立足學(xué)生困惑 尋求難點突破

李季龍

解三角形題目往往涉及的內(nèi)容包括正弦定理、余弦定理及面積公式，且高考屬于c級要求.在解三角形一輪復(fù)習(xí)中，教師一般只是重點強調(diào)正弦定理、余弦定理的邊角互化，缺少對定理的深層次認識，以及對知識方法的融會貫通.大部分學(xué)生只是簡單地套用定理，還沒有形成一定的解題能力，在典型題目的認識上不夠深刻，導(dǎo)致許多學(xué)生解題思路不對，計算量大且浪費時間，甚至算不出正確答案.

一、問題的發(fā)現(xiàn)與呈現(xiàn)

筆者在一次高三一輪復(fù)習(xí)周末練習(xí)中發(fā)現(xiàn)，有一道常規(guī)的解三角形題目得分情況不好，與在高考中必須得到的分數(shù)相距甚遠.

（一）題目的呈現(xiàn)

已知△ABC的面積為S，AB ·AC = 3 2 S.

（1）求cosA;（2）若邊長a，b，c依次成等差數(shù)列，求sinC的值.

（二）班上學(xué)生得分情況統(tǒng)計

得分（滿分14分） 14 8 6 平均分

人數(shù)（43人） 4 16 23 7.49

（三）學(xué)生的答題情況統(tǒng)計

23名得6分的學(xué)生中，主要將第一問解答出來，即：由AB ·AC = 3 2 S得bccosA= 3 2 · 1 2 bcsinA，∴tanA= 4 3 ，又∵A∈（0，π），∴sinA= 4 5 ，cosA= 3 5 .第二問未寫.16名得8分的學(xué)生大致情形分如下兩種：

第一種情形：（化邊為角）由邊長a，b，c依次成等差數(shù)列，得2b=a+c，由正弦定理，2sinB=sinA+sinC，又由（1）知2sinB= 4 5 +sinC，由此思路受阻.

第二種情形：（化角為邊）由（1）及余弦定理得 b2+c2-a2 2bc = 3 5 ，由此思路受阻.

二、情況的調(diào)查

一道看上去不值得研究的“常規(guī)題”出現(xiàn)如此大的差異，而且全年級各班的情況相似.為什么會出現(xiàn)這種情況，是什么原因？是不是教師在講課的時候沒有講解清楚呢？為此筆者在評講練習(xí)之前仔細查閱學(xué)生的練習(xí)以及與部分學(xué)生交流他們在解答本題時的困惑，主要體現(xiàn)在：通常遇到的都是A= π 3 或A= 2π 3 等特殊角，本題cosA= 3 5 ，顯然A不是常見的特殊角，對此感覺到不習(xí)慣，不知如何解決.

三、問題的分析與解決

（一）問題的分析

從學(xué)生的困惑中發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生對于cosA= 3 5 不知道如何轉(zhuǎn)化，那么筆者在評講練習(xí)時，首先從特殊角入手：在△ABC中，若A= π 3 ，你能得到哪些有用的關(guān)系式呢？通過與學(xué)生一起探討分析，能得到如下答案：

若從角度出發(fā)，得到B+C= 2π 3 ， ①

C= 2π 3 -B或B= 2π 3 -C， ②

sinB=? 3? 2 cosC+ 1 2 sinC， ③

sinC=? 3? 2 cosB+ 1 2 sinB; ④

若從邊出發(fā)，由余弦定理得到a2=b2+c2-bc. ⑤

那么，對于本題cosA= 3 5 ，又能得到什么樣的關(guān)系式呢？根據(jù)上述對特殊角的分析，學(xué)生受到啟發(fā)，類似得到：

從角度出發(fā)：sinB=sin（A+C）= 4 5 cosC+ 3 5 sinC， ⑥

及sinC= 4 5 cosB+ 3 5 sinB， ⑦

從邊出發(fā)：由余弦定理得到 b2+c2-a2 2bc = 3 5 . ⑧

（二）問題的解決

通過由特殊角到一般角的分析，那么本題又如何解決呢？按照學(xué)生解答的第一種情形，此時不少學(xué)生能自主得到如下過程：

△ABC中，由（1）及B=π-（A+C），得

sinB=sin（A+C）= 4 5 cosC+ 3 5 sinC. （1）

又a，b，c成等差數(shù)列，有2b=a+c，通過正弦定理化簡得到2sinB= 4 5 +sinC. （2）

聯(lián)立（1）（2）兩式，消去sinB，得sinC+8cosC=4，

再由sin2C+cos2C=1，

解得sinC= 12 13 或sinC=- 4 5 （舍去）.

如果按照學(xué)生解答的第二種情形，由余弦定理，得到 b2+c2-a2 2bc = 3 5 ，又是如何解答呢？對此很多學(xué)生依然沒有思路.

由于對該式的結(jié)構(gòu)特征沒有認真分析過，對解題方向不明確，學(xué)生容易產(chǎn)生思維障礙.由此首先對該式的結(jié)構(gòu)應(yīng)該有一個清楚的認識，然后突出運用方程思想分析問題.對于? b2+c2-a2 2bc = 3 5 ，2b=a+c，? 可以這樣認為：兩個關(guān)于a，b，c的方程，其中a，b，c共三個未知數(shù)，即a，b，c的解不唯一，但是a，b，c三者之間可以相互表示，若消去b，容易得到c與a的關(guān)系，c= 15 13 a，由正弦定理，可得答案.

故第二種情形解答過程如下： b2+c2-a2 2bc = 3 5 ，又2b=a+c，兩式聯(lián)立，消去b，得c= 15 13 a，由正弦定理，知sinC= 15 13 sinA= 12 13 .

四、鞏固與反思

（一）鞏固與提高

為進一步了解學(xué)生對于上述解三角形中邊角互化的方法的掌握情況，筆者準備了兩道變式題，讓學(xué)生當(dāng)堂解答，題目如下：

變式1? （鞏固題）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C對邊的邊長分別是a，b，c，且asinB=-bsin A+ π 3? .（1）求A;（2）若△ABC的面積S=? 3? 4 c2，求sinC的值.

（學(xué)生基本可以通過邊化角或角化邊的方法順利得出正確答案）

變式2? （提高題）已知△ABC，∠C= π 3 ，且三邊長a，b，c滿足a2=b2+ 1 2 c2，求sin（A-B）的值.

解法1? （化邊為角）由a2=b2+ 1 2 c2，∠C= π 3 及正弦定理，得sin2A=sin2B+ 1 2??? 3? 2? 2，

又在△ABC中，sinB=sin（A+C），

∴sin2A=sin2 A+ π 3? + 3 8 ，使用降冪公式及輔助角公式，得sin 2A+ π 3? =-? 3? 4 ，

而sin（A-B）=sin A-? 2π 3 -A? =sin 2A- 2π 3

=sin? 2A+ π 3? -π =? 3? 4 .

使用解法1的學(xué)生多數(shù)能夠得到上述正確答案.

解法2? （化角為邊）由余弦定理c2=b2+a2-ab，聯(lián)立a2=b2+ 1 2 c2，消去c，得到a2+ab-3b2=0，學(xué)生發(fā)現(xiàn)不能十字相乘，若用求根公式，比較煩瑣，思路受阻.

那問題又在哪里呢？注意到所求sin（A-B）=sinAcosB- cosAsinB，其中cosB，cosA由余弦定理可以用邊表示，那么不妨將sinA，sinB借助正弦定理也用邊表示試一試，然后再考慮能否利用條件解出答案.

解法2具體過程如下：由余弦定理c2=b2+a2-ab，聯(lián)立a2=b2+ 1 2 c2，消去c，得到a2+ab-3b2=0，再由正弦定理 a sinA = b sinB =2R，得到sinA= a 2R ，sinB= b 2R ，

∴sin（A-B）=sinAcosB-cosAsinB= a 2R · a2+b2-c2 2ac -? b 2R · b2+c2-a2 2bc = a2-b2 2Rc =? 1 2 c2 2Rc = 1 2 sinC=? 3? 4 .

當(dāng)然變式2還有其他的解法，我們這里只從最基本的邊角互化講解，其他方法這里不再敘述.

（二）總結(jié)與反思

高三教學(xué)是一個復(fù)雜的過程，要注重適當(dāng)引導(dǎo)，啟發(fā)學(xué)生由所給條件自己想到如何去解.通過上述兩道題目的分析，主要有兩種方法，分別從邊和角的不同角度認識問題，認識不同，解法自然相應(yīng)不同.解題時，要注重看清問題的本質(zhì)所在.

在三角形中，若給定一個具體的角，形如A= π 3 ，可以得到其正弦值、余弦值、另外兩角的關(guān)系式（如①②），以及另外兩角的三角函數(shù)關(guān)系式（如③④）;若給定的是角的某一個三角函數(shù)值，形如cosA= 3 5 ，可以得到另外兩角的三角函數(shù)關(guān)系式（如⑥⑦⑧）;在邊與角互化的同時，可以借助正、余弦定理，得到a ∶ b ∶ c=sinA ∶ sinB ∶ sinC，cosA= b2+c2-a2 2bc 等形式.注意：有時還需要借助三角形外接圓的直徑，如由 a sinA = b sinB = c sinC =2R（△ABC外接圓直徑）得到a=2RsinA和sinA= 2R a 等形式.

通過上述題目，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生對于解三角形中兩個定理的認識還僅僅停留在知識層面上，只是將現(xiàn)有的知識和方法進行簡單的再現(xiàn)，反映出學(xué)生解題思路比較單一，解題過程中若碰到不熟悉的情況，往往不知道接下來如何繼續(xù)進行，不能找到有效的切入點.所以，教師需要在了解學(xué)生的實際情況下，有針對性地講解，真正讓學(xué)生掌握解三角形中所給條件的有效轉(zhuǎn)化，可以認清題目的本質(zhì)所在，真正找到解三角形問題的源頭，從而找到解題的快速有效方法.教師在教學(xué)過程中決不能就題論題，要通過適當(dāng)?shù)淖兪浇虒W(xué)，激發(fā)學(xué)生的思維，引導(dǎo)學(xué)生思維走向深刻，以達到掌握解決題目的本質(zhì).