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    數(shù)理邏輯中演繹推理的圖解法

    2018-03-04 04:05:30熊瑜畢金缽
    關(guān)鍵詞:數(shù)理邏輯演繹推理

    熊瑜 畢金缽

    【摘要】 本文通過(guò)作者多年教授離散數(shù)學(xué)課程中數(shù)理邏輯部分的教學(xué)經(jīng)驗(yàn),總結(jié)數(shù)理邏輯中演繹推理的要點(diǎn)和難點(diǎn),利用圖解法幫助學(xué)生更快速簡(jiǎn)單地掌握推理演算的技巧.

    【關(guān)鍵詞】 數(shù)理邏輯;命題公式;謂詞公式;演繹推理

    一、引 言

    數(shù)理邏輯用數(shù)學(xué)的方法來(lái)研究邏輯問(wèn)題,也稱作是符號(hào)邏輯,把邏輯中的推理過(guò)程像數(shù)學(xué)一樣利用公式來(lái)進(jìn)行計(jì)算,從而得到合理正確的結(jié)論.當(dāng)我們已經(jīng)了解了邏輯運(yùn)算的對(duì)象—命題和運(yùn)算符號(hào)—邏輯連接詞,還有謂詞邏輯當(dāng)中把命題進(jìn)一步細(xì)化出個(gè)體詞、量詞和謂詞后,演繹推理就該是接下來(lái)要學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn).學(xué)生通常拿到一個(gè)演繹推理問(wèn)題時(shí),想要按要求來(lái)構(gòu)造一個(gè)有限公式序列,證明推理的合理性,通常無(wú)從下手,那么在本文中我們將把演繹推理演算用有效簡(jiǎn)單的圖解法來(lái)解答,給學(xué)生一個(gè)更快掌握的途徑.

    二、演繹推理的圖解法

    數(shù)理邏輯中,演繹推理問(wèn)題都是要從一些已經(jīng)符號(hào)化好的前提條件出發(fā)推出結(jié)論的有效性與合理性.在這個(gè)過(guò)程中我們要求非常清晰明白地把每一步的推理細(xì)節(jié)呈現(xiàn)出來(lái),讓整個(gè)演繹推理完全清楚明白.這個(gè)過(guò)程就如偵探探案解說(shuō)案件的過(guò)程,每一個(gè)細(xì)小的結(jié)論都需要把現(xiàn)象下的本質(zhì)解答出來(lái).以下我們舉一個(gè)謂詞邏輯當(dāng)中的例子演繹這個(gè)效果.我們將采用圖解法來(lái)實(shí)現(xiàn)有效簡(jiǎn)單的解答.

    例如,證明“每個(gè)喜歡獨(dú)處的人都不喜歡熱鬧;每個(gè)人或者喜歡熱鬧或者喜歡安靜;有的人不喜歡安靜;所以,有人不喜歡獨(dú)處.”

    設(shè)個(gè)體域是全體人類,P(x):x喜歡獨(dú)處,Q(x):x喜歡熱鬧,R(x):x喜歡安靜.符號(hào)化我們需要證明的推理命題如下:

    x(P(x)→ Q(x)),x(Q(x)∨R(x)),

    x R(x)x P(x)

    (1)P:x R(x) (2)ES? R(a)

    (3)P:x(Q(x)∨R(x)) (4)US Q(a)∨R(a)? (5)T Q(a)

    (6)P:x(P(x)→ Q(x)) (7)US P(a)→ Q(a)

    (8)T? P(a) (9)EU x P(x)

    以上圖解中出現(xiàn)的符號(hào)表意如下:

    P:前提引入規(guī)則;T:結(jié)論引入規(guī)則;ES:存在量詞消去規(guī)則;US:全稱量詞消去規(guī)則;EU:存在量詞引入規(guī)則.

    以下我們按照?qǐng)D解法的思路,可以輕松地寫出整個(gè)推理所構(gòu)造出的有限公式序列.

    (1)x R(x)P;

    (2) R(a)ES:(1);

    (3)x(Q(x)∨R(x))P;

    (4)Q(a)∨R(a) US:(3);

    (5)Q(a)T:(2),(4);

    (6)x(P(x)→ Q(x))P;

    (7)P(a)→ Q(a)US:(6);

    (8) P(a)T:(5),(7);

    (9)x P(x)EU:(8).

    在這個(gè)公式序列中最后一個(gè)公式即為我們所要證明的結(jié)論.公式序列里面每步構(gòu)造的子公式,我們要求在后面的注解中清晰地寫出這一階段性結(jié)論的由來(lái)依據(jù).從我們的圖解法中就可以快速找到依據(jù).比如,第(8)步中,我們得到一個(gè)階段性的結(jié)論 P(a),那么是怎么來(lái)的呢?其實(shí)我們是根據(jù)第(5)步Q(a)和第(7)步P(a)→ Q(a)這兩個(gè)子公式,利用了“拒取式”這個(gè)基本推理公式所得到的.我們的推理過(guò)程就像搭建一座房屋,根基要非常的牢靠,每一個(gè)步驟環(huán)環(huán)相扣,不能夠出現(xiàn)任何紕漏,圖解法通常是最為直觀和有效的方式.

    三、小 結(jié)

    有了第二節(jié)中圖解法,能夠清晰地展現(xiàn)出推理的整個(gè)思維過(guò)程,學(xué)生在學(xué)習(xí)演繹推理時(shí)就可以快速準(zhǔn)確地把推理的細(xì)節(jié)全部抓住,從而快速解決問(wèn)題.這樣我們就能夠真正地實(shí)現(xiàn)數(shù)理邏輯的先驅(qū)萊布尼茲曾經(jīng)的理想,創(chuàng)造出了一種“通用的語(yǔ)言”,把邏輯推理過(guò)程像數(shù)學(xué)一樣利用公式來(lái)進(jìn)行演算,最終得到合理正確的結(jié)論.

    【參考文獻(xiàn)】

    [1]Kenneth H Rosen .離散數(shù)學(xué)及其應(yīng)用(英文版):第7版[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2012.

    [2]方景龍,周麗.應(yīng)用離散數(shù)學(xué):第2版[M].北京:人民郵電出版社,2014.

    [3]R.約翰遜鮑夫.離散數(shù)學(xué)[M].黃林鵬,陳俊清,等譯.北京:電子工業(yè)出版社,2015.

    [4]謝美萍,陳媛.離散數(shù)學(xué)[M].北京:清華大學(xué)出版社,2014.

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