經(jīng)歷“數(shù)數(shù)過程”，抽象數(shù)概念本質(zhì)

北京市西城區(qū)康樂里小學(xué) 楊 宏

一、問題的提出

（一）問題的提出

“數(shù)概念”是指分?jǐn)?shù)、負(fù)數(shù)、平均數(shù)等與“數(shù)”有密切關(guān)系的概念，是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，是學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)的運(yùn)算、與數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題的基礎(chǔ)，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感、符號(hào)感的重要載體。

小學(xué)數(shù)概念是小學(xué)生正確進(jìn)行列式、計(jì)算、判斷、推理等教學(xué)活動(dòng)的基礎(chǔ)，是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一項(xiàng)重要內(nèi)容，其主要任務(wù)是要使學(xué)生獲得科學(xué)、完整的數(shù)概念。教材對(duì)小學(xué)各年級(jí)學(xué)生要求掌握的廣度和深度是不一樣的，正如列寧所說：“認(rèn)識(shí)是思維對(duì)客體的永遠(yuǎn)的、沒有止境的接近。”

（二）研究的意義

在日常教學(xué)中，許多教師不能把握概念本質(zhì)，以致學(xué)生對(duì)數(shù)概念的理解和認(rèn)識(shí)淺嘗輒止、浮于表面。教師往往把一個(gè)新的概念和盤托出，讓學(xué)生去記憶，然后借助大量的練習(xí)去加以鞏固。這樣，常常看似學(xué)生掌握較好，但理解不深，不會(huì)靈活運(yùn)用。我們認(rèn)為，教師要緊扣概念的本質(zhì)，展示概念的形成過程，幫助學(xué)生全面理解、準(zhǔn)確把握概念的實(shí)質(zhì)。

二、研究內(nèi)容

（一）自然數(shù)的產(chǎn)生和發(fā)展

自然數(shù)是最自然的數(shù)，自然數(shù)理論是整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。自然數(shù)產(chǎn)生于計(jì)數(shù)（數(shù)數(shù)）。隨著歷史的發(fā)展，人類的進(jìn)步，千百萬次地重復(fù)計(jì)數(shù)，人們慢慢發(fā)現(xiàn)，在數(shù)各種集合中的事物時(shí)，數(shù)與被數(shù)物的特性無關(guān)。正是數(shù)字符號(hào)，為人們對(duì)自然數(shù)的認(rèn)識(shí)起了重要的作用。有了數(shù)字符號(hào)，數(shù)學(xué)的抽象性特征也就開始展現(xiàn)出來了。

因此，從各種具體事物中抽象出數(shù)概念的本質(zhì)，初步理解十進(jìn)位位值制記數(shù)法是低年級(jí)數(shù)概念教學(xué)要關(guān)注的重點(diǎn)內(nèi)容。

（二）數(shù)概念的特點(diǎn)

在所有數(shù)學(xué)概念中，離學(xué)生日常生活最近的是數(shù)概念和初等幾何概念，絕大多數(shù)的數(shù)概念都可以在現(xiàn)實(shí)生活中找到模型。正因?yàn)榇蠖鄶?shù)的數(shù)概念都貼近人類的生活源泉，因此，在數(shù)概念的教學(xué)中一般都可以借助于實(shí)際的情境和活動(dòng)。

三、相關(guān)研究

（一）小學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)概念的界定及確定依據(jù)

1.數(shù)概念的形成

從數(shù)系的角度看，數(shù)概念包括自然數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)、實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)。但從學(xué)習(xí)心理的研究來看，主要集中在有理數(shù)，特別是自然數(shù)上，有關(guān)無理數(shù)和虛數(shù)的研究則寥寥無幾（Zazkis & Sirotic，2004）。

2.數(shù)概念的認(rèn)識(shí)有三個(gè)發(fā)展階段

第一階段（4～5歲）是對(duì)數(shù)概念無法理解的階段，無法運(yùn)用一對(duì)一的對(duì)應(yīng)關(guān)系趨建構(gòu)兩組有同樣數(shù)目的實(shí)物。第二階段（5～6歲）是過渡時(shí)期，會(huì)運(yùn)用一對(duì)一對(duì)應(yīng)關(guān)系建構(gòu)同等數(shù)，但對(duì)于一對(duì)一關(guān)系不是充分理解。第三階段（6歲半以后）是對(duì)數(shù)概念能真正理解的階段，兒童已能用各種方法建構(gòu)同等性。

3.學(xué)生理解位值概念時(shí)的困難

位值是小學(xué)階段一個(gè)比較難學(xué)的概念，涉及一系列復(fù)雜的想法及關(guān)系。對(duì)位值缺乏理解的學(xué)生在理解小數(shù)時(shí)有一段困難時(shí)期。

（二）小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)概念本質(zhì)的相關(guān)研究

為了減少位值概念的教學(xué)困難，一些教學(xué)輔助工具便應(yīng)運(yùn)而生，其中比較著名的是狄恩斯（Dienes，1971）的“狄氏多層算術(shù)積木”（Dienes Multibase Arithmetic Blocks）。除了用于手工操作的教學(xué)輔助工具外，近年來隨著計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)的興起，研究人員還開發(fā)了許多用于位值概念教學(xué)的軟件。

四、經(jīng)歷“數(shù)數(shù)過程”，抽象數(shù)概念本質(zhì)的教學(xué)建議

（一）幫助學(xué)生從具體實(shí)物中抽象出數(shù)概念

《課程標(biāo)準(zhǔn)》中明確指出“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)?！爆F(xiàn)代教育理論主張讓學(xué)生動(dòng)手去“做”數(shù)學(xué)，而不是用耳朵“聽”數(shù)學(xué)。因此，教學(xué)要留給學(xué)生足夠的時(shí)間和空間，讓每個(gè)學(xué)生都有參與活動(dòng)的機(jī)會(huì)，使學(xué)生在動(dòng)手中學(xué)習(xí)，在動(dòng)手中思維，在思維中動(dòng)手，讓學(xué)生在動(dòng)手、思維的過程中探索、創(chuàng)新。

（二）重視“數(shù)數(shù)”活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)概念的產(chǎn)生“過程”

例如，教學(xué)《1000以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)》，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)的產(chǎn)生過程。學(xué)生在一年級(jí)學(xué)習(xí)認(rèn)數(shù)時(shí)，也是分階段學(xué)習(xí)的。而對(duì)于二年級(jí)的學(xué)生來說，雖然有了一定的認(rèn)數(shù)基礎(chǔ)，但是這些較大數(shù)對(duì)于學(xué)生來說是比較抽象的，通過于學(xué)生的課前調(diào)查，學(xué)生對(duì)于以前學(xué)過的一、十、百計(jì)數(shù)單位的關(guān)系和百以內(nèi)數(shù)的組成掌握比較好，看到一個(gè)兩位數(shù)能夠準(zhǔn)確的說出組成（ ）個(gè)十和（ ）個(gè)一，在按順序數(shù)數(shù)上一個(gè)一個(gè)數(shù)沒有問題，幾個(gè)幾個(gè)數(shù)就會(huì)出現(xiàn)問題。把離散的一個(gè)一個(gè)的抽象成聚合的以計(jì)數(shù)單位形式呈現(xiàn)的聚合的量。這也是數(shù)概念學(xué)習(xí)的一次飛躍。這也是學(xué)習(xí)萬的一個(gè)基礎(chǔ)。所以我認(rèn)為需要利用多種直觀而又形象的素材如小正方體、計(jì)數(shù)器、人民幣等來幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)，支撐較大數(shù)概念的建立。

（三）為學(xué)生提供不同層次的學(xué)具來理解位值思想

例如：教學(xué)《11～20各數(shù)的認(rèn)識(shí)》，通過比較體驗(yàn)，讓學(xué)生真真實(shí)實(shí)地感受到把10根扎成一捆是最容易看出是多少根，并體會(huì)到10根扎成一捆這種方法的優(yōu)越性，進(jìn)而引發(fā)出要認(rèn)識(shí)的新的計(jì)數(shù)單位‘十’。這樣的活動(dòng)，突破了10個(gè)一就是1個(gè)十的難點(diǎn)，從而使學(xué)生理解了數(shù)的意義，建立正確的數(shù)概念，也為培養(yǎng)數(shù)感奠定了扎實(shí)的基礎(chǔ)。

用于現(xiàn)代社會(huì)生活信息交流的記數(shù)法是我們現(xiàn)在已習(xí)慣的10進(jìn)位位值制記數(shù)法，又稱十進(jìn)位制。含義有二，其一是“十進(jìn)制”，即用10個(gè)不同的數(shù)字，按照每滿十?dāng)?shù)向上進(jìn)一個(gè)單位（逢10進(jìn)1）的原則進(jìn)行書寫，十個(gè)一進(jìn)為一個(gè)十，十個(gè)十進(jìn)為一個(gè)百，十個(gè)百進(jìn)為一個(gè)千……；其二是“位值制”，即每個(gè)數(shù)碼所表示的數(shù)值，不僅取決于這個(gè)數(shù)碼本身，而且取決于它在記數(shù)中所處的位置。如同樣是一個(gè)數(shù)碼“2”，放在個(gè)位上表示2，放在十位上表示20，放在百位上就表示200，等等。十進(jìn)制與人類有10個(gè)指頭有關(guān)，初學(xué)算術(shù)的兒童總是拿10個(gè)指頭來幫助計(jì)算可能就是最好的證明。

這節(jié)課是在學(xué)生認(rèn)識(shí)計(jì)數(shù)單位一的基礎(chǔ)上認(rèn)識(shí)新的計(jì)數(shù)單位十的第一節(jié)課, 學(xué)生對(duì)于數(shù)位的知識(shí)以及十進(jìn)制概念更是第一次接觸。因此,本節(jié)課重點(diǎn)要使學(xué)生初步建立十進(jìn)概念。

總之，數(shù)學(xué)是一門邏輯性很強(qiáng)的學(xué)科，各個(gè)概念不是孤立存在，而是緊密聯(lián)系著的，要很好地掌握數(shù)概念和運(yùn)用數(shù)概念，必須了解數(shù)概念的本質(zhì)和概念間的聯(lián)系。