數(shù)學軟件在數(shù)學建模中的運用

王軍鷹

摘要

數(shù)學是基礎類學科，在社會各領域中都有著十分突出的表現(xiàn)，在民眾日常生活中有著不可取代的地位與價值。信息時代的不斷發(fā)展，使得數(shù)學與信息技術之間的關聯(lián)更加密切，各種數(shù)學軟件開始出現(xiàn)。本文將通過對數(shù)學軟件的介紹，對數(shù)學軟件在數(shù)學建模中的具體應用展開全面論述，旨在提高數(shù)學軟件應用水平，實現(xiàn)理想化數(shù)學建模模式。

【關鍵詞】數(shù)學建模 數(shù)學競賽 數(shù)學軟件 數(shù)學問題

所謂數(shù)學建模是指，為一特定目的，按照現(xiàn)實世界特定對象的內在規(guī)律，對其實施必要簡化假設，以通過合適的數(shù)學工具得到相應數(shù)學結構的過程。數(shù)學建模不僅在教學領域中得到了廣泛應用，在工程建設以及其他各個領域中也有著不可取代的價值。為進一步提升國內數(shù)學建模整體水平，確保建模優(yōu)勢能夠得到有效發(fā)揮，業(yè)界學者開始將各種數(shù)學軟件運用到了數(shù)學建模之中。

1 數(shù)學軟件

所謂數(shù)學軟件是指，制作數(shù)學動畫與圖形、實施數(shù)學運算以及運籌規(guī)劃等行為的軟件，是數(shù)學應用工具與數(shù)學方法的直觀呈現(xiàn)，可通過數(shù)學方法與數(shù)學應用對其進行拓展。通過研究發(fā)現(xiàn)，數(shù)值計算軟件會通過數(shù)值方式完成相應問題解答，總體軟件共分為數(shù)學軟件系統(tǒng)、程序庫以及軟件包三個級別。其中程序庫由各種功能模塊以及算法程序所組成;為某種應用設計程序所組成的便是軟件包;而軟件系統(tǒng)擁有用戶界面語言以及管理系統(tǒng)兩部分內容，會通過對具體問題特性以及類型進行分析的方式，選擇出最佳的算法，以對問題展開精準處理。

與數(shù)值計算軟件有所不同，符號運算軟件會利用方程式以及符號表達式，對問題展開演算與推導，會利用函數(shù)展開以及代數(shù)演算等功能，精準展開問題處理。

2 數(shù)學軟件在數(shù)學建模中的具體應用

為對數(shù)學軟件在數(shù)學建模中的應用展開詳細研究，本文將以數(shù)學競賽某一問題為例，對數(shù)學軟件具體運用方式進行全面分析。

2.1 應用過程

（1）競賽題為“血管的三維重組”，在此由于時間限制，對原題目進行省略。題中假設將一些血管視為特殊管道，球心沿曲線球滾動包絡而管道表面。為對建模過程進行簡化，假設管道內所有管道平行切片與軸線都只有一個交點，且球半徑長度固定不變，切片圖像像素尺寸與間距尺寸都為1，求管道半徑與中軸線具體計算方式，并繪制中軸線平面投影圖。

（2）在對問題進行詳細分析之后，可以發(fā)現(xiàn)此題為典型的圖像處理題，題目中圖像信息量相對較為龐雜，單純依靠人工很難完成建模任務，需要借助計算機技術對其進行分析，此時數(shù)學軟件優(yōu)勢便充分體現(xiàn)了出來。在此將運用Mathematica軟件，對圖像信息展開全面分析。在對該軟件進行具體應用過程中，會通過下達Import命令，將BMP圖形“0.Bmp”轉化為相應矩陣，整體矩陣形式為512×512的大型矩陣，其中白色點對應1，黑色點對應0，在下達ReadBMP轉換命令時，白色點隊形255，黑色點對應0。因為整體信息數(shù)據(jù)量相對較大，所有數(shù)據(jù)所具有的價值并不相同，其中以邊界點數(shù)據(jù)價值最為突出，可通過對邊界點數(shù)據(jù)進行過濾的方式，降低整體數(shù)據(jù)分析任務量，以通過編程的方式完成邊界點過濾任務，進而按照邊界點數(shù)據(jù)完成三維圖形繪制任務。此時管道形象會直觀呈現(xiàn)出來，可通過對軟件動畫模擬功能的進一步運用，對管道動態(tài)三維圖像進行繪制，并得到相應解題提示。

（3）在獲得相應提示之后，相關人員需要對問題展開分析。先制作一串球，并運用一個平面實施切割，以獲得一串圓的切面圖形，而這些圓的包絡線便是圖形邊界。在所有圓之中，有一個圓半徑長度最長，因為切面與中軸線只有一個交點，因此以該焦點為中心的平面和球的交線，便是大圓，球的半徑便是其半徑。因為球交線包絡線便是切面圖形，園內各點到邊界的距離，以圓心長度最長，所有圓心邊界距離以大圓圓心為最大，所以在切面和中軸線只有一個交點，且球半徑一定時，切面圖形到邊界最大距離點便是切面和中軸線交點。通過該點，相關人員可以很快計算出，該點到邊界之間的距離，便是球半徑長度。

（4）在完成相應分析之后，便可以展開半徑與中軸線計算。相關人員可按照前面的分析，按照尋找每層邊界點的方式，計算出到邊界線距離中的最大內點與其到邊界之間距離，進而完成球半徑、切片交點位置以及中軸線計算任務。

（5）在得到中軸線之后，計算人員要利用ListPlot命令，完成中軸線在XY、XZ以及YZ平面中的投影繪制，且要用Fit命令，完成投影線方程擬合。在此過程中，計算人員可按照數(shù)據(jù)點圖形，合理對圖形形狀擬合曲線種類進行選擇，以對擬合曲線和數(shù)據(jù)吻合程度進行保證。其中在進行YZ面投影圖制作時，要對反正切函數(shù)圖形相似的圖形分布予以高度關注，要運用Fit命令，通過對函數(shù)ArcTan的運用，展開投影方程擬合，以獲得相應圖形;在實施XZ平面投影圖制作過程中，可運用ListPlot命令完成中軸線交點投影圖繪制，并要通過對多項式的運用，完成方程擬合;利用ListPlot命令，測繪出中軸線交點在XY平面投影圖，且要運用圓方程展開方程擬合。因為所獲得的所有的擬合曲線圖形，與計算結果相一致，所以計算人員可按照具體要求，完成中軸線參數(shù)方程組合。

（6）在對管道三維圖進行重組過程中，計算人員可通過對三維作圖命令ScatterPlot3D的運用，按照交點坐標完成中軸線交點空間圖形制作。同時還可以通過對球心沿中軸線進行滾動的一串球，展開管道空間重組。

2.2 改進建議

在本次計算過程中，計算人員只是對像素中心間距離進行了考慮，若截面與中軸線交點位置不在中心位置，則此計算方式將不再適用。所以計算人員還要對其他位置的交點計算方式展開分析，不僅要對交點附近點展開詳細分析，通過重復上述計算過程的方式，獲得準確的交點位置，同時還要對邊界點像素展開深度分析，要利用上述計算對外邊界以及內邊界進行獲取，并要運用外邊界完成球半徑計算。為對整體計算過程進行簡化，計算人員可只針對交點附近像素點展開分析，并要運用邊界點完成中心計算任務，以通過計算值與邊界點中心到外邊界距離進行相加的方式，計算出實際的半徑數(shù)值。但因為圖形數(shù)據(jù)精度為11所以在結果中對像素點展開詳細分析，對小數(shù)點后若干位數(shù)值進行求取，價值并不高，沒有必要。

2.3 討論

此次算法是在實際例子中所產生的，在進行數(shù)學模型建設時，建設人員需要對模型結果實用性與適用性進行保證，要確保其能夠與實際相符，以便從具體例子中獲取到更加具有普適性的模型。本次問題的計算關鍵，是命題I，但在進行命題1證明過程中，計算人員卻遇到了一定的問題，其不得不思考，在相應假設之下，命題1是否成立，以確定競賽題本身的數(shù)學表述是否存在問題。

本次例子計算過程，對數(shù)學軟件數(shù)值計算進行了全面展示，其在圖形處理以及數(shù)據(jù)處理方面的優(yōu)勢，也得到了有效發(fā)揮。目前國內所使用的Mathematica以及其他軟件，都在數(shù)學建模競賽題解答中得到了有效運用，其中Mathematica軟件，具有軟件大小合適以及尋找參考資料較為簡單等方面的優(yōu)勢，會在數(shù)據(jù)建模過程中起到十分積極的作用?？偠灾瑪?shù)學軟件在數(shù)學建模中有著不可忽視的價值與作用，只要使用者可以運用得當，便可以收獲到較為理想的建模效果。

3 結束語

通過本文對數(shù)學軟件相關內容的論述，使我們對數(shù)學軟件及其在數(shù)學建模中的具體運用方式有了更加清晰的認知。除本文所介紹的數(shù)學競賽運用案例之外，數(shù)學軟件還可以應用到工程建設以及其他領域的數(shù)學模型建設之中，可通過對信息技術的科學運用，實現(xiàn)最優(yōu)化數(shù)學問題解決模式，能夠對最終問題解決質量進行保證，以達到理想化模型運用效果。所以為確保數(shù)學軟件所具有的優(yōu)勢能夠完全發(fā)揮出來，有關部門要做好人員建模培訓工作，以對人員軟件水平進行不斷提升，確保各種數(shù)學軟件可以真正為人類生活以及社會發(fā)展做出更大貢獻。

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