半無限彈性空間中移動(dòng)荷載動(dòng)力響應(yīng)的頻域—波數(shù)域比例邊界有限元法分析

雷曉燕　徐斌　徐滿清

摘要：基于Fourier積分變換和虛功原理，形成了頻域-波數(shù)域比例邊界有限元法，分析了移動(dòng)荷載作用下半空間域彈性空間動(dòng)力響應(yīng)。首先對(duì)半無限域彈性體的動(dòng)力控制方程進(jìn)行時(shí)間到頻域，荷載移動(dòng)方向的空間域到波數(shù)的Fourier積分變換，然后選擇比例中心，利用虛功原理，在地鐵隧道孔洞橫截面環(huán)向上采用有限元法意義離散，建立了頻域一波數(shù)域比例邊界有限元方程，進(jìn)而形成了一階微分矩陣方程形式的半無限空間動(dòng)力剛度。文中理論推導(dǎo)表明：利用文中方法分析半無限域中沿地鐵隧道結(jié)構(gòu)縱軸向的移動(dòng)荷載動(dòng)力響應(yīng)問題，不僅可避免無窮邊界計(jì)算處理誤差，而且可極大減小計(jì)算分析量。計(jì)算結(jié)果表明：半無限彈性地基的振動(dòng)響應(yīng)隨移動(dòng)荷載速度增大而增大，尤其是當(dāng)荷載速度增大到土體剪切波速后，振動(dòng)波傳播到土體表面引起土體振動(dòng)顯著增大，土體振動(dòng)性增大，將會(huì)對(duì)土體及表面結(jié)構(gòu)的安全性形成一定影響，另一方面土體的振動(dòng)在沿地鐵隧道縱軸向的衰減比豎向慢。

關(guān)鍵詞：土動(dòng)力學(xué)；半無限彈性空間；虛功原理；移動(dòng)荷載；頻域一波數(shù)域比例邊界有限元法

引言

對(duì)于半無限地基土體動(dòng)力響應(yīng)，采用有限元法，不可避免需建立有效的人工邊界與合理離散網(wǎng)格。盡管目前國內(nèi)外學(xué)者已建立了具有各自優(yōu)點(diǎn)的人工邊界模型動(dòng)力有限元法，分析無限域地基土體動(dòng)力問題，但仍不具有有限元意義上的精確性，即低階邊界精度不足、高階邊界穩(wěn)定性差，離散網(wǎng)格無限小時(shí)數(shù)值解難以后收斂到精確解。采用三維空間域的時(shí)域動(dòng)力有限元模型分析移動(dòng)荷載作用下半無限域動(dòng)力響應(yīng)，為保證計(jì)算精度，尤其是移動(dòng)荷載速度接近彈性體剪切波速時(shí)，要求地基離散范圍必須足夠大，單元尺寸足夠小，必然造成計(jì)算模型自由度增大，導(dǎo)致占用計(jì)算機(jī)資源較大、計(jì)算時(shí)間長，甚至其計(jì)算難以實(shí)現(xiàn)。為解決結(jié)構(gòu)-地基動(dòng)力相互作用問題中無限域動(dòng)力剛度計(jì)算，wolf&song對(duì)彈性動(dòng)力學(xué)基本方程采用坐標(biāo)變換和加權(quán)余量法，基于相似性和有限元法的算法，首次提出了比例邊界有限元方法。Deeks&Wolf應(yīng)用虛功原理重新推導(dǎo)了彈性靜力學(xué)問題的比例邊界有限元方程。目前比例邊界有限元法已應(yīng)用于時(shí)域、頻域中無限域波動(dòng)問題分析、無限地基的邊界動(dòng)力剛度矩陣等的求解，如：Deeks&Wolf應(yīng)用比例邊界有限元方法，求解了二維無限域的彈性靜力學(xué)問題。Song&wolf分析了各向異性材料的斷裂問題。林皋和杜建國分析了壩面動(dòng)水壓力問題。Zhang和wegner等利用比例邊界有限元方法求解出時(shí)域下無限地基的加速度單位脈沖響應(yīng)函數(shù)，分析了三維結(jié)構(gòu)-地基動(dòng)力相互作用。利用有限元來模擬結(jié)構(gòu)和近場(chǎng)地基，比例邊界有限元模擬結(jié)構(gòu)兩側(cè)的無限地基，邊界元模擬結(jié)構(gòu)底部無限地基，Genes&KOeak形成了FE-BE-SBFEM耦合法，分析了結(jié)構(gòu)-層狀地基動(dòng)力相互作用問題。

考慮到半空間域中的移動(dòng)荷載運(yùn)動(dòng)方向與無限域中結(jié)構(gòu)的縱軸向一致性，對(duì)荷載移動(dòng)方向采用空間域-波數(shù)的Fourier積分變換，可使3D空間轉(zhuǎn)化為2D平面問題計(jì)算，極大地減小計(jì)算工作量。同時(shí)利用比例邊界有限元法在環(huán)向上采用有限元法意義的離散，半無限徑向進(jìn)行準(zhǔn)確的解析求解，避免無限邊界計(jì)算誤差，形成頻域一波數(shù)域比例邊界有限元法，得到半無限域土體的精確動(dòng)力剛度，分析時(shí)間-空間域半無限域土體動(dòng)力響應(yīng)，目前尚未有文獻(xiàn)報(bào)道。基于此，本文擬利用荷載移動(dòng)方向的空間到波數(shù)域的Fourier積分變換，結(jié)合虛功原理，建立頻域-波數(shù)域內(nèi)的比例邊界有限元方程，分析時(shí)間-空間域移動(dòng)荷載作用下半空間的動(dòng)力響應(yīng)。