波動預(yù)測建模與尾部風(fēng)險測量方法

陳聲利，李一軍，關(guān) 濤

1 北京大學(xué) 光華管理學(xué)院，北京 100871 2 嘉實(shí)基金管理有限公司，北京 100005 3 哈爾濱工業(yè)大學(xué) 管理學(xué)院，哈爾濱 150001

引言

2015年股指期貨經(jīng)歷了一輪激烈的牛熊市，許多投資者在異常波動中遭受損失。極端波動狀態(tài)下資產(chǎn)收益率的尾部風(fēng)險對投資者的決策行為產(chǎn)生影響，準(zhǔn)確測量資產(chǎn)收益率的尾部風(fēng)險，有助于投資者預(yù)判風(fēng)險、規(guī)避損失以及管理組合，有助于監(jiān)管部門跟蹤和防范市場的系統(tǒng)性風(fēng)險。在股指異常波動陰影下，研究股指期貨尾部風(fēng)險的測量方法，對風(fēng)險管理[1-3]、資產(chǎn)配置[4-6]和市場監(jiān)管具有理論意義和實(shí)踐意義。

尾部風(fēng)險研究的核心是建模預(yù)測未來資產(chǎn)收益率的風(fēng)險邊界。目前，在險價值(value at risk, VaR)和預(yù)期損失(excepted shortfall, ES)是測量尾部風(fēng)險的主流方法。VaR模型的經(jīng)濟(jì)意義明確且計(jì)算簡便，在理論和實(shí)務(wù)上應(yīng)用廣泛。由于VaR模型不滿足次可加性，ARTZNER et al.[7]提出滿足一致性風(fēng)險測量的ES模型。資產(chǎn)波動率是VaR模型和ES模型估計(jì)的核心變量，準(zhǔn)確估計(jì)和預(yù)測波動率是測量尾部風(fēng)險的重要環(huán)節(jié)。

利用VaR模型和ES模型測量尾部風(fēng)險時，極值理論(extreme value theory, EVT)在無需了解收益率分布下可對尾部行為進(jìn)行概率估計(jì)，是常用且有效的參數(shù)化方法[7]。極值理論的傳統(tǒng)用法是借助SV、GARCH等模型估計(jì)低頻波動率。然而，高頻數(shù)據(jù)催生了以已實(shí)現(xiàn)波動率為代表的高頻波動率，它比低頻波動率蘊(yùn)含更多信息且計(jì)算效率更高。因此，將高頻波動率用于測量尾部風(fēng)險已成為研究趨勢。

近年來，已實(shí)現(xiàn)波動率的研究出現(xiàn)了新進(jìn)展，它既能分解為連續(xù)波動和跳躍波動，又能分解為好波動和壞波動，并進(jìn)一步衍生出符號跳躍。如何將跳躍波動、好壞波動和符號跳躍等新型結(jié)構(gòu)波動率用于測量尾部風(fēng)險是建模難點(diǎn)。本研究在極值理論基礎(chǔ)上引入跳躍波動、好壞波動和符號跳躍等新型高頻波動率，構(gòu)建RV-EVT尾部風(fēng)險測量方法，以滬深300股指期貨為實(shí)證研究對象，回測分析RV-EVT框架下波動預(yù)測模型的優(yōu)劣，進(jìn)一步探討尾部風(fēng)險的實(shí)踐應(yīng)用。

1相關(guān)研究評述

1.1VaR和ES測量方法

VaR和ES測量方法包含參數(shù)方法和無參化方法[8-9]，參數(shù)化方法包括指數(shù)加權(quán)法、等權(quán)重法、GARCH法和極值理論法等，無參化方法主要包括歷史模擬法和蒙特卡洛模擬法等。

隨著高頻波動率的興起，大量學(xué)者將已實(shí)現(xiàn)波動率用于尾部風(fēng)險VaR和ES的估計(jì)。部分學(xué)者在估計(jì)VaR和ES的特定模型下比較不同波動率的優(yōu)劣，BROWNLEES et al.[10]建立ARFIMA和HAR等模型預(yù)測尾部風(fēng)險VaR，實(shí)證比較RV、RR、BV、TSRV和RK等高頻波動率的優(yōu)劣；王天一等[11]采用realized GARCH模型估計(jì)VaR后，瞿慧等[12]基于realized GARCH模型預(yù)測尾部風(fēng)險VaR和ES，實(shí)證比較RV、RR、BV、MedRV、TSRV和RK的優(yōu)劣。

還有部分學(xué)者根據(jù)收益率分布或波動率結(jié)構(gòu)，建立新的尾部風(fēng)險VaR和ES測量方法。王春峰等[13]基于下跌已實(shí)現(xiàn)半方差RS-捕捉波動率的杠桿效應(yīng)，構(gòu)建ARFIMA-GARCH模型預(yù)測RS-，利用偏t分布SKST-RS-模型預(yù)測VaR和ES；考慮跳躍和杠桿效應(yīng)，柳會珍等[14]建立HAR和HARXRL-RV-J模型預(yù)測已實(shí)現(xiàn)波動率，利用EVT方法預(yù)測VaR；樊鵬英等[15]基于已實(shí)現(xiàn)波動率建立PGARCH模型預(yù)測VaR。

1.2VaR和ES極值理論方法

極值理論在收益率分布未知條件下，使用越檻高峰(peak over threshold，POT)模型擬合有限極端觀察值的分布，被認(rèn)為在實(shí)踐中是有效的[1,8,16]。MCNEIL et al.[1]構(gòu)建兩步法的條件EVT模型(C-EVT)，先用AR-GARCH模型對資產(chǎn)收益率進(jìn)行白噪聲預(yù)處理，然后采用POT模型估計(jì)GARCH模型的標(biāo)準(zhǔn)殘差尾部分布。MCNEIL et al.[1]和魏宇[16]通過實(shí)證分析證明C-EVT模型具有有效性。

在C-EVT模型基礎(chǔ)上，BEE et al.[2]引入已實(shí)現(xiàn)波動率的預(yù)測建模，構(gòu)建兩步法RV-EVT尾部風(fēng)險測量方法，先用HAR-RV類模型對收益率進(jìn)行白噪聲，然后用EVT模型擬合殘差尾部。該方法的關(guān)鍵工作是引入3類連接函數(shù)，建立HAR類模型的預(yù)測值與條件收益波動率的轉(zhuǎn)換關(guān)系，對未來1天和10天的VaR和ES的回測分析結(jié)果表明，RV-EVT模型的尾部風(fēng)險測量水平比GARCH族低頻波動率建立的C-EVT模型更佳。

1.3波動預(yù)測建模方法

波動率估計(jì)和建模是測量風(fēng)險的重要環(huán)節(jié)?？紤]低頻波動率的VaR和ES風(fēng)險測量時，一般需假定收益率分布，并運(yùn)用SV、GARCH、FIGARCH、APARCH類模型估計(jì)和預(yù)測條件收益波動率[10]。這些方法參數(shù)估計(jì)繁瑣，無法利用高頻數(shù)據(jù)信息。因此，高頻波動率的風(fēng)險測量應(yīng)用成為趨勢。

波動率預(yù)測(簡稱為波動預(yù)測)建模領(lǐng)域，HAR模型框架能較好地刻畫波動長記憶性。CORSI[17]將交易者分成日線、周線和月線交易者，首次提出采用HAR-RV模型預(yù)測已實(shí)現(xiàn)波動率。考慮跳躍波動，CORSI et al.[18]和ANDERSEN et al.[19]提出HAR-RV-J和HAR-RV-CJ模型。考慮已實(shí)現(xiàn)半方差和符號跳躍[20]，PATTON et al.[21]和 AUDRINO et al.[22]構(gòu)建HAR-RV-RS和HAR-RV-SJ等模型，探討好壞波動和符號跳躍的不對稱波動預(yù)測能力?？紤]跳躍波動率、好壞波動和符號跳躍等新型波動率，諸多研究已將HAR類模型用于測量尾部風(fēng)險，并證實(shí)其風(fēng)險測量能力比GARCH類模型表現(xiàn)更優(yōu)[2,14,23]。

1.4相關(guān)的實(shí)證研究

風(fēng)險測量模型VaR和ES的優(yōu)劣比較是實(shí)證研究的熱點(diǎn)。楊嫻等[8]研究表明當(dāng)金屬期貨大漲或大跌時，ES比VaR能更準(zhǔn)確地測量市場風(fēng)險；王春峰等[13]利用中國股市數(shù)據(jù)的實(shí)證分析表明，在VaR測量極端風(fēng)險失效時，ES能夠較好地對尾部風(fēng)險進(jìn)行管理；楊坤等[24]結(jié)合極值理論構(gòu)建5類copula模型測量原油尾部風(fēng)險，并證實(shí)VaR在低風(fēng)險時測量尾部較好，ES在高風(fēng)險時測量尾部更優(yōu)異。此外，秦學(xué)志等[25]以股指期貨為研究對象，證實(shí)極值理論對測量尾部風(fēng)險VaR和ES的有效性，并通過設(shè)定不同風(fēng)險厭惡滿足不同風(fēng)險偏好的風(fēng)控需求。因此，VaR模型和ES模型對不同資產(chǎn)標(biāo)的的風(fēng)險測量存在性能差異。

在尾部風(fēng)險的實(shí)證研究中，學(xué)者們挖掘了尾部風(fēng)險的資產(chǎn)定價能力。針對國外市場，ALLES et al.[26]利用高階矩建模，研究亞洲市場的下尾風(fēng)險的風(fēng)險補(bǔ)償；BOLLERSLEV et al.[27]研究尾部風(fēng)險溢價，結(jié)果表明跳躍尾部可預(yù)測收益率。針對中國市場，陳國進(jìn)等[28]利用極值理論提取中國個股橫截面的尾部風(fēng)險，并證實(shí)尾部風(fēng)險對股市橫截面收益率具有解釋能力；邢紅衛(wèi)等[29]利用Fama-French因子模型挖掘尾部風(fēng)險對A股的定價能力。另外，尾部風(fēng)險研究可用于投資組合管理。MOREIRA et al.[5]采用已實(shí)現(xiàn)波動率估計(jì)VaR，進(jìn)而將其用于投資組合的建模研究；VIKAS et al.[30]針對對沖基金構(gòu)建尾部風(fēng)險測量方法，研究尾部風(fēng)險的來源識別以及尾部風(fēng)險對投資組合的沖擊。由此可知，尾部風(fēng)險研究對資產(chǎn)定價和投資組合具有理論和實(shí)踐價值。

1.5已有研究不足和研究目的

已有研究的不足：①異常波動情形下投資者和監(jiān)管者迫切需要跟蹤尾部風(fēng)險的有效方法，但針對股指期貨的風(fēng)險測量方法研究較少；②中國鮮有研究在極值理論框架下探討高頻波動率的風(fēng)險測量應(yīng)用，特別是跳躍波動和好壞波動等新型波動率的研究；③BEE et al.[2]提出RV-EVT尾部風(fēng)險測量框架，但未詳實(shí)探討不同HAR波動預(yù)測模型、不同測量模型VaR和ES的尾部風(fēng)險測量水平差異；④鮮有研究探討尾部風(fēng)險測量在量化交易中的應(yīng)用。

針對現(xiàn)有不足，本研究的主要目的：①以股指期貨為研究對象，利用高頻波動率和極值理論構(gòu)建有效的RV-EVT尾部風(fēng)險測量方法；②將已實(shí)現(xiàn)波動率衍生出的跳躍波動、好壞波動和符號跳躍引入HAR波動預(yù)測建模，以經(jīng)典的HAR-RV模型為比較基準(zhǔn)，通過滾動預(yù)測分析HAR類波動模型優(yōu)劣，并在RV-EVT框架下比較它們的風(fēng)險測量水平差異；③通過日線和周線尾部風(fēng)險的回測分析，比較分析VaR和ES模型對股指期貨尾部風(fēng)險測量的差異；④基于RV-EVT尾部風(fēng)險方法建立可執(zhí)行的資金管理模型，并通過量化交易策略回測探討其有效性。

2波動預(yù)測建模方法

2.1二次變差理論

P為資產(chǎn)對數(shù)價格，假設(shè)P=(Pt)t>0定義在概率空間(Ω,F,(Ft)t>0,P)和適應(yīng)于過濾項(xiàng)(Ft)t>0的對數(shù)價格過程，Pt為對數(shù)價格過程，Ω為概率空間，F(xiàn)為過濾項(xiàng)，(Ft)t>0表示對過濾項(xiàng)在時間上取正值。在給定的過濾概率空間下，資產(chǎn)對數(shù)價格服從半鞅過程，即

dPt=υ(t)dt+σ(t)dW(t)+κ(t)dο(t)

(1)

其中，t為時間，υ(t)為連續(xù)有界的漂移函數(shù)，σ(t)為左極限、右連續(xù)的隨機(jī)波動過程，W(t)為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動，κ(t)為跳躍大小，ο(t)為計(jì)數(shù)過程。

根據(jù)二次變差理論，由(1)式得到第t天的對數(shù)收益率的二次變差過程，即

(2)

(3)

其中，RV為已實(shí)現(xiàn)波動率，rt-1+j1Δ為日內(nèi)高頻收益率，j1為日內(nèi)高頻收益率的序號。借鑒ANDERSEN et al.[19]的極限定理進(jìn)行推導(dǎo)，當(dāng)采樣間隔Δ→0時，在(2)式和(3)式的基礎(chǔ)上得到

RVt→IVt+JVt

(4)

進(jìn)一步，由(4)式得到跳躍方差的一般化估計(jì)。采用已實(shí)現(xiàn)雙冪差[33-34]估計(jì)連續(xù)波動后，跳躍方差可表示為

JVt=RVt-BVt

(5)

其中，BV為已實(shí)現(xiàn)雙冪差。

然而，(5)式包含大量非零小跳躍[35]。為消除不顯著的小跳躍，需構(gòu)建統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)跳躍方差，即

Jt=I[·]·(RVt-BVt)

(6)

其中，Jt為顯著的跳躍方差；I[·]為示性函數(shù)，統(tǒng)計(jì)量顯著時取值為1，否則取值為0。

2.2連續(xù)波動和跳躍波動

無參化跳躍檢測是甄別顯著跳躍的主流方法。開創(chuàng)性的工作是由BARNDORFF-NIELSEN et al.[33-34]構(gòu)建的BNS跳躍檢測框架。然而，在市場微觀結(jié)構(gòu)噪聲影響下，RV和BV是有偏估計(jì)。于是，在BNS框架下學(xué)者們[36-38]通過噪聲糾偏構(gòu)建誤差更小的波動率估計(jì)量，從而得到更穩(wěn)健的跳躍檢驗(yàn)法。代表性的成果包括ANDERSEN et al.[19]的ABD檢驗(yàn)法、CORSI et al.[18]的CPR檢驗(yàn)法、ANDERSEN et al.[39]的ADS檢驗(yàn)法，CPR檢驗(yàn)法和ADS檢驗(yàn)法較為常用。本研究采用性能較優(yōu)的CPR檢驗(yàn)法，楊科等[40]和馬峰等[41]已就中國市場驗(yàn)證了其有效性。

本研究采用HANSEN et al.[42]提出的已實(shí)現(xiàn)核估計(jì)對CPR檢驗(yàn)法的RV進(jìn)行噪聲偏差校正，即

(7)

其中，rt-1+j1Δ和rt-1+(j1+λ)Δ為兩個相鄰的日內(nèi)高頻收益率，q為較小的非負(fù)整數(shù)，λ為不大于q的非負(fù)整數(shù)。選取q=λ=1，則已實(shí)現(xiàn)波動率修正為

(8)

為減少已實(shí)現(xiàn)雙冪差易受噪聲的影響，借鑒CORSI et al.[18]提出的修正門限已實(shí)現(xiàn)多次冪差，即

(9)

(10)

其中，N(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。因此，門限函數(shù)的作用是當(dāng)高頻收益率出現(xiàn)異常時，高頻收益率的指數(shù)冪采用隨機(jī)門限函數(shù)進(jìn)行估計(jì)。在此基礎(chǔ)上，修正門限雙冪次波動率和修正門限四次冪差波動率表示為

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

其中，Jt,α為顯著跳躍，Ct,α為連續(xù)波動，α為置信水平，Φα為臨界值。

2.3好壞波動和符號跳躍

在已實(shí)現(xiàn)波動率基礎(chǔ)上，借鑒BARNDORFF-NIELSEN et al.[20]的研究，根據(jù)正負(fù)收益率平方和定義上漲已實(shí)現(xiàn)半方差和下跌已實(shí)現(xiàn)半方差，即

(16)

(17)

本研究延續(xù)陳聲利等[43]的研究，利用已實(shí)現(xiàn)核估計(jì)修正好壞波動，得到

(18)

(19)

借鑒PATTON et al.[21]的研究，依據(jù)上漲已實(shí)現(xiàn)半方差和下跌已實(shí)現(xiàn)半方差定義符號跳躍，即

(20)

其中，SJ為符號跳躍，符號跳躍刻畫了波動不對稱性和波動方向，由它衍生的正負(fù)符號跳躍表示為

(21)

(22)

2.4HAR波動預(yù)測建模

波動預(yù)測建模領(lǐng)域，CORSI[17]利用日線、周線和月線波動，提出HAR-RV模型預(yù)測已實(shí)現(xiàn)波動率。沿用異質(zhì)波動建?？蚣?，ANDERSEN et al.[19]、PATTON et al.[21]和AUDRINO et al.[22]考慮跳躍波動、好壞波動和符號跳躍，先后提出HAR-RV、HAR-RV-CJ、HAR-RV-RS和HAR-RV-SJ模型。馬峰等[41]研究證明對數(shù)形式的HAR模型具有更高的預(yù)測精度。

(23)

(24)

(25)

(26)

其中，h為多期預(yù)測變量，β0系列為截距項(xiàng)，β系列為回歸系數(shù)，ε系列為殘差項(xiàng)。

需要指出的是，BEE et al.[2]的RV-EVT風(fēng)險測量框架僅考慮日線跳躍和符號跳躍的波動沖擊。本研究對該理論框架進(jìn)行補(bǔ)充，增加日線、周線和月線的異質(zhì)波動沖擊建模。

3RV-EVT風(fēng)險測量方法

3.1極值理論的分布

資產(chǎn)收益率可表示為均值方差過程，即

(27)

假定分布函數(shù)F存在上邊界vF，vF:sup{t:F(t)<1}，給定最大閾值u(u0，v>0。那么，當(dāng)u→vF，Pr(t-u≤x|t>u)趨近于

(28)

其中，x為超出量序列的上界。

(29)

3.2尾部風(fēng)險的估計(jì)

(1)VaR的計(jì)算

給定置信水平α下第t天在險價值估計(jì)量為

(30)

(31)

(2)ES的計(jì)算

預(yù)期損失ES也被稱為條件風(fēng)險價值，它測量的是超過VaR水平的條件期望值。以下尾風(fēng)險為例，ES估計(jì)量為

(32)

其中，φ為積分變量。

根據(jù)(31)式和(32)式可推導(dǎo)出預(yù)期損失的估計(jì)量，即

(33)

3.3波動預(yù)測的連接函數(shù)

RV-EVT建?？蚣艿某霭l(fā)點(diǎn)是在(27)式中的信息集Ft-1和Ht-1中嵌入日內(nèi)高頻信息，并使用極值模型擬合殘差尾部參數(shù)。兩步法RV-EVT框架是先通過HAR類模型代替GARCH類模型對收益率進(jìn)行白噪聲處理，然后再利用POT模型估計(jì)其尾部參數(shù)。對已實(shí)現(xiàn)波動率的預(yù)測和建模，能夠提升波動率的預(yù)測精度，進(jìn)而更準(zhǔn)確地估計(jì)尾部風(fēng)險。

類型1CLEMENTS et al.[45]提出的簡單連接函數(shù)，即

(34)

類型2BROWNLEES et al.[46]提出的連接函數(shù)，即

(35)

其中，a和b為調(diào)整系數(shù)。

類型3BEE et al.[2]考慮殘差修正提出的連接函數(shù)，即

(36)

BEE et al.[2]實(shí)證對比上述3類連接函數(shù)，最終發(fā)現(xiàn)簡單連接函數(shù)表現(xiàn)最佳。因此，本研究實(shí)證分析時選用(34)式。

考慮已實(shí)現(xiàn)波動率的多期預(yù)測，借鑒BEE et al.[2]的研究，將VaR和ES的估計(jì)量定義為

(37)

(38)

3.4回測分析方法

回測分析通過比較風(fēng)險測量模型的估計(jì)結(jié)果與理論預(yù)期的差異來評估模型優(yōu)劣。若風(fēng)險測量模型的估計(jì)結(jié)果與理論預(yù)期相近，則說明該模型的準(zhǔn)確性較高；若二者偏差較大，則預(yù)示該模型的準(zhǔn)確性較低。目前，風(fēng)險測量模型評估方法雖然較多，但VaR和ES回測分析最常用評估方法分別是KUPIEC[47]提出的無條件覆蓋檢驗(yàn)和MCNEIL et al.[1]提出的自枚舉檢驗(yàn)。王鵬等[44]和楊坤等[24]的研究說明上述檢驗(yàn)方法具有有效性。

(1)無條件覆蓋

KUPIEC[47]提出無條件覆蓋檢驗(yàn)的初衷是檢測VaR模型的預(yù)測失敗率是否趨于期望失敗率。本研究以多頭頭寸的下尾風(fēng)險為例(空頭時概率水平為(1-α))，闡述無條件覆蓋檢驗(yàn)的主要步驟。

步驟1在置信水平為α的概率水平下，定義第t天的碰撞序列為

(39)

其中，Hit為碰撞序列。

步驟2在置信水平為α的概率水平下，若VaR測量模型足夠準(zhǔn)確，則碰撞序列應(yīng)服從置信水平為α的概率值的Bernoulli分布，即

Hitt～Ber(α)

(40)

令T為碰撞序列總天數(shù)，N為超出下尾風(fēng)險的序列總天數(shù)，原假設(shè)和備擇假設(shè)定義為

(41)

由此可見，原假設(shè)可歸結(jié)為經(jīng)驗(yàn)頻率是否足夠趨近于理論概率。

步驟3根據(jù)Bernoulli分布性質(zhì)，似然函數(shù)表示為

=αN(1-α)T-N

(42)

其中，L(α)為似然函數(shù)。

本研究采用KUPIEC[47]構(gòu)建的似然比函數(shù)作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，即

(43)

其中，LRuc為似然比函數(shù)。

步驟4當(dāng)原假設(shè)正確時，KUPIEC[47]證明似然比函數(shù)服從自由度為1的χ2分布，即

LRuc→χ2(1)

(44)

因此，在置信水平α下，如果計(jì)算的LRuc超出χ2(1)的臨界值(即落入拒絕域)，則拒絕原假設(shè)；反之，則接受原假設(shè)，即認(rèn)為VaR的風(fēng)險測量模型足夠準(zhǔn)確。

實(shí)際運(yùn)用中，判斷拒絕或接受原假設(shè)的定量標(biāo)準(zhǔn)是無條件覆蓋檢驗(yàn)的p值是否具有顯著性[47]。如果某個風(fēng)險測量模型計(jì)算的VaR的無條件覆蓋檢驗(yàn)的p值越大，說明越不能拒絕原假設(shè)，表明該風(fēng)險測量模型估計(jì)VaR的準(zhǔn)確性越高[44,47]。

(2)自枚舉檢驗(yàn)

MCNEIL et al.[1]提出針對ES回測分析的自枚舉檢驗(yàn)(bootstrap)。自枚舉檢驗(yàn)的主要思想是構(gòu)建多個bootstrap殘差樣本，并利用其計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量和p值。借鑒MCNEIL et al.[1]和王鵬等[44]的研究，本研究的主要步驟概括如下。

(45)

步驟2假定z為超出殘差樣本數(shù)量，lt為初始?xì)埐钚蛄校瑒t初始?xì)埐钚蛄卸x為

(46)

(47)

步驟4為了得到統(tǒng)計(jì)量δ(l)的分布及其p值，需生成范圍在{1,2,…,m}的m個均勻分布隨機(jī)數(shù)，并以該隨機(jī)數(shù)對應(yīng)的殘差序列l(wèi)t構(gòu)建新樣本。重復(fù)S次(本研究取S=1 000)，得到S個新的bootstrap樣本。

步驟5針對每個bootstrap樣本i，i=1,2,…,S，利用(47)式算出檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量δi(l)，分別記為{δ1(l),δ2(l),…,δS(l)}。特別的，初始樣本的δ(l)可記為δ0(l)。因此，可求得檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量δ(l)的經(jīng)驗(yàn)分布。

步驟6由于超出殘差θt通常表現(xiàn)為右偏分布，因此bootstrap檢驗(yàn)的備擇假設(shè)為E(θ)>0，相應(yīng)的原假設(shè)為E(θ)=0。根據(jù)MCNEIL et al.[1]的推導(dǎo)，計(jì)算統(tǒng)計(jì)量{δ1(l),δ2(l),…,δS(l)}大于δ0(l)的樣本比例，即為顯著檢驗(yàn)的p值。p值越大，越不能拒絕原假設(shè)，預(yù)示波動模型對ES測量的準(zhǔn)確性越高。

4實(shí)證分析

4.1數(shù)據(jù)說明和波動分解

本研究數(shù)據(jù)源自程序化交易平臺MultiCharts 8.8，均從中國金融期貨交易所撮合成交的股指期貨合約數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)時接收和匯總。本研究選取股指期貨主力連續(xù)數(shù)據(jù)為研究對象，主力連續(xù)數(shù)據(jù)是由相鄰的股指期貨主力合約成交數(shù)據(jù)匯總，它在主力合約換月之前將成交量更大的下月合約作為主力連續(xù)數(shù)據(jù)。因此，主力連續(xù)數(shù)據(jù)具有充足的流動性。

本研究同時獲取滬深300股指期貨主力連續(xù)日度數(shù)據(jù)和每天的5分鐘高頻數(shù)據(jù)。日度數(shù)據(jù)的時間區(qū)間為2011年1月1日至2017年1月1日，計(jì)1 457個交易日。在2016年1月1日股指期貨交易時間與A股的開收盤同步之前，每天的5分鐘高頻數(shù)據(jù)為54個，之后為每天48個。本研究獲取的5分鐘高頻數(shù)據(jù)是固定間隔數(shù)據(jù)，無需進(jìn)行額外清洗。本研究滾動預(yù)測未來日線和周線的VaR和ES，將滾動時間窗固定為765天，樣本外預(yù)測集為488天(2014年4月5日至2016年4月5日)。預(yù)測樣本覆蓋了窄幅波動的低迷市和異常波動的牛熊市。本研究綜合使用Python、MultiCharts、Traderblazer程序化交易語言進(jìn)行實(shí)證分析。

為了提高計(jì)算精度，本研究將收益率放大100倍。為增進(jìn)讀者對原始數(shù)據(jù)和收益率的認(rèn)識，圖1給出股指期貨每日收盤價序列和對數(shù)收益率序列，表1給出股指期貨收益率的描述性統(tǒng)計(jì)結(jié)果。由表1可知，①從JB統(tǒng)計(jì)量可知，股指期貨收益率不服從正態(tài)分布，且收益率呈現(xiàn)尖峰厚尾(峰度大于3)和有偏形態(tài)(2012年和2014年為右偏，其余年份為左偏)；②Ljung-Box Q的檢驗(yàn)結(jié)果表明，在5%水平上股指期貨收益率序列的長記憶性不夠顯著；③ADF單位根檢驗(yàn)的結(jié)果表明，股指期貨收益率序列是平穩(wěn)的；④2015年的標(biāo)準(zhǔn)差出現(xiàn)異常值，反映了當(dāng)年異常波動行情。

高頻波動的估計(jì)需先選定抽樣頻率。由于國內(nèi)外學(xué)者一般采用5分鐘高頻數(shù)據(jù)作為抽樣頻率[2,18,21]，本研究也選取5分鐘高頻數(shù)據(jù)估計(jì)高頻波動率。利用CPR檢驗(yàn)法識別跳躍時，將置信水平設(shè)定為α=0.990。在此基礎(chǔ)上，根據(jù)高頻收益率序列可計(jì)算出股指期貨已實(shí)現(xiàn)波動率及其衍生波動率序列。根據(jù)(14)式和(15)式已實(shí)現(xiàn)波動率可分解為連續(xù)波動和跳躍波動，根據(jù)(18)式和(19)式已實(shí)現(xiàn)波動率可分解為好波動和壞波動，根據(jù)(20)式和(21)式好壞波動又衍生出正向符號跳躍和負(fù)向符號跳躍。在本研究中依次計(jì)算上述變量，時間跨度從2011年1月1日至2017年1月1日。在跳躍檢測時，由換合約所致的隔夜跳躍已被剔除。由于本研究側(cè)重于尾部風(fēng)險預(yù)測，主要依據(jù)樣本外滾動預(yù)測結(jié)果，因此上述新型結(jié)構(gòu)波動率的特征、性質(zhì)及波動沖擊行為在此不予詳述。

4.2已實(shí)現(xiàn)波動率的滾動預(yù)測

估計(jì)尾部風(fēng)險VaR和ES需先預(yù)測未來波動率，下面分析已實(shí)現(xiàn)波動率的滾動預(yù)測結(jié)果。針對HAR類模型的樣本內(nèi)和樣本外預(yù)測分析，陳聲利等[43,48]揭示了波動沖擊行為與預(yù)測模型的優(yōu)劣，本研究與之不同之處在于采用對數(shù)形式的HAR建模，并討論樣本外滾動預(yù)測模型的優(yōu)劣。

本研究利用Python實(shí)現(xiàn)HAR-RV、HAR-RV-CJ、HAR-RV-RS和HAR-RV-SJd4個模型(見(23)式～(26)式)的日線已實(shí)現(xiàn)波動率滾動預(yù)測結(jié)果，見圖2。由圖2可知，4個模型的滾動預(yù)測效果較好，體現(xiàn)了對數(shù)形式波動預(yù)測建模的有效性。對于樣本外滾動預(yù)測時評估模型的損失函數(shù)，本研究采用均方誤差MSE和平均絕對誤差MAE，其數(shù)學(xué)定義為

(48)

(49)

(a)收盤價序列(b)收益率序列

均值標(biāo)準(zhǔn)差偏度峰度JBLBQ(20)ADF2011年-0.0931.287-0.0241.0178.681*12.842-15.524*2012年0.0091.2631.0223.129148.151*22.276-17.167*2013年-0.0231.438-0.1373.455112.542*17.483-13.796*2014年0.1841.3940.6573.775155.188*49.425*-15.534*2015年0.0573.131-0.1612.08242.328*40.976*-14.862*2016年-0.0341.457-0.9914.804261.048*26.802-18.291*

注：JB為Jarque-Bera檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，LBQ(20)為滯后20階的Ljung-Box Q檢驗(yàn)，ADF為單位根檢驗(yàn)，*為在5%水平上顯著。

(a)HAR-RV(b)HAR-RV-CJ

(c)HAR-RV-RS(d)HAR-RV-SJd

其中，Nroll為滾動預(yù)測的目標(biāo)數(shù)。表2和表3給出股指期貨日線和周線已實(shí)現(xiàn)波動率的滾動預(yù)測結(jié)果，表中的黑體數(shù)據(jù)為預(yù)測模型的損失函數(shù)值最小。

由表2可知，針對日線已實(shí)現(xiàn)波動率的預(yù)測，4個模型的MSE和MAE大致呈現(xiàn)依次減小趨勢，考慮好壞波動的HAR-RV-RS模型、考慮正負(fù)符號跳躍的HAR-RV-SJd模型的損失函數(shù)最小，它們的樣本外滾動預(yù)測表現(xiàn)最佳。針對周線已實(shí)現(xiàn)波動率的預(yù)測，表3也呈現(xiàn)大致相同結(jié)論，而且兩個損失函數(shù)都表明HAR-RV-SJd為最佳模型。此外，表2和表3中的樣本內(nèi)損失是在滾動時間窗上HAR類模型的擬合平均誤差。上述4個HAR類模型的兩種損失函數(shù)呈現(xiàn)出嚴(yán)格遞減的趨勢，該結(jié)果與樣本外損失基本保持一致，也證實(shí)了上述模型的預(yù)測能力逐漸提升。鑒于此，滾動預(yù)測表現(xiàn)充分表明，HAR預(yù)測框架下已實(shí)現(xiàn)波動率分解能提高預(yù)測精度，好壞波動分解優(yōu)于連續(xù)跳躍波動分解，好壞波動衍生出的符號跳躍具有極為突出的波動預(yù)測能力。

表2滬深300股指期貨日線已實(shí)現(xiàn)波動率的滾動預(yù)測損失Table 2Rolling Forecasting Losses of Daily Realized Volatility for CSI 300 Index Futures

表3滬深300股指期貨周線已實(shí)現(xiàn)波動率的滾動預(yù)測損失Table 3Rolling Forecasting Losses of Weekly Realized Volatility for CSI 300 Index Futures

4.3POT模型參數(shù)估計(jì)

表4POT模型的參數(shù)估計(jì)結(jié)果Table 4Results for Parameter Estimations of POT Model

4.4VaR和ES的回測分析

采用KUPIEC[47]提出的無條件覆蓋檢驗(yàn)和MCNEIL et al.[1]提出的自枚舉檢驗(yàn)分別對VaR和ES的預(yù)測結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)。經(jīng)過上節(jié)一系列的參數(shù)估計(jì)，未來日線和周線的VaR和ES預(yù)測結(jié)果見表5和表6。

回測分析是在HAR類模型樣本外滾動預(yù)測基礎(chǔ)上展開的。檢驗(yàn)樣本數(shù)設(shè)定為滾動預(yù)測的目標(biāo)數(shù)，即488天。選取0.900和0.950兩個置信水平，則收益率超出尾部風(fēng)險的預(yù)期值(簡稱為“理論超出數(shù)”)大致為50和25。表5和表6給出特定置信水平下不同HAR類波動預(yù)測模型的無條件覆蓋檢驗(yàn)和自枚舉檢驗(yàn)結(jié)果。表中上尾超出數(shù)為正向收益率高于上尾風(fēng)險臨界值的次數(shù)，下尾超出數(shù)為負(fù)向收益率低于下尾風(fēng)險臨界值的次數(shù)?；仡?.4節(jié)可知，回測分析檢驗(yàn)的p值越大，越不能拒絕風(fēng)險測量模型的原假設(shè)，意味著風(fēng)險測量水平越準(zhǔn)確。

分析表5未來日線的股指期貨尾部風(fēng)險預(yù)測結(jié)果，以下尾風(fēng)險對測量結(jié)果進(jìn)行解釋，上尾風(fēng)險測量情況類似。①針對股指期貨尾部風(fēng)險VaR和ES回測分析檢驗(yàn)的多數(shù)模型的p值是顯著的，即接受回測分析檢驗(yàn)的原假設(shè)，說明RV-EVT尾部風(fēng)險測量模型具有較好的短期風(fēng)險測度能力；②在兩種置信水平下，VaR和ES的超出數(shù)均大于理論超出數(shù)，說明RV-EVT模型測量的下尾風(fēng)險邊界比理論區(qū)間稍窄，意味著RV-EVT模型對股指期貨極端風(fēng)險控制得較為嚴(yán)格；③與VaR超出數(shù)相比，相同HAR類模型對應(yīng)ES超出數(shù)更接近理論值，說明RV-EVT理論框架下ES模型比VaR模型對股指期貨短期尾部風(fēng)險的測量更優(yōu)；④比較4類HAR模型發(fā)現(xiàn)，部分HAR-RV、HAR-RV-CJ模型p值未通過回測分析檢驗(yàn)，且HAR-RV-RS和HAR-RV-SJd模型的超出數(shù)更接近理論值，說明考慮好壞波動和符號跳躍建模的RV-EVT風(fēng)險測量模型更加出色。

表5滬深300股指期貨日線VaR和ES的回測分析結(jié)果Table 5Backtesting Analysis Results of Daily VaR and ES for CSI 300 Index Futures

注：與VaR超出數(shù)對應(yīng)的括號內(nèi)數(shù)據(jù)為無條件覆蓋檢驗(yàn)p值，與ES超出數(shù)對應(yīng)的括號內(nèi)數(shù)據(jù)為自枚舉檢驗(yàn)p值，p值越大，預(yù)示風(fēng)險測量模型越準(zhǔn)確。帶有下劃線的數(shù)據(jù)表示對應(yīng)的模型為沒有通過回測分析檢驗(yàn)的模型。下同。

表6滬深300股指期貨周線VaR和ES的回測分析結(jié)果Table 6Backtesting Analysis Results of Weekly VaR and ES for CSI 300 Index Futures

表6為未來周線的股指期貨尾部風(fēng)險預(yù)測結(jié)果。由于采用滾動預(yù)測方式，尾部風(fēng)險周線預(yù)測的檢驗(yàn)樣本數(shù)和理論超出數(shù)與尾部風(fēng)險日線預(yù)測時保持相同。①股指期貨尾部風(fēng)險VaR和ES回測檢驗(yàn)的p值大多顯著，即接受原假設(shè)，說明RV-EVT框架下的VaR和ES模型具有較好的周線風(fēng)險測量能力；②在兩種置信水平下，VaR和ES實(shí)際超出數(shù)均大于其理論超出數(shù)，這與BEE et al.[2]的實(shí)證結(jié)果一致；③ES普遍比VaR更接近理論超出數(shù)，體現(xiàn)出RV-EVT框架下的ES模型比VaR模型具有更好的長期尾部風(fēng)險測量能力；④HAR-RV-RS和HAR-RV-SJd模型比其他模型的顯著性更明顯、超出數(shù)更接近理論值，也體現(xiàn)了好壞波動和符號跳躍在尾部風(fēng)險測量中的價值。

根據(jù)上述分析可知，日線和周線的尾部風(fēng)險測量水平證實(shí)了RV-EVT框架的有效性，且VaR和ES具有較優(yōu)的測量水平。另外，在RV-EVT風(fēng)險測量框架下，HAR-RV-RS和HAR-RV-SJd模型得到較優(yōu)的VaR和ES測量水平。回顧4.2節(jié)的滾動預(yù)測分析，好壞波動或符號跳躍有效提高了波動率預(yù)測精度，而表5和表6的實(shí)證結(jié)果佐證了波動率預(yù)測精度提升能夠提高尾部風(fēng)險VaR和ES測量的準(zhǔn)確性。因此，本研究在波動率預(yù)測建模中構(gòu)建4類HAR模型，補(bǔ)充了BEE et al.[2]建立的HAR類模型，并驗(yàn)證了RV-EVT理論框架下應(yīng)用HAR類模型在中國股指期貨尾部風(fēng)險測量的可行性。

為了更直觀地觀察VaR和ES對股指期貨尾部風(fēng)險的測量結(jié)果及其差異，圖3給出股指期貨下尾風(fēng)險的10%VaR回測分析結(jié)果，圖4給出股指期貨下尾風(fēng)險的10%ES回測分析結(jié)果。圖3和圖4的縱坐標(biāo)為股指期貨放大100倍的日度收益率，橫坐標(biāo)依次為時間從2014年4月5日至2016年4月5日累計(jì)488天的序號。由圖3和圖4可知，研究樣本的前一年收益率波動較小，后一年收益率波動較大。為了比較VaR和ES在不同波動狀態(tài)下的差異，本研究將2014年4月5日至2015年4月5日定義為樣本1，將2015年4月6日至2016年4月5日定義為樣本2，并統(tǒng)計(jì)VaR和ES模型在兩個樣本的收益率超出量占比，結(jié)果發(fā)現(xiàn)ES模型的超出量在樣本1中比VaR模型少，但在樣本2中比VaR模型多。

圖3滬深300股指期貨日線下尾風(fēng)險的10%VaR回測分析結(jié)果Figure 3Backtesting Analysis Results of 10% VaR for Daily Downside Risk of CSI 300 Index Futures

圖4滬深300股指期貨日線下尾風(fēng)險的10%ES回測分析結(jié)果Figure 4Backtesting Analysis Results of 10% ES for Daily Downside Risk of CSI 300 Index Futures

綜合上述分析可知，①收益率超出下尾風(fēng)險VaR和ES預(yù)測值的數(shù)量與表5的結(jié)果大致吻合，說明本研究實(shí)證結(jié)果具有一定的可靠性。②在收益率波動較小的區(qū)域，根據(jù)不同HAR模型計(jì)算的VaR(或ES)較為接近；在收益率波動較大的區(qū)域，不同HAR模型計(jì)算的VaR(或ES)存在較大偏差。③在收益率波動較小區(qū)域，ES模型的超出數(shù)比VaR超出數(shù)少，即低風(fēng)險狀態(tài)下VaR模型更容易捕捉到異常波動；在收益率波動加大區(qū)域，正好反過來。該結(jié)論與王春峰等[13]和楊坤等[24]的研究結(jié)果相似，表明高風(fēng)險狀態(tài)下ES模型比VaR模型表現(xiàn)更優(yōu)異，它能彌補(bǔ)VaR模型失控的缺陷。

4.5量化交易應(yīng)用討論

前文利用跳躍、好壞波動和符號跳躍等新型高頻波動率建模預(yù)測已實(shí)現(xiàn)波動率，并將HAR類波動預(yù)測模型融入極值理論，構(gòu)建測量股指期貨尾部風(fēng)險的RV-EVT風(fēng)險測量方法，該方法在一定置信水平下測量資產(chǎn)收益率預(yù)期水平的臨界值。在程序化交易過程中，當(dāng)擁有穩(wěn)健的量化交易策略后，將其用于實(shí)盤交易時需要計(jì)算每次下單的頭寸規(guī)模，這就是資金管理[49]。

在期貨投資實(shí)務(wù)中，資金管理策略通?？煞譃楣潭ㄙY金、固定倉位和固定風(fēng)險策略。固定資金即交易策略的每筆交易都按相同本金計(jì)算頭寸規(guī)模，如100萬元人民幣的保證金。隨著資產(chǎn)價格上漲(資產(chǎn)價值變大)，固定本金允許的頭寸會減少。由于上市以來股指期貨價格變化較大(見圖1)，固定資金策略普適性不強(qiáng)。固定倉位是指交易策略的每筆交易都遵循相同的頭寸規(guī)模，如10手。固定倉位在不同波動的行情面臨的風(fēng)險差異較大，股指期貨波動較大時，固定倉位也不具有普適性。固定風(fēng)險是指每筆交易按相同損失預(yù)期計(jì)算動態(tài)頭寸，動態(tài)頭寸在不同波動狀態(tài)下具有較好的適應(yīng)性。

在RV-EVT尾部風(fēng)險測量基礎(chǔ)上，本研究建立固定風(fēng)險資金管理策略。假定mon為每筆交易允許的虧損金額，los為每筆交易的期望損失，則固定風(fēng)險的頭寸規(guī)模為

(50)

其中，pos為固定風(fēng)險的頭寸規(guī)模。

此時，若每筆交易的允許虧損金額相同，且利用交易策略的平均虧損估計(jì)期望損失，則(50)式可歸結(jié)為固定倉位策略。考慮到資產(chǎn)收益率尾部風(fēng)險的變化，本研究將其修正為

(51)

其中，rat為風(fēng)險調(diào)整系數(shù)，ris為風(fēng)險測量水平。分析(51)式可知，當(dāng)尾部風(fēng)險增加(波動率較大)時，計(jì)算的頭寸減小；當(dāng)尾部風(fēng)險減小(波動率較小)時，計(jì)算的頭寸增大?？梢?，該資金管理策略的核心是利用尾部風(fēng)險水平對頭寸進(jìn)行動態(tài)調(diào)整。因此，本研究建立的資金管理策略是固定風(fēng)險策略，其優(yōu)點(diǎn)是經(jīng)濟(jì)意義明確且具有可操作性。

現(xiàn)以股指期貨的量化交易策略為例，探討上述資金管理策略的有效性。在討論資金管理策略之前，本研究設(shè)計(jì)了成熟的量化交易策略，其歷史回測表現(xiàn)見表7。該策略的回測時間為2010年4月16日至2018年8月18日，固定1手的資金曲線見圖5(a)。該交易策略包含了做多和做空。當(dāng)滬深300股指期貨為3 000點(diǎn)時，每點(diǎn)為300元(貨幣種類為人民幣，下同)，則每手股指期貨的價值為3 000×300=90萬元。若股指期貨的保證金比例為20%，則每手所需保證金為90萬元×20%=18萬元。鑒于不同期貨公司要求的保證金比例不同，下文在資金管理討論中假定保證金是充足的。

表7兩種資金管理方法的量化交易策略回測分析結(jié)果Table 7Backtesting Analysis Results for Quantitative Trading Strategies Based on Two Money Management Methods

注：手續(xù)費(fèi)設(shè)定為成交金額的萬分之1加2跳滑點(diǎn)。

股指期貨交易策略的平均虧損為2 512.80元，設(shè)定每筆交易允許的虧損金額為5萬元，本研究用其估算每筆交易的期望損失。將風(fēng)險調(diào)整系數(shù)設(shè)定為5%，以RV-EVT框架下的HAR-RV-SJd模型測量的日度ES作為ris，按資金管理(51)式計(jì)算的pos作為交易策略的動態(tài)頭寸，回測得到的策略曲線見圖5(b)。其中，做多的頭寸計(jì)算取下尾ES的絕對值，做空時取上尾ES。由表7可知，固定倉位策略的夏普比率為3，而考慮資金管理的固定風(fēng)險夏普比率為3.170。分析圖5可知，固定倉位策略的曲線存在橫向徘徊(固定1手與固定10手的曲線走勢相同)，而固定風(fēng)險資金管理方法策略的曲線近似直線。回顧(51)式，當(dāng)尾部風(fēng)險為恒定風(fēng)險(如-3%)，則該公式退化為固定倉位策略?？梢姡膊匡L(fēng)險的寬窄變化具有重要價值。綜上分析，考慮尾部風(fēng)險的資金管理策略，使股指期貨量化交易策略擁有更高的夏普比率和更穩(wěn)健的資金曲線。

(a)固定倉位策略的資金曲線(b)固定風(fēng)險策略的資金曲線

因此，本研究探討的資金管理方法適用于單個資產(chǎn)(或策略)的頭寸計(jì)算，其充分表明尾部風(fēng)險在資金管理中的應(yīng)用價值。當(dāng)多個資產(chǎn)(或策略)的投資組合需動態(tài)評估每個資產(chǎn)(或策略)的風(fēng)險時，可以利用尾部風(fēng)險，得到更穩(wěn)健的資產(chǎn)配置策略。限于篇幅本研究不予展開。

5結(jié)論

本研究利用跳躍、好壞波動和符號跳躍等新型高頻波動率建模預(yù)測已實(shí)現(xiàn)波動率，并將預(yù)測模型融入極值理論，構(gòu)建RV-EVT尾部風(fēng)險測量方法，得到以下研究結(jié)果。

(1)波動率的樣本外滾動預(yù)測表明，HAR波動預(yù)測框架下好壞波動分解優(yōu)于連續(xù)跳躍波動分解，好壞波動衍生出的(正負(fù))符號跳躍具有極為突出的波動預(yù)測能力；

(2)回測分析檢驗(yàn)結(jié)果顯著,尾部超出數(shù)接近理論預(yù)期，表明RV-EVT尾部風(fēng)險測量方法有效；

(3)波動預(yù)測模型的精度越高，尾部風(fēng)險測量水平越佳，HAR-RV-RS和HAR-RV-SJd模型的尾部風(fēng)險測量水平最佳；

(4)回測分析結(jié)果表明，ES模型比VaR模型具有更優(yōu)的尾部風(fēng)險測量水平，在高風(fēng)險狀態(tài)下ES模型能彌補(bǔ)VaR模型易失控的缺陷；

(5)通過股指期貨量化策略的資金管理研究，揭示了RV-EVT風(fēng)險測量方法的應(yīng)用價值。

本研究在RV-EVT風(fēng)險測量框架下完善了已實(shí)現(xiàn)波動率的預(yù)測建模，在量化交易策略基礎(chǔ)上，利用尾部風(fēng)險建立有效的資金管理策略。本研究建立了高頻波動率與風(fēng)險管理的橋梁，為金融資產(chǎn)尾部風(fēng)險測量提供了有效方法，對資金管理和風(fēng)險控制具有借鑒意義。

本研究的理論啟示在于，①RV-EVT風(fēng)險測量框架下VaR和ES模型的建模核心是準(zhǔn)確預(yù)測未來波動率，而已實(shí)現(xiàn)波動率的預(yù)測建模具有天然的優(yōu)勢；②根據(jù)極值理論推導(dǎo)的VaR和ES估計(jì)量，通過多期波動率的預(yù)測可實(shí)現(xiàn)多期尾部風(fēng)險的測量。本研究的實(shí)踐啟示在于，①尾部風(fēng)險的測量在特定置信水平上測量了資產(chǎn)收益損失水平的臨界值，它對組合管理、倉位管理等投資實(shí)務(wù)具有重要的指導(dǎo)意義；②在實(shí)務(wù)運(yùn)用中出于量化投資的可靠性需求，VaR和ES的尾部參數(shù)可合理假定，或者簡化為波動率的調(diào)整系數(shù)。

本研究難免存在局限性。本研究僅研究單個資產(chǎn)風(fēng)險測量和實(shí)務(wù)應(yīng)用，而投資組合管理需考慮多類資產(chǎn)的風(fēng)險。因此，不同資產(chǎn)的風(fēng)險測量和風(fēng)險傳染對大類資產(chǎn)配置的影響是未來研究工作。

致謝

感謝嘉實(shí)集團(tuán)董事長趙學(xué)軍博士對波動率的獨(dú)到見解，啟發(fā)了做空波動率的思考。感謝嘉實(shí)基金董事總經(jīng)理、基金經(jīng)理張自力博士對barra風(fēng)險模型的經(jīng)驗(yàn)分享，使本研究延伸到股票風(fēng)險建模運(yùn)用。