勻強(qiáng)磁場(chǎng)中任意剛性導(dǎo)線的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)

陳余華

(江西省大余中學(xué) 江西 贛州 341500)

黃亦斌

(江西師范大學(xué)物理與通信電子學(xué)院 江西 南昌 330022)

磁場(chǎng)中導(dǎo)體運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)是電磁感應(yīng)的一個(gè)重要內(nèi)容．而動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的計(jì)算也是高考和競(jìng)賽的重要考點(diǎn)，也是大家討論的一個(gè)熱點(diǎn)[1]．文獻(xiàn)[2]研究了較為一般的情況，即剛性直導(dǎo)線在垂直于勻強(qiáng)磁場(chǎng)的平面內(nèi)繞任一固定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)．其結(jié)論是，無論固定點(diǎn)在哪里，導(dǎo)線中的電動(dòng)勢(shì)都由其中點(diǎn)速度決定，并給出公式和相關(guān)證明．

本文欲將其結(jié)論推廣到更一般的情形，包括直導(dǎo)線的任意運(yùn)動(dòng)以及任意形狀的剛性導(dǎo)線的任意運(yùn)動(dòng)，并對(duì)結(jié)果給出更為嚴(yán)格和簡短的證明．

1 出發(fā)點(diǎn)

討論的出發(fā)點(diǎn)是一段導(dǎo)線微元dl在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)

dE=v×B·dl

(1)

該式不僅給出了電動(dòng)勢(shì)dE的大小，也給出了其符號(hào)，而且以沿dl方向?yàn)檎鶕?jù)矢量混合積的性質(zhì)，該電動(dòng)勢(shì)等于3個(gè)矢量v,B,dl所構(gòu)成的平行六面體的體積(可相差一個(gè)負(fù)號(hào))，如圖1所示．如果v,B,dl構(gòu)成右手系，則dE>0；若三者構(gòu)成左手系，則dE<0．當(dāng)然，如果v,B,dl中有任何兩個(gè)方向相同(或相反)，則dE=0．所有這些都與動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的通常判斷結(jié)果(包括大小和方向)相同．

圖1 混合積v×B·dl

還需對(duì)剛體的運(yùn)動(dòng)做一陳述．在剛體上取一點(diǎn)D，稱為基點(diǎn)，則剛體的任一運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可視為隨基點(diǎn)的平動(dòng)和繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)的合成．平動(dòng)由vD表征，轉(zhuǎn)動(dòng)由角速度ω表征．這里的角速度矢量沿轉(zhuǎn)軸，且由右手螺旋法則確定：伸出右手，讓四指繞向與旋轉(zhuǎn)方向一致，則大拇指的指向就是角速度的方向．這樣，剛體上任一點(diǎn)P的速度為

v=vD+ω×r

(2)

其中r為點(diǎn)P相對(duì)于點(diǎn)D的位置矢量．基點(diǎn)可以任取，從而vD和r隨之變化；但無論取哪一點(diǎn)為基點(diǎn)，剛體的角速度ω是確定的．

2 直導(dǎo)線做任意運(yùn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)

結(jié)論一：剛性直導(dǎo)線在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做一般運(yùn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)，等于它以中點(diǎn)速度做平動(dòng)而產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)

E=B×l·vC=B·l×vC

(3)

如果導(dǎo)線限制在某平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)(比如垂直于磁場(chǎng)的平面，即文獻(xiàn)[2]所考慮的情形)，那么此時(shí)可以用圖2來對(duì)結(jié)論一進(jìn)行說明．導(dǎo)線從位置AB運(yùn)動(dòng)到A′B′時(shí)掃過的面積，與導(dǎo)線僅做平動(dòng)而運(yùn)動(dòng)到A″B″時(shí)所掃過的面積，二者顯然相等．故兩種運(yùn)動(dòng)所切割的磁通量相同，電動(dòng)勢(shì)相同．

圖2 做平面運(yùn)動(dòng)的直導(dǎo)線

對(duì)于更一般的情形，可對(duì)結(jié)論一做如下說明：在中點(diǎn)兩邊對(duì)稱地取兩段微元，它們的速度都是中點(diǎn)速度加上相對(duì)于中點(diǎn)的速度．它們的后一相對(duì)速度一定相反，對(duì)總電動(dòng)勢(shì)的貢獻(xiàn)相反，從而只剩下各自的中點(diǎn)速度導(dǎo)致的貢獻(xiàn)．由于相對(duì)運(yùn)動(dòng)的效應(yīng)成對(duì)抵消，故而最終只剩下共同的、中點(diǎn)速度導(dǎo)致的效應(yīng)．

結(jié)論一的嚴(yán)格證明如下.

v=vC+ω×xe

(4)

將其代入式(1)，考慮到微元為dl=dxe，積分，并注意vC,ω,e,B在積分時(shí)都是常矢量，得

EAB=BLvCcosθ=ωBS

(5)

圖3 處于勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的導(dǎo)線

3 一般閉合回路中的電動(dòng)勢(shì)

結(jié)論二：對(duì)于勻強(qiáng)磁場(chǎng)中任意形狀的剛性線圈，其做任意運(yùn)動(dòng)時(shí)的總電動(dòng)勢(shì)為

E=B·S×ω=B×S·ω

(6)

其中S為其面積矢量．

這里先對(duì)面積矢量作些說明．

(1)面積矢量僅對(duì)回路才有定義．不閉合的導(dǎo)線沒有“面積矢量”一說．

(2)對(duì)于平面回路，其面積矢量的大小就是回路面積的大小，其方向沿回路平面的法向，且由右手螺旋法則確定：四指繞向與回路的繞向(電流或電動(dòng)勢(shì)的正方向)相同，則大拇指的方向即為S的方向．

(4)N匝線圈的面積矢量是單匝線圈的面積矢量的N倍．如果匝與匝之間距離較大，或者線圈的繞行相當(dāng)任意，那么可用下面的一般公式定義其面積矢量

(7)

(5)回路的面積矢量顯然跟原點(diǎn)的位置無關(guān)，而式(7)正滿足這一條，雖然表面上它似乎跟原點(diǎn)的位置有關(guān)．這是因?yàn)?，原點(diǎn)換成O′時(shí)，r′=r+rO(圖4)．由于rO為常矢量，故

dr′=dr

于是

其中用到了∮dr=0．

圖4 面積矢量

對(duì)于常見的矩形線圈旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生電動(dòng)勢(shì)的問題中，當(dāng)線圈平面與B平行時(shí)，線圈的電動(dòng)勢(shì)最大，且最大值為BSω．用式(6)來解釋，那是因?yàn)榇藭r(shí)B，S與ω兩兩垂直．仔細(xì)分析還表明，式(6)也正確反映了電動(dòng)勢(shì)的方向(注意電動(dòng)勢(shì)的正方向就是回路的繞向)．而圖3中的回路ABODA的電動(dòng)勢(shì)依式(6)計(jì)算為

E=Bey×[-S(ex+ey)]·ωez=BSω

(8)

當(dāng)然，式(8)也可以通過分析回路每段的電動(dòng)勢(shì)而得到．

可以根據(jù)式(6)來判斷線圈的電動(dòng)勢(shì)何時(shí)為零.這包括以下情形：

(1)ω=0，即線圈只做平動(dòng)，無轉(zhuǎn)動(dòng)；

(2)ω,B同向，即線圈的轉(zhuǎn)軸沿磁場(chǎng)方向；

(3)ω,S同向．對(duì)于平面線圈而言，這意味著線圈的轉(zhuǎn)軸垂直于線圈平面；

結(jié)論二的證明如下.

任取線圈剛體的基點(diǎn)D，把式(2)代入式(1)，積分，得

E=∮dE=∮(vD+ω×r)×B·dr=
vD×B·∮dr+∮dr×(ω×r)·B

其中vD,ω,B為常矢量，而

dr×(ω×r)=ω(r·dr)-(ω·dr)r=

其中rr為并矢(二階張量)．由于

故

S×ω·B=B×S·ω

其中，用到了面積矢量的定義(7)．證畢．

4 任意形狀的導(dǎo)線中的電動(dòng)勢(shì)

結(jié)論三：對(duì)于任意形狀的剛性導(dǎo)線ALB，其在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)由兩部分構(gòu)成：直導(dǎo)線AB的電動(dòng)勢(shì)和回路ALBA的電動(dòng)勢(shì)，即

EALB=EALBA+EAB

(9)

該結(jié)論的證明非常簡單，幾乎不需要文字說明，僅圖5足矣．

圖5 一般剛性導(dǎo)線的電動(dòng)勢(shì)

于是，根據(jù)結(jié)論一和結(jié)論二，導(dǎo)線ALB的電動(dòng)勢(shì)為

EALB=B×S·ω+B×l·vC

(10)

對(duì)于直導(dǎo)線，式(9)和(10)的第一項(xiàng)為零；對(duì)于閉合線圈，它們的第二項(xiàng)為零. 而對(duì)于圖3中非閉合的空間導(dǎo)線BODA，根據(jù)結(jié)論三，其電動(dòng)勢(shì)應(yīng)該為回路BODAB的電動(dòng)勢(shì)與直線BA的電動(dòng)勢(shì)之和．前者由式(8)給出，后者與式(5)相反，故導(dǎo)線BODA電動(dòng)勢(shì)為零.(當(dāng)然，直接分段考慮也可得到該結(jié)論．)

1 楊培軍，王鵬.數(shù)學(xué)平均值在物理上的應(yīng)用.物理通報(bào)，2015(5):22～25

2 徐洪圖，竇人鏡.導(dǎo)體棒轉(zhuǎn)動(dòng)切割磁感線問題探微.物理通報(bào)，2017(3):52 ～ 53