初中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)設(shè)計(jì)研究

祝春玲

[摘? 要] 本文以“數(shù)形結(jié)合”為主題，通過分析，闡述數(shù)形結(jié)合的教學(xué)原則與教學(xué)策略，提出初中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)設(shè)計(jì)思路，以期給廣大教師帶來有價值的參考.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)形結(jié)合;數(shù)學(xué)課堂;策略

數(shù)形結(jié)合的教學(xué)原則

1. 數(shù)學(xué)語言的靈活轉(zhuǎn)換

“數(shù)”與“形”，在某種環(huán)境與條件下，它描述的是同一個數(shù)學(xué)問題，同一種數(shù)學(xué)現(xiàn)象，所指向的是同一個板塊的數(shù)學(xué)主題，這也是“數(shù)形結(jié)合”思想的由來，用數(shù)字/數(shù)據(jù)與圖形來同時表達(dá)某一個數(shù)學(xué)原理. 因此，教師在指導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識與理解“數(shù)形結(jié)合”這一思想時，首先要秉承數(shù)學(xué)語言靈活轉(zhuǎn)換這一原則.

以“二次函數(shù)”為例，在“二次函數(shù)y=ax²（a≠0）的圖像和性質(zhì)”這一知識點(diǎn)中，函數(shù)“y=ax²（a>0）”的圖像如圖1.

這也就意味著這一個函數(shù)表達(dá)式與這一個函數(shù)圖像，兩者都表達(dá)了同樣的內(nèi)容. 學(xué)生在書寫表達(dá)式時，應(yīng)當(dāng)可以靈活地畫出它所對應(yīng)的圖形. 與此同時，當(dāng)學(xué)生看到這一圖形時，也可以準(zhǔn)確地寫出它所反映的函數(shù)表達(dá)式. 因此，“數(shù)學(xué)語言的靈活轉(zhuǎn)換”這一教學(xué)原則的目的在于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)敏感性，能夠?qū)ν粋€數(shù)學(xué)知識保持著“數(shù)”和“形”的雙重認(rèn)知，這是學(xué)生后續(xù)真正運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”這一思想的基礎(chǔ).

2. 抽象問題的具化呈現(xiàn)

“數(shù)形結(jié)合”要解決的根本問題就是認(rèn)知問題，不論是借助數(shù)字來理解圖形，還是借助圖形來理解數(shù)字，其目的都在于讓問題變得更加清晰和直觀. 因此，教師在指導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識與理解“數(shù)形結(jié)合”這一思想時，第二個要秉承的原則就是“抽象問題的具化呈現(xiàn)”. 比如在圖2中，假如僅知道正三角形的邊長為a，如何求解它的內(nèi)切圓與外接圓組成的圓環(huán)的面積呢？

假如學(xué)生用常規(guī)的思想，想通過求解外接圓和內(nèi)切圓的面積再相減，顯然題目給予的條件并不充分. 在這種情況下，學(xué)生就需要將求解“兩個圓的面積相減”的問題轉(zhuǎn)化成求出“兩圓的半徑平方差”這一問題. 如此一來，假如我們將正三角形外接圓、內(nèi)切圓的半徑和面積分別設(shè)為R，r，S₁，S₂，那么圓環(huán)的面積就等于S_1-S₂=πR²-πr²=π（R²-r²）. 顯然，題目可以求解. 這一求解思路體現(xiàn)的是“數(shù)形結(jié)合”中的“以形助數(shù)”和“以數(shù)助形”. 當(dāng)教師能夠引導(dǎo)學(xué)生在看到復(fù)雜的、抽象的問題時，巧妙地利用數(shù)形結(jié)合來使其變得簡單與具體，那么數(shù)學(xué)問題自然也會迎刃而解.

3. 數(shù)學(xué)規(guī)律的摸索抓取

教師在組織開展“數(shù)形結(jié)合”的教學(xué)時，還應(yīng)當(dāng)秉承指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)規(guī)律的摸索與抓取的原則. 數(shù)學(xué)是一門內(nèi)在邏輯性非常強(qiáng)的學(xué)科，各個知識板塊看似彼此獨(dú)立，但這中間卻有著千絲萬縷的關(guān)系. 而學(xué)生在解答題目時，也會發(fā)現(xiàn)同一個知識點(diǎn)可能會被不同的題目與不同的問法所呈現(xiàn)，這就要求學(xué)生能夠抓住海量題目中的相似規(guī)律，這也是數(shù)形結(jié)合思想的重要出發(fā)點(diǎn). 假如學(xué)生能夠?qū)⑸钪械哪骋环N現(xiàn)象或某一個問題，通過數(shù)形結(jié)合的思想來將隱藏其中的規(guī)律抓出來，無疑對問題的解決有著很大的幫助. 而借助數(shù)形結(jié)合的思維與方法來變現(xiàn)象為規(guī)律，也是我們在教學(xué)中經(jīng)常強(qiáng)調(diào)的要讓學(xué)生真正地理解知識，而不是機(jī)械地“刷題”.

數(shù)形結(jié)合的教學(xué)策略

1. 對應(yīng)關(guān)系的搭建——邏輯列舉法

數(shù)形結(jié)合的出發(fā)點(diǎn)在于用“數(shù)”和“形”來表達(dá)同一個數(shù)學(xué)問題. 因此，教師在將這種思想與工具教給學(xué)生時，可以采用邏輯列舉法這一教學(xué)策略來讓學(xué)生學(xué)習(xí)搭建“數(shù)”與“形”之間的對應(yīng)關(guān)系. 邏輯列舉法的本質(zhì)在于讓學(xué)生理順數(shù)學(xué)知識點(diǎn)在“數(shù)”與“形”兩者的呈現(xiàn)方式，并將兩者之間的脈絡(luò)打通. 比如二次函數(shù)“y=-1/2x²-3x-5/2”，假如教師要學(xué)生說出x為何值時，y會隨x的增大而增大？x為何值時，y會隨x的增大而減少？顯然，單純地看這一函數(shù)，學(xué)生能想到的最常用的方式就是通過多次“賦值代入法”來進(jìn)行驗(yàn)證，但這種方法耗時長，對驗(yàn)證的次數(shù)有最低要求. 面對這種情況，數(shù)形結(jié)合這一工具就能派上用場. 教師可以指導(dǎo)學(xué)生通過描點(diǎn)法來繪制其圖像，如圖3.

借助這個圖像，我們能夠很明顯地得知，當(dāng)x<-3時，函數(shù)y隨著x的增大而增大;當(dāng)x>-3時，函數(shù)y隨x的增大而減少. 不僅如此，我們還可以從圖像上得知函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)以及與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)等.

將這個圖像與二次函數(shù)“y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，且a<0）進(jìn)行對比，會發(fā)現(xiàn)兩者在輪廓上大體相似，但具體位置不同，這其實(shí)是拋物線的平移問題，而這一平移規(guī)律的背后邏輯是：一般地，拋物線y=a（x-h）²+k與y=ax²形狀相同，位置不同. 把拋物線y=ax²向上（k>0）或向下（k<0）平移k個單位;再向左（h<0）或者向右（h>0）平移|h|個單位，就得到y(tǒng)=a（x-h）²+k的圖像. 簡單點(diǎn)講就是“左加右減括號內(nèi)，號外上加下要減”. 當(dāng)學(xué)生把這一邏輯原理抓出來后，與此類知識點(diǎn)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，就可以自然地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合來思考. 總的來講，邏輯列舉教學(xué)法強(qiáng)調(diào)的是讓學(xué)生能夠?qū)ⅰ皵?shù)”與“形”相互關(guān)系背后的邏輯抓住，以準(zhǔn)確地把握數(shù)形轉(zhuǎn)化的規(guī)律.

2. 數(shù)學(xué)模型的設(shè)計(jì)——主題任務(wù)法

上面提到，教師在進(jìn)行“數(shù)形結(jié)合”這一思想與工具的教學(xué)時，要指導(dǎo)學(xué)生秉承化抽象為具體的原則，為了實(shí)現(xiàn)這一教學(xué)目的，教師可以采用主題任務(wù)教學(xué)法來指導(dǎo)學(xué)生嘗試設(shè)計(jì)數(shù)形轉(zhuǎn)化的模型. 以“三角形”為例，比如“三角形的高、中線與角平分線”這個知識點(diǎn)，教師可以讓學(xué)生圍繞著這個知識點(diǎn)來思考直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形這三種不同三角形中高、中線與角平分線的關(guān)系與聯(lián)系. 最終大家在課堂上經(jīng)過討論分析后，分別繪制出了如圖5～圖7的三個圖形.

可以看出：銳角三角形的三條高在三角形內(nèi)部，相交于一點(diǎn)，如圖5所示. 直角三角形有兩條高與直角邊重合，另一條高在三角形內(nèi)部，它們的交點(diǎn)是直角頂點(diǎn)，如圖6所示. 鈍角三角形有兩條高在三角形外部，一條高在三角形內(nèi)部，三條高不相交，但三條高所在直線相較于三角形外一點(diǎn)，如圖7所示. 這三個三角形就是三種高、中線、角平分線的模型. 當(dāng)學(xué)生下次再遇到類似的題目時，就可以把抽象的空間概念具化為這三種模型，并借助模型特點(diǎn)來解答對應(yīng)的題目. 總的來講，主題任務(wù)法強(qiáng)調(diào)的是學(xué)生能夠?yàn)椤皵?shù)”與“形”的相互轉(zhuǎn)化找到特定的載體.

3. 實(shí)際問題的解決——案例模擬法

學(xué)習(xí)的初衷是為了解決問題，因此，“學(xué)以致用”一直都是我們在教學(xué)時所要強(qiáng)調(diào)的原則. 基于此，教師在進(jìn)行“數(shù)形結(jié)合”思想的教學(xué)傳授時，可以采用案例模擬法這一教學(xué)策略來提高學(xué)生的問題解決能力. 以“一次函數(shù)”為例，假如有一道題目是這樣的：“某水利工地派48人去挖土和運(yùn)土，如果每人每天平均挖土5方或運(yùn)土3方，那么應(yīng)該怎樣分配挖土和運(yùn)土的人數(shù)，正好能夠使挖出的土及時運(yùn)走？”這就是一個實(shí)際問題，是數(shù)學(xué)問題在生產(chǎn)中的運(yùn)用. 它需要學(xué)生列出方程組后用圖像法來求解. 假如將應(yīng)分配挖土的人數(shù)設(shè)為x，運(yùn)土的人數(shù)設(shè)為y，則根據(jù)題目可以列出方程組x+y=48，5x=3y， 繪制出的圖像如圖8.

受限于篇幅，筆者這里不在解題步驟上多加陳述，但這一題目折射的就是一次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系. 顯然：從“數(shù)”看，求解方程組和求解自變量為何數(shù)值時函數(shù)值相等，這一對關(guān)系指向的是同一個問題;從“形”看，方程組的解和兩直線交點(diǎn)的坐標(biāo)，這一對關(guān)系指向的也是同一個問題. 這就是數(shù)形結(jié)合思想在具體生產(chǎn)問題中的體現(xiàn). 總的來講，案例模擬法強(qiáng)調(diào)的是學(xué)生能夠切實(shí)地將理論遷移到實(shí)踐中，將數(shù)形結(jié)合思想真正地掌握與運(yùn)用.

結(jié)語

在眾多的數(shù)學(xué)思想中，“數(shù)形結(jié)合”無疑是最普遍、使用頻率最高的思想. 它指的是將數(shù)學(xué)語言中的數(shù)字與圖形（或某種有意義的符號）結(jié)合在一起來思考問題、判斷問題. 作為一種基本且重要的數(shù)學(xué)思想，它在培養(yǎng)學(xué)習(xí)者數(shù)學(xué)思維上具有非常重要的影響與作用. 為了更好地實(shí)現(xiàn)這一教學(xué)目的，教師在設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)課堂時，應(yīng)當(dāng)尊重“數(shù)形結(jié)合”的思維規(guī)律，并以此為參考基礎(chǔ)作為教學(xué)原則. 同時采取邏輯列舉法、主題任務(wù)法、案例模擬法等來將教學(xué)目標(biāo)執(zhí)行到位，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中能夠逐步地認(rèn)識并掌握“數(shù)形結(jié)合”，以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率與學(xué)習(xí)質(zhì)量.