固體均勻弦振動(dòng)中數(shù)據(jù)處理與誤差分析

張 春 楊寧選

(石河子大學(xué)理學(xué)院物理系 新疆 石河子 832000)

固體均勻弦振動(dòng)實(shí)驗(yàn)是大學(xué)普通物理力學(xué)中的一個(gè)基礎(chǔ)、傳統(tǒng)教學(xué)實(shí)驗(yàn)，它驗(yàn)證了弦線上橫波的傳播規(guī)律，觀察固定均勻弦振動(dòng)傳播時(shí)形成的駐波波形，測(cè)量均勻弦線上橫波的傳播速度及均勻弦線的線密度[1～11]．通常采用實(shí)驗(yàn)方法有兩種：一是采用振動(dòng)頻率固定的電動(dòng)音叉，通過(guò)改變弦線長(zhǎng)度或張力，形成穩(wěn)定駐波，研究橫波的疊加現(xiàn)象，驗(yàn)證橫波的波長(zhǎng)與張力、線密度的關(guān)系；二是采用頻率連續(xù)可調(diào)的振動(dòng)體，改變弦長(zhǎng)或張力，形成穩(wěn)定駐波從而驗(yàn)證弦線上駐波的振動(dòng)規(guī)律[5]．方法一實(shí)驗(yàn)操作簡(jiǎn)便，實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象非常明顯，但該方法在測(cè)量波長(zhǎng)時(shí)，受實(shí)驗(yàn)條件的影響，測(cè)量弦長(zhǎng)的數(shù)據(jù)不是很精確[5]，為此本文將探討在數(shù)據(jù)處理中可以應(yīng)用最小二乘法，研究弦線上橫波的波長(zhǎng)與張力的關(guān)系，并利用Origin軟件進(jìn)行線性擬合，對(duì)波速和頻率及其誤差進(jìn)行計(jì)算，為實(shí)驗(yàn)操作者和實(shí)驗(yàn)教學(xué)者提供參考．

1 實(shí)驗(yàn)裝置及理論分析

弦振動(dòng)實(shí)驗(yàn)儀[1]如圖1所示，將弦線一端固定于電振音叉的一個(gè)腳上，另一端繞過(guò)定滑輪后掛一砝碼，弦線張力T的大小即是砝碼的重力．閉合開(kāi)關(guān)S后，調(diào)節(jié)音叉斷續(xù)器的接觸點(diǎn)螺絲S′，令音叉維持振幅恒定的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，可迫使弦線產(chǎn)生橫波向外傳播，并在端點(diǎn)D發(fā)生反射．由于前進(jìn)波與反射波的振幅相同，頻率相同，振動(dòng)方向相同且傳播方向相反，則當(dāng)C與D兩端間弦線的長(zhǎng)度滿(mǎn)足一定的條件時(shí)，前進(jìn)波與反射波在弦線上可產(chǎn)生干涉．

圖1 弦振動(dòng)實(shí)驗(yàn)裝置圖

(1)

(2)

弦振動(dòng)實(shí)驗(yàn)一端為振源，另一端固定，屬于有界弦的強(qiáng)迫振動(dòng)，初始時(shí)刻，式(1)滿(mǎn)足的初始條件為

(3)

如果振源以正弦函數(shù)方式振動(dòng)，式(1)滿(mǎn)足的邊界條件為

u|x=0=0u|x=l=sin(2πνt)

(4)

式中l(wèi)為弦長(zhǎng)，ν為振源的振動(dòng)頻率．因?yàn)橄业恼駝?dòng)在時(shí)間上是簡(jiǎn)諧的，所以對(duì)方程(1)分離變量后，求出的通解為

u(x,t)=(AeiΛx+Be-iΛx)ei2πνt

(5)

式中A與B是兩個(gè)積分常數(shù)，等號(hào)右側(cè)第一項(xiàng)表示自波源向固定端傳播的入射波，第二項(xiàng)則是由固定端反射回來(lái)向波源傳播的反射波，Λ是分離時(shí)所引入的常數(shù)．

2 實(shí)驗(yàn)原理

駐波是波的干涉現(xiàn)象的特例，產(chǎn)生駐波的條件為：振幅相同且在同一直線上沿相反方向傳播的兩列相干波．設(shè)前進(jìn)波沿x軸正方向傳播，則反射波沿x軸負(fù)方向傳播，取它們振動(dòng)相位始終相同的點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，且在x=0處振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)向上達(dá)到最大位移時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)，則前進(jìn)波的波動(dòng)表達(dá)式為

反射波的表達(dá)式為

其中，A為簡(jiǎn)諧波的振幅，ω為圓頻率，f為頻率，λ為波長(zhǎng)，x為弦線上質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)位置．兩列波疊加后形成駐波，其表達(dá)式為

(6)

式(6)表示駐波上各點(diǎn)都在做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，各點(diǎn)振動(dòng)的頻率相同，即是波的頻率，但是各點(diǎn)的振幅隨質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)位置的不同而不同，即各點(diǎn)的振幅為

(7)

其中，振幅為零的點(diǎn)稱(chēng)為波節(jié)，振幅最大的點(diǎn)稱(chēng)為波腹．駐波不是振動(dòng)狀態(tài)的傳播，也沒(méi)有能量的傳播，而是介質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)都做穩(wěn)定的簡(jiǎn)諧振動(dòng)．

可得波節(jié)的位置為

同理，可得波腹的位置為

則相鄰兩波節(jié)(或波腹)的距離為

(8)

因此，在實(shí)驗(yàn)中，當(dāng)C與D兩端間弦線的長(zhǎng)度等于半波長(zhǎng)的整數(shù)倍時(shí)，可觀察到駐波現(xiàn)象，此時(shí)只要測(cè)得相鄰兩波節(jié)或相鄰兩波腹的距離，就可以確定波長(zhǎng)

(9)

其中，n稱(chēng)為半波數(shù)．由波動(dòng)理論可證，沿著一條拉緊的弦線傳播橫波時(shí)，波的傳播速度v滿(mǎn)足

(10)

其中，T為弦線的張力，ρ為弦線的線密度 (即單位長(zhǎng)度的質(zhì)量)．

These last definitions allow an immediate calculation of the above parameters after finding the memristance curve(Fig. 1-Bottom), since R0, Ron and Roff are found from direct inspection. By substituting the definitions of NMR and NRS,Eq. (9) is transformed to:

若弦線的波動(dòng)頻率為f，弦線上傳播的橫波波長(zhǎng)為λ，則根據(jù)v=fλ及式(10)得

(11)

對(duì)式(11)兩邊取對(duì)數(shù)，得

(12)

式(12)為弦振動(dòng)的傳播規(guī)律．

3 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容及數(shù)據(jù)記錄

(1)首先用分析天平稱(chēng)出不同長(zhǎng)度弦線的質(zhì)量，然后用米尺測(cè)出其長(zhǎng)度，記錄在表1中．

表1 弦線的線密度

(2)取砝碼質(zhì)量依次為20 g,40 g,60 g,80 g,100 g,120 g,140 g,160 g,調(diào)節(jié)弦線的長(zhǎng)度，使弦線上出現(xiàn)穩(wěn)定的駐波，記錄半波數(shù)的個(gè)數(shù)和用米尺測(cè)量出弦線的長(zhǎng)度(測(cè)量5次)，記錄在表2中，在本實(shí)驗(yàn)中取力學(xué)實(shí)驗(yàn)室位置重力加速度的理論值[2]為g理論=9.808 m/s2．

4 數(shù)據(jù)處理及結(jié)果分析

(1)對(duì)于弦線的線密度，多次測(cè)量求平均值

其中

分析天平 Δ儀=0.000 1×10-3kg

米尺 Δ儀=0.000 1 m

總不確定度為

因此

表2 懸掛不同質(zhì)量砝碼時(shí)弦線的長(zhǎng)度和半波數(shù)

表3 lnλ～lnT的關(guān)系

(2)對(duì)于式(11)，兩邊取對(duì)數(shù)，有

設(shè)

y=lnλx=lnT

則y=ax+b；可以驗(yàn)證lnλ～lnT的線性關(guān)系．代入相應(yīng)的測(cè)量數(shù)據(jù)后，用最小二乘法計(jì)算a,b的值及相關(guān)系數(shù)R和靈敏度的值k．由于

得

根據(jù)最小二乘法處理數(shù)據(jù)的方法，有

(13)

(14)

可以計(jì)算出a=0.497 6,b=-0.685 3；關(guān)聯(lián)系數(shù)R=0.970 2，靈敏度的值k=0.497 6．從結(jié)果上看，關(guān)聯(lián)系數(shù)接近于1，說(shuō)明lnλ，lnT具有較好的線性關(guān)系．

用OriginPro7.5軟件可以進(jìn)行線性擬合，擬合的圖像如圖1所示．從圖1可以看出實(shí)際曲線和擬合曲線一致性非常好，lnλ和lnT滿(mǎn)足線性關(guān)系．

圖1 lnλ～lnT擬合關(guān)系曲線圖

圖2 m～vρ,vf關(guān)系曲線圖

表4 兩種波速及誤差的計(jì)算

5 小結(jié)

本文從波動(dòng)方程入手，推導(dǎo)出弦振動(dòng)時(shí)產(chǎn)生駐波的方程；得出弦振動(dòng)形成駐波時(shí)，波長(zhǎng)、弦中張力、頻率和弦線密度之間的關(guān)系．對(duì)弦振動(dòng)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)采用最小二乘法處理，并用OriginPro7.5軟件對(duì)lnλ～lnT進(jìn)行了線性擬合，分析了相對(duì)誤差．此外，本文用分析天平求弦線線密度時(shí)，計(jì)算了其不確定度，并采用兩種方法計(jì)算了弦線上行波的波速，對(duì)比了兩種波速的誤差度．

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