解集，其元素個(gè)數(shù)就是方程解的個(gè)數(shù).這樣，我們就不難理解：函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)就是方程f（x）=0的解，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)就是相應(yīng)方程實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù).進(jìn)一步說，一元n次函數(shù)y =f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)應(yīng)該小于或等于n個(gè).

從以上實(shí)例可以看出，正確理解數(shù)學(xué)概念，克服不當(dāng)?shù)倪w移（尤其是偷換概念）對于學(xué)好數(shù)學(xué)意義重大，希望同學(xué)們能引起足夠的重視.endprint