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    人工骨支架結(jié)構(gòu)的單元設(shè)計(jì)及分析

    2018-03-05 03:03:01齊建昌
    關(guān)鍵詞:桿系楊氏模量空隙

    楊 輝,齊建昌

    (東南大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,江蘇 南京 211189)

    在組織工程學(xué)領(lǐng)域,支架起著支撐及引導(dǎo)組織再生的功能,理想的支架要與真實(shí)骨的力學(xué)性能相匹配。三維周期性極小曲面(TPMS)[1-2],由于其孔徑大小、孔的形狀、空隙率可控以及孔與孔之間相互連通等優(yōu)點(diǎn),為設(shè)計(jì)者提供了較大的自由度,故用TPMS設(shè)計(jì)支架引起學(xué)者的廣泛關(guān)注。

    文獻(xiàn)[3]用TPMS單元庫(kù)中的IWP分別于P、G融合,生成結(jié)構(gòu)上更加復(fù)雜的支架,并在CATIA CAE模塊模擬支架的受力情況,分析支架的應(yīng)力分布;文獻(xiàn)[4]使用薄板樣條徑向基函數(shù)設(shè)計(jì)非均質(zhì)化支架,計(jì)算G單元在不同空隙率下的楊氏模量。

    文獻(xiàn)[5]在Rhino中設(shè)計(jì)12種多面體單元,并在ABAQUS中分析單元在彈性形變范圍內(nèi)的受力情況,比較不同單元的楊氏模量;文獻(xiàn)[6]使用模擬和實(shí)驗(yàn)的方法分析TPMS單元的塑性變形過(guò)程,重點(diǎn)研究了P、D單元在體積分?jǐn)?shù)為30%和60%時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變曲線;文獻(xiàn)[7]在ANSYS中分析Kelvin單元的彈性變形過(guò)程,主要研究了單元的體積分?jǐn)?shù)與楊氏模量之間的關(guān)系,并用實(shí)驗(yàn)的方法驗(yàn)證了模擬結(jié)果。

    文獻(xiàn)[8]在ABAQUS中分析G單元的彈性變形過(guò)程,主要研究了空隙率為55%和70%兩個(gè)模型,并在Fluent中模擬了支架內(nèi)部的流動(dòng)性;文獻(xiàn)[9]主要研究P、IWP單元的空隙率與曲面厚度以及曲面半徑之間的關(guān)系,并在ABAQUS中分析曲面厚度、曲面半徑取不同值時(shí),單元的楊氏模量的變化規(guī)律。

    本文在分析TPMS單元的基礎(chǔ)上,根據(jù)距離場(chǎng)設(shè)計(jì)保持其拓?fù)溥B通的人工單元,并在ABAQUS中分析TPMS偏置單元和人工單元的楊氏模量。

    1 三維周期性極小曲面

    1.1 TPMS的三角函數(shù)表示形式

    TPMS中的P、D、G、IWP 4種經(jīng)典類型曲面的三角函數(shù)表示形式為[1]:

    (1)

    式中:X=2πx,Y=2πy,Z=2πz,其中x∈R,y∈R,z∈R。規(guī)定φ<0表示隱式曲面的內(nèi)部,φ>0表示隱式曲面的外部,則式(1)中的φG,φIWP的隱式方程需要反向。

    1.2 單元的體積分?jǐn)?shù)與空隙率

    TPMS曲面在三維空間中是復(fù)雜幾何及拓?fù)溥B通的結(jié)構(gòu),其將三維空間分割為內(nèi)外兩部分,并且內(nèi)外空間的體積相等。將曲面裁剪成實(shí)體可以更好地觀察其幾何拓?fù)湫螒B(tài),比如曲面P(φP=0)對(duì)所在空間進(jìn)行分割,其內(nèi)部空間為桿系結(jié)構(gòu)(φP≤0),外部空間成復(fù)雜的孔洞結(jié)構(gòu)(φP≥0)。

    定義1:給定TPMS曲面φ,TPMS實(shí)體單元定義為{φ(x,y,z)≤0|?x,y,z∈R,0≤x≤1,0≤y≤1,0≤z≤1}。

    圖1展示了TPMS實(shí)體。設(shè)TPMS實(shí)體單元內(nèi)部所圍成的體積為V,其最小包圍盒體積為VBox,則單元空隙率定義為:

    (2)

    圖1 TPMS實(shí)體單元

    2 保持拓?fù)溥B通的人工單元設(shè)計(jì)

    2.1 TPMS單元問(wèn)題描述

    式(1)所描述的TPMS曲面可進(jìn)行內(nèi)外偏置(φ=t),常量t為負(fù)數(shù)時(shí)進(jìn)行內(nèi)偏置,常量t為正數(shù)時(shí)進(jìn)行外偏置,TPMS曲面偏置后通過(guò)對(duì)空間的分割得到減薄或加厚的TPMS實(shí)體。規(guī)定當(dāng)t≠0為偏置單元,用Po,Do表示。

    當(dāng)TPMS曲面進(jìn)行內(nèi)偏置時(shí),隨著偏置量的增大,曲面向中心線方向壓縮的過(guò)程中會(huì)出現(xiàn)自相交,對(duì)應(yīng)的實(shí)體會(huì)被截?cái)啵瑥亩鵁o(wú)法保證連通性,很難獲得高空隙率 (p>90%) 的支架。

    如圖2(a)~(c)所示,P單元常量t為0時(shí),空隙率為50%,桿系交匯處凸起較明顯,在制作時(shí)會(huì)浪費(fèi)材料;當(dāng)常量t為-0.8時(shí),空隙率為73%,桿系半徑明顯減?。划?dāng)常量t為-1.0時(shí),桿系出現(xiàn)自相交現(xiàn)象,無(wú)法保證連通性。圖2(d)~(f)展示了D單元隨著空隙率的增大,出現(xiàn)了桿系斷裂的現(xiàn)象。

    2.2 TPMS單元的拓?fù)浞治?/h3>

    TPMS原始單元(t=0)很難觀察其拓?fù)溥B通性,為了方便觀察,將原始單元進(jìn)行內(nèi)偏置得到減薄單元。如圖3所示,各個(gè)桿系用圓柱表示,記錄圓柱中心線兩端點(diǎn)坐標(biāo);桿系匯交處用小球表示,并記錄球心的坐標(biāo)。球心坐標(biāo)、圓柱中心線端點(diǎn)坐標(biāo)以及坐標(biāo)間的連通關(guān)系用于設(shè)計(jì)人工單元。

    圖2 空隙率逐漸增大出現(xiàn)的桿系自相交和斷裂

    圖3 TPMS單元的拓?fù)溥B通圖

    由圖3中的球和圓柱的連通規(guī)律可知,P單元為六連通結(jié)構(gòu),D單元為四連通結(jié)構(gòu),G單元為三連通結(jié)構(gòu),IWP單元為八連通結(jié)構(gòu)。

    2.3 人工單元設(shè)計(jì)

    TPMS的拓?fù)涑R?jiàn)于真實(shí)骨的結(jié)構(gòu)中,市場(chǎng)迫切需要一種既保持TPMS單元的拓?fù)溥B通性,又能得到高空隙率的支架。2.2節(jié)具體分析了單元的拓?fù)溥B通性,并記錄了關(guān)鍵數(shù)據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo),借助這些信息就能夠得到TPMS桿系結(jié)構(gòu)的中心線分布,再以中心線為軸,求出光滑過(guò)渡的等距面,就能得到滿足設(shè)計(jì)需求的人工單元。

    由距離場(chǎng)設(shè)計(jì)人工單元的步驟如下:

    1)在空間中等距離布點(diǎn),并記錄點(diǎn)的坐標(biāo)。

    2)由TPMS的拓?fù)溥B通圖得到其中心線分布。

    3)計(jì)算點(diǎn)到各中心線的距離,記為di。

    4)由距離函數(shù)F(d)求得各點(diǎn)處的總場(chǎng)強(qiáng)。

    (3)

    5)MarchingCubes算法顯示曲面。

    圖4給出了由TPMS單元設(shè)計(jì)人工單元的主要過(guò)程,用Pt表示人工單元。

    圖4 由TPMS單元設(shè)計(jì)人工單元的主要過(guò)程

    3 單元分析

    將由P單元組成的四面體網(wǎng)格模型導(dǎo)入到ABAQUS CAE中,圖5展示了有限元分析過(guò)程,首先給模型賦予材料屬性[10],彈性模量E=2GPa,泊松比為0.3;然后設(shè)置邊界條件,限制底面的6個(gè)自由度,頂面位移為壓縮方向的1%,提交分析直至達(dá)到平衡狀態(tài),求得此時(shí)網(wǎng)格頂部節(jié)點(diǎn)處的反作用力F。設(shè)網(wǎng)格模型的最小包圍盒橫截面面積為A,壓縮方向的初始長(zhǎng)度為L(zhǎng),壓縮量為ΔL,應(yīng)變用ε表示,則有效楊氏模量Ef定義為:

    (4)

    其中應(yīng)變?chǔ)哦x為:

    (5)

    圖5 有限元分析的主要過(guò)程

    3.1 Ef與單元陣列的關(guān)系

    選擇單元尺寸為1mm、空隙率為75%的P單元進(jìn)行分析,將P的偏置單元(Po)和人工單元(Pt)分別裝配為1,2×2×2,3×3×3,4×4×4,5×5×5的結(jié)構(gòu)。將上述四面體網(wǎng)格模型導(dǎo)入ABAQUS CAE中,底面固定,頂面壓縮,壓縮量為Y方向長(zhǎng)度的1%,記錄平衡狀態(tài)下頂部節(jié)點(diǎn)處的反作用力F,根據(jù)式(4)求得該結(jié)構(gòu)的有效楊氏模量Ef。圖6展示了空隙率為75%時(shí),P單元的有效楊氏模量(單位為MPa)與單元陣列的關(guān)系。

    圖6 Ef與單元陣列的關(guān)系

    由圖6可知,當(dāng)空隙率為75%時(shí),P的人工單元的有效楊氏模量大于偏置單元??赡艿脑蚴牵谠摽障堵氏?,偏置單元在桿系匯交處凸起較明顯,單元拼接處的桿系半徑過(guò)小,使結(jié)構(gòu)出現(xiàn)薄弱環(huán)節(jié),經(jīng)優(yōu)化后的人工單元,材料繞桿系中心線分布更加均勻,故抵抗彈性變形能力更強(qiáng);隨著單元陣列數(shù)目的變化,P的偏置單元和人工單元的有效楊氏模量出現(xiàn)微小的波動(dòng),若考慮造型過(guò)程中空隙率的微小偏差以及網(wǎng)格質(zhì)量差異對(duì)分析結(jié)果造成的影響,可近似認(rèn)為,單元的有效楊氏模量為一定值。根據(jù)上述分析,可得出如下結(jié)論:1)當(dāng)空隙率為75%時(shí),P的人工單元抵抗彈性變形能力優(yōu)于偏置單元;2)當(dāng)空隙率為75%時(shí),P的偏置單元和人工單元的有效楊氏模量均與單元陣列數(shù)目無(wú)關(guān)。

    3.2 Ef與空隙率的關(guān)系

    通過(guò)曲面偏置可得到不同空隙率單元,取單元陣列為2×2×2,單元尺寸為1mm,空隙率為30%~75%(步長(zhǎng)為5%)共10個(gè)模型進(jìn)行分析,將模型導(dǎo)入ABAQUS CAE中,底面固定,頂面壓縮,壓縮量為0.02,記錄平衡狀態(tài)下頂面節(jié)點(diǎn)處的反作用力F,根據(jù)式(4)求得結(jié)構(gòu)的有效楊氏模量Ef。圖7展示了單元陣列為2×2×2時(shí),P單元的有效楊氏模量(單位為MPa)與空隙率的關(guān)系。

    由圖7可知,隨著空隙率的增大,P的偏置單元(Po)和人工單元(Pt)的有效楊氏模量減小,且偏置單元的下降速度更快。當(dāng)空隙率小于55%時(shí),P的偏置單元的有效楊氏模量大于人工單元;當(dāng)空隙率大于55%時(shí),P的偏置單元的有效楊氏模量小于人工單元,出現(xiàn)此現(xiàn)象的原因在于,隨著空隙率的增大,P的偏置單元桿系半徑減小速度快于人工單元,而單元拼接處是該結(jié)構(gòu)最薄弱的位置。根據(jù)以上數(shù)據(jù),可得出如下結(jié)論:1)隨著空隙率的增大,P的偏置單元和人工單元的有效楊氏模量均減??;2)隨著空隙率的增大,P的偏置單元的有效楊氏模量減小的速度大于人工單元。

    圖7 Ef與空隙率的關(guān)系

    4 結(jié)束語(yǔ)

    TPMS單元作為支架設(shè)計(jì)的造型單元有其獨(dú)特的優(yōu)勢(shì),比如空隙率可控,拓?fù)溥B通規(guī)律與骨小梁類似等,但是很難得到高空隙率的支架。而本文提出的應(yīng)用距離場(chǎng)設(shè)計(jì)保持TPMS拓?fù)溥B通的人工單元的方法,能夠得到更高空隙率的支架。由于條件限制,文中僅做了理論分析和有限元模擬,缺乏試驗(yàn)數(shù)據(jù)做支撐,因而后續(xù)工作將盡可能與相關(guān)企業(yè)及其他高校合作,將試驗(yàn)數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整。

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