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    概述解析“孿生素?cái)?shù)猜想”之方法

    2018-03-05 05:37:58貴州省務(wù)川中學(xué)劉曉東何長(zhǎng)勇申學(xué)勤貴州省務(wù)川縣實(shí)驗(yàn)學(xué)校王若仲
    數(shù)學(xué)大世界 2018年3期
    關(guān)鍵詞:數(shù)論合數(shù)素?cái)?shù)

    貴州省務(wù)川中學(xué) 劉曉東 何長(zhǎng)勇 申學(xué)勤貴州省務(wù)川縣實(shí)驗(yàn)學(xué)校 王若仲

    一 、方法的基本思路

    以偶數(shù)18對(duì)應(yīng)的情形為例說明這種基本思路,

    (1)在上軸中篩除所有合數(shù)及篩除下軸中它們分別對(duì)應(yīng)的整數(shù);

    (2)在下軸中篩除所有合數(shù)及篩除上軸中它們分別對(duì)應(yīng)的整數(shù);

    (3)在上軸中篩除整數(shù)2及篩除下軸中2對(duì)應(yīng)的整數(shù)0,在下軸中篩除奇數(shù)1,篩除上軸中奇數(shù)1對(duì)應(yīng)的整數(shù)3。

    最后得出偶數(shù)2=5-3=7-5=13-11,還剩下2(對(duì))。

    根據(jù)這個(gè)思路,對(duì)于任一偶數(shù)2m(m≥3)對(duì)應(yīng)的情形則有:

    (1)在上軸中篩除所有合數(shù)及篩除下軸中它們分別對(duì)應(yīng)的整數(shù);

    (2)在下軸中篩除所有合數(shù)及篩除上軸中它們分別對(duì)應(yīng)的整數(shù);

    (3)在上軸中篩除整數(shù)2及篩除下軸中2對(duì)應(yīng)的整數(shù)0,在下軸中篩除奇數(shù)1,篩除上軸中奇數(shù)1對(duì)應(yīng)的整數(shù)3。

    根據(jù)這個(gè)思路,證明存在偶數(shù)M(M>2m),經(jīng)過篩選后,M對(duì)應(yīng)的情形中至少是增加了1對(duì),增加的這1對(duì)就是孿生素?cái)?shù)。

    二、奇合數(shù)和奇素?cái)?shù)的特性(初等數(shù)論13頁)

    (1)對(duì)于任一較大的正整數(shù)M,設(shè)奇素?cái)?shù)p1,p2,p3,…,pt均為不大于的全體奇素?cái)?shù)(pi<pj,i<j,i、j=1,2,3,…,t),那么在區(qū)間中任何一個(gè)奇合數(shù)a,奇合數(shù)a均能被集合{p1,p2,p3,…,pt}中某一個(gè)奇素?cái)?shù)pi(i=1,2,3,…,t)整除。

    (2)對(duì)于任一奇數(shù)M(M≥9),設(shè)奇素?cái)?shù)p1,p2,p3,…,pt均為不大于的全體奇素?cái)?shù)(pi<pj,i<j,i、j=1,2,3,…,t),若奇數(shù)M均不能被集合{p1,p2,p3,…,pt}中的任一奇素?cái)?shù)pi(i=1,2,3,…,t)整除,則奇數(shù)M為奇素?cái)?shù)。

    三、方法的基本步驟

    (1)奇合數(shù)和順篩及上軸和下軸

    奇合數(shù)為既是奇數(shù)又是合數(shù)的正整數(shù),如:15,21,35等,這樣的奇數(shù)統(tǒng)稱為奇合數(shù)。

    順篩就是兩千多年前的埃拉托斯特尼篩法(初等數(shù)論16頁)。

    平面上兩條平行且方向均向右的數(shù)軸,上軸為上一條數(shù)軸,下軸為下一條數(shù)軸。

    (2)構(gòu)建篩選數(shù)學(xué)模型

    對(duì)于任一偶數(shù)2m(m≥3),把它看成是由一條上軸與一條下軸平行且呈軸對(duì)稱的一個(gè)平面圖形, 這樣就構(gòu)建了一個(gè)篩選數(shù)學(xué)模型。如下圖:

    (3)數(shù)學(xué)模型篩選原則

    數(shù)學(xué)模型篩選原則:在上軸中篩除某些整數(shù),這些整數(shù)在下軸中分別對(duì)應(yīng)的整數(shù)也跟著篩除;在下軸中篩除某些整數(shù),這些整數(shù)在上軸中分別對(duì)應(yīng)的整數(shù)也跟著篩除。

    (4)利用數(shù)學(xué)模型進(jìn)行篩選

    把上軸中一個(gè)整數(shù)a和在下軸中與之對(duì)應(yīng)的整數(shù)b稱為一對(duì)(組)。對(duì)于正實(shí)數(shù)x,符號(hào)〔x〕記為不大于x的最大正整數(shù)(十章數(shù)論50頁)。

    對(duì)于偶數(shù)2m(2m=W),設(shè)素?cái)?shù)p0,p1,p2,p3,…,pt均為不大于偶數(shù)2m的全體素?cái)?shù)(pi<pj,i<j,i、j=0,1,2,3,…,t),t∈N。那么偶數(shù)2m對(duì)應(yīng)的篩選數(shù)學(xué)模型,如下圖:

    為了便于分辯,改為如下圖:

    其實(shí)p1=p1′,p2=p2′,p3=p3′,…,pt=pt′。在上軸中篩除q的倍數(shù)與在下軸中篩除q的倍數(shù)是不等同的。若轉(zhuǎn)換到篩除對(duì)數(shù)上來分析,上軸上的情形和下軸上的情形要區(qū)別分析計(jì)算。

    按照篩選原則篩選:

    (1)在上軸中篩除偶素?cái)?shù)p0的所有倍數(shù),下軸中的全體偶數(shù)一同被篩除,篩選后則剩下:W-〔W÷p0〕=W(1-1÷p0)(對(duì))。

    (2)在上軸中篩除奇素?cái)?shù)p1的所有倍數(shù)及篩除下軸中它們分別對(duì)應(yīng)的整數(shù),再篩選后剩下:W-〔W÷p0〕-〔W÷p1〕+〔W÷(p0p1)〕。其中,〔W÷p0〕與〔W÷p1〕,W減〔W÷p0〕時(shí),〔W÷(p0p1)〕已減了一次,減〔W÷p1〕時(shí),〔W÷(p0p1)〕又減了一次,故要返回一次。

    (3)在下軸中篩除奇素?cái)?shù)p1′的所有倍數(shù)及篩除上軸中它們分別對(duì)應(yīng)的整數(shù)再篩選后剩下:W-〔W÷p0〕-〔W÷p1〕+〔W÷(p0p1)〕-〔W÷p1′〕+〔W÷(p0p1′)〕=W-〔W÷p0〕-2〔W÷p1〕+2〔W÷(p0p1)〕≈〔W(1-1÷p0)(1-2÷p1)〕(對(duì))。減〔W÷p1′〕時(shí),〔W÷(p0p1)〕多減了一次,又要返回一次。

    (4)在上軸中篩除奇素?cái)?shù)p2的所有倍數(shù)及篩除下軸中它們分別對(duì)應(yīng)的整數(shù);在下軸中篩除奇素?cái)?shù)p2′的所有奇數(shù)倍及篩除上軸中它們分別對(duì)應(yīng)的奇數(shù),再篩選后剩下:W-〔W÷p0〕-〔W÷p1〕+〔W÷(p0p1)〕-〔W÷p1′〕+〔W÷(p0p1′)〕-〔W÷p2〕-〔W÷p2′〕+〔W÷(p0p2)〕+〔W÷(p1p2)〕+〔W÷(p1′p2)〕+〔W÷(p0p2′)〕+〔W÷(p1p2′)〕+〔W÷(p1′p2′)〕-〔W÷(p0p1p2)〕-〔W÷(p0p1′p2)〕-〔W÷(p0p1p2′)〕-〔W÷(p0p1′p2′)〕=W-〔W÷p0〕-2〔W÷p1〕+2〔W÷(p0p1)〕-2〔W÷p2〕+2〔W÷(p0p2)〕+4〔W÷(p1p2)〕-4〔W÷(p0p1p2)〕≈〔W(1-1÷p0)(1-2÷p1)(1-2÷p2)〕(對(duì))。

    (5)在上軸中篩除奇素?cái)?shù)pt的所有倍數(shù)及篩除下軸中它們分別對(duì)應(yīng)的整數(shù),在下軸中篩除奇素?cái)?shù)pt的所有倍數(shù)及篩除上軸中它們分別對(duì)應(yīng)的整數(shù),最后剩下:W-〔W÷p0〕-2〔W÷p1〕+2〔W÷(p0p1)〕-2〔W÷p2〕+2〔W÷(p0p2)〕+4〔W÷(p1p2)〕-4〔W÷(p0p1p2)〕-2〔W÷p3〕+2〔W÷(p0p3)〕+4〔W÷(p1p3)〕+4〔W÷(p2p3)〕-4〔W÷(p0p1p3)〕-4〔W÷(p0p2p3)〕-8〔W÷(p1p2p3)〕+8〔W÷(p0p1p2p3)〕-2〔W÷p4〕+…-2〔W÷pt〕+2〔W÷(p0pt)〕+4〔W÷(p1pt)〕+4〔W÷(p2pt)〕+4〔W÷(p3pt)〕+…+4〔W÷(pt-1pt)〕-4〔W÷(p0p1pt)〕-4〔W÷(p0p2pt)〕-…+(-1)t-12t〔W÷(p0p1p2p3…pt-1pt)〕≈〔W(1-1÷p0)(1-2÷p1)(1-2÷p2)(1-2÷p3)…(1-2÷pt-1)(1-2÷pt)〕(對(duì))。

    四、判別孿生素?cái)?shù)無窮多

    對(duì)于前面闡述的篩法,在轉(zhuǎn)換到計(jì)算篩除對(duì)數(shù)時(shí),有兩種情形被計(jì)算多篩除了:

    (1)在素?cái)?shù)p0,p1,p2,p3,…,pt之中存在的孿生素?cái)?shù)被全部計(jì)算篩除了。

    (2)“上軸中的奇合數(shù)-下軸中的奇合數(shù)=2”的情形被重復(fù)計(jì)算了。

    就是計(jì)算篩除多了。也影響不到判別孿生素?cái)?shù)無窮多。

    現(xiàn)假定孿生素?cái)?shù)只有有限多,不妨設(shè)相當(dāng)大的素?cái)?shù)pt之后不存在孿生素?cái)?shù),

    根據(jù)奇合數(shù)和奇素?cái)?shù)的特性,可設(shè)偶數(shù)2m=pt2+1,則素?cái)?shù)p0,p1,p2,p3,…,pt均為不大于的全體素?cái)?shù)(pi<pj,i<j,i、j=0,1,2,3,…,t),t∈N。根據(jù)前面的篩法情形,則有Y=〔2m(1-1÷p0)(1-2÷p1)(1-2÷p2)(1-2÷p3)…(1-2÷pt-1)(1-2÷pt)〕。因?yàn)橛邢铝袃煞N情形被計(jì)算多篩除了:

    (1)在素?cái)?shù)p0,p1,p2,p3,…,pt之中存在的孿生素?cái)?shù)被全部計(jì)算篩除了。

    (2)“上軸中的奇合數(shù)-下軸中的奇合數(shù)=2”的情形被重復(fù)計(jì)算篩除了。

    這樣我們就可以得出結(jié)論:假定孿生素?cái)?shù)只有有限多不能成立。

    [1]閔嗣鶴,嚴(yán)士健.初等數(shù)論[M].北京:人民教育出版社,1983(02).

    [2]戎士奎.十章數(shù)論[M].貴陽:貴州教育出版社,1994(09).

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