數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的理解與生成路徑——以高中數(shù)學(xué)課程為例

朱立明，胡洪強(qiáng)，馬云鵬

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數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的理解與生成路徑——以高中數(shù)學(xué)課程為例

朱立明1，胡洪強(qiáng)2，馬云鵬3

（1．唐山師范學(xué)院 教育學(xué)院，河北 唐山 063000；2．伊犁師范學(xué)院 人文分院，新疆 伊寧 835000；3．東北師范大學(xué) 教育學(xué)部，吉林 長(zhǎng)春 130024）

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程改革的新指向，是數(shù)學(xué)教育的培養(yǎng)目標(biāo)．基于對(duì)高中數(shù)學(xué)課程中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)6個(gè)維度：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析的理解，提出數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的生成路徑：（1）依靠數(shù)學(xué)抽象過程生成數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)；（2）憑借數(shù)學(xué)理性思維生成邏輯推理核心素養(yǎng)；（3）利用數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐生成數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)；（4）通過數(shù)學(xué)問題解決生成直觀想象核心素養(yǎng)；（5）借助數(shù)學(xué)算法算理生成數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)；（6）依賴數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)思維生成數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)．

高中數(shù)學(xué)課程；數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；維度理解；生成路徑

1 研究背景

1.1 國際教育發(fā)展的訴求：走向以人為本的理念

隨著科學(xué)與信息技術(shù)日新月異地更替，全球化的進(jìn)程正在加速，世界各國綜合國力的競(jìng)爭(zhēng)日趨激烈．這種競(jìng)爭(zhēng)主要體現(xiàn)在經(jīng)濟(jì)發(fā)展與社會(huì)變革的角逐，最終轉(zhuǎn)化為深層的以人才為中心的競(jìng)爭(zhēng)．無論是哪個(gè)國家或者地區(qū)，都已經(jīng)將提升國民素養(yǎng)，培養(yǎng)能夠迎接21世紀(jì)挑戰(zhàn)的新型人才作為謀求發(fā)展道路上的共同主題[1]．針對(duì)這樣的國際背景，教育應(yīng)該回歸以人為本，人是教育的起點(diǎn)與歸宿．教育旨在促進(jìn)人的全面持續(xù)發(fā)展，尊重和關(guān)愛人的生命本性，培養(yǎng)人的社會(huì)屬性與個(gè)性．通過個(gè)體自我價(jià)值的實(shí)現(xiàn)推動(dòng)社會(huì)的發(fā)展，從而保證人的發(fā)展與社會(huì)發(fā)展和諧統(tǒng)一，這是國際背景下的新世紀(jì)教育的訴求．

1.2 中國課程改革的指向：追求核心素養(yǎng)的目標(biāo)

課程改革是以課程為核心，涉及到整個(gè)教育領(lǐng)域的系統(tǒng)改革，它的基礎(chǔ)是價(jià)值觀念的重大變化和方向的重新調(diào)整，包括課程的理念、目標(biāo)、結(jié)構(gòu)、管理、方法與評(píng)價(jià)等方面．新中國成立以來算得上真正意義的“課程改革”只有5次[2]．以核心素養(yǎng)為目標(biāo)對(duì)課程在文本層面與實(shí)踐層面進(jìn)行改變，一方面從“三維目標(biāo)”走向“核心素養(yǎng)”為課程改革深化發(fā)展帶來新指向，有利于實(shí)踐教育改革的育人價(jià)值；另一方面，從“知識(shí)本位時(shí)代”走向“核心素養(yǎng)時(shí)代”是課程改革的新思路，有利于解決知識(shí)無限與時(shí)間有限之間的矛盾，總之，圍繞核心素養(yǎng)這一目標(biāo)組織課程改革已經(jīng)成為中國熱門的研究課題[3]．

1.3 高中數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)的修訂：堅(jiān)持學(xué)科素養(yǎng)的落實(shí)

學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)培養(yǎng)的最終落腳點(diǎn)必然是基于學(xué)科[4]，人們用來有效處理生活與工作過程中所需的技能、知識(shí)、信念、氣質(zhì)、思維習(xí)慣等是核心素養(yǎng)學(xué)科化后的具體表現(xiàn)．所謂學(xué)科核心素養(yǎng)，就是指學(xué)科的思維品質(zhì)和關(guān)鍵能力．一個(gè)人成功的基礎(chǔ)，包括知識(shí)的掌握、思維方法和經(jīng)驗(yàn)積累[5]．在新一輪的高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂過程中，已經(jīng)將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)明確寫入標(biāo)準(zhǔn)，并以此指導(dǎo)數(shù)學(xué)課程的組織與實(shí)施，在堅(jiān)持“雙基”的合理內(nèi)核下，通過恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)情境，在感悟“數(shù)學(xué)基本思想”，積累“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”的同時(shí)將形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)作為數(shù)學(xué)教學(xué)的核心要求．

2 高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的理解

2.1 高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)維度的詮釋

2011—2013年，教育部組織了對(duì)高中數(shù)學(xué)課標(biāo)實(shí)驗(yàn)稿實(shí)施情況的調(diào)查研究．2014年12月8—9日，教育部召開“普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)”修訂工作啟動(dòng)會(huì)暨第一次工作會(huì)，標(biāo)志著高中課程標(biāo)準(zhǔn)修訂工作正式拉開了帷幕．在這次修訂稿中，不僅對(duì)高中數(shù)學(xué)課程結(jié)構(gòu)、學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)、高考改革等方面進(jìn)行改進(jìn)，更重要的是將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)寫入標(biāo)準(zhǔn)，這預(yù)示高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在一段時(shí)期內(nèi)都是重點(diǎn)研究問題．在高中數(shù)學(xué)課程中，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有如下3個(gè)特征：一是能夠通過后天培養(yǎng)獲得；二是與特定情境相關(guān)；三是可以借助外在行為進(jìn)行表現(xiàn)．目前，修訂稿中將高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)確定為數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析，下文將分別對(duì)每一個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)進(jìn)行闡述[6]．

2.1.1 數(shù)學(xué)抽象

數(shù)學(xué)抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的思維過程．?dāng)?shù)學(xué)抽象是對(duì)某一類事物或現(xiàn)象關(guān)于量的共同本質(zhì)屬性的描述，這里的量包含數(shù)學(xué)中的數(shù)與形兩個(gè)方面．作為數(shù)學(xué)基本思想之一，數(shù)學(xué)抽象促進(jìn)了數(shù)學(xué)概念及其關(guān)系的建構(gòu)，推動(dòng)了數(shù)學(xué)學(xué)科的產(chǎn)生和發(fā)展．?dāng)?shù)學(xué)概念的抽象有兩個(gè)途徑，其一是從現(xiàn)實(shí)具體存在中抽象獲得，其二是借助相關(guān)數(shù)學(xué)符號(hào)或者類比獲得．例如球的概念形成可以通過對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中各種球類物理屬性（顏色、材料、質(zhì)地等）的舍棄，從得到所有球類的共同本質(zhì)屬性（大小與結(jié)構(gòu)），即球的概念，也可以通過類比圓的概念，將平面圖形拓展至空間圖形得到球的概念．無論是哪一種途徑的數(shù)學(xué)抽象，都使數(shù)與形脫離了直觀意義與經(jīng)驗(yàn)意義上的存在，形成一般性概念、結(jié)構(gòu)和規(guī)律，并且用數(shù)學(xué)符號(hào)予以表征，經(jīng)過數(shù)學(xué)抽象，數(shù)學(xué)意義的表達(dá)才更具一般性．

2.1.2 邏輯推理

邏輯推理是從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)邏輯規(guī)則推出一個(gè)命題的思維過程．邏輯推理包括兩類，第一類是由特殊出發(fā)的合情推理，推理形式有歸納和類比，歸納推理是從特殊到一般的推理，類比推理是從特殊到特殊的推理．高中數(shù)學(xué)的歸納推理主要表現(xiàn)為完全歸納，具有整體性，需要驗(yàn)證研究對(duì)象的每一個(gè)個(gè)體，是一種用有限表示無限的思維．類比推理是根據(jù)兩個(gè)或兩類事物具有相同或相似的屬性，利用已知領(lǐng)域某些對(duì)象的相似特征的一致性構(gòu)建其它的一致性，例如式與數(shù)的類比、立體與平面的類比、多維與一維的類比、無限與有限的類比．合情推理是從經(jīng)驗(yàn)過的東西推斷未曾經(jīng)驗(yàn)過的東西，用于發(fā)現(xiàn)猜想；第二類是由一般到特殊的演繹推理，演繹推理需要前提，大前提是基礎(chǔ)，通常為一般性的原理，小前提是橋梁，包含于大前提之內(nèi)，結(jié)論是在小前提下產(chǎn)生的，只要大前提正確，邏輯規(guī)則無誤，得到的結(jié)論便是真實(shí)的[7]，因此，演繹推理是收斂性的證明方式，用于驗(yàn)證猜想．?dāng)?shù)學(xué)具有兩大歷史淵源：一是以古希臘數(shù)學(xué)為代表的演繹體系；二是以古代中國數(shù)學(xué)為代表的歸納體系．正如波利亞指出的：“數(shù)學(xué)具有兩個(gè)面……以歐幾里得方式表現(xiàn)出來的數(shù)學(xué)看上去是一種系統(tǒng)的演繹科學(xué)；但在形成過程中的數(shù)學(xué)看上去卻是一種實(shí)驗(yàn)性的歸納科學(xué)．”[8]邏輯推理是數(shù)學(xué)理性思維的主要形式，旨在發(fā)現(xiàn)與論證數(shù)學(xué)命題，邏輯推理的意義不僅在于保證數(shù)學(xué)命題的正確性并具有充分的說服力，還揭示了各定理之間的內(nèi)在聯(lián)系，使數(shù)學(xué)構(gòu)成一個(gè)嚴(yán)密的體系，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的公理化．

2.1.3 數(shù)學(xué)建模

數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)化處理，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法構(gòu)建模型解決問題的過程．?dāng)?shù)學(xué)建模是聯(lián)系數(shù)學(xué)世界與現(xiàn)實(shí)世界之間的橋梁，完整的數(shù)學(xué)建模過程包括3個(gè)階段，第一個(gè)階段是建模階段，這個(gè)階段通過利用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)問題，借助數(shù)學(xué)思維對(duì)問題進(jìn)行分析，通過數(shù)學(xué)語言對(duì)問題進(jìn)行表達(dá)，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，實(shí)現(xiàn)從現(xiàn)實(shí)世界到數(shù)學(xué)世界的過渡；第二個(gè)階段是求解階段，這個(gè)階段主要是利用數(shù)學(xué)知識(shí)與技能對(duì)模型求解，得到結(jié)果；第三個(gè)階段是調(diào)試階段，這個(gè)階段是通過對(duì)模型的反思、調(diào)整和改進(jìn)，驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)論與實(shí)際問題的契合程度．?dāng)?shù)學(xué)建模是在深入調(diào)查研究、了解對(duì)象信息、做出簡(jiǎn)化假設(shè)、分析內(nèi)在規(guī)律等工作的基礎(chǔ)上，將數(shù)學(xué)應(yīng)用于數(shù)學(xué)之外的情境，通過構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用數(shù)學(xué)思想、方法和知識(shí)解決實(shí)際問題的基本手段，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的創(chuàng)新意識(shí)與應(yīng)用意識(shí)．?dāng)?shù)學(xué)建模不僅有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，而且有利于推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力．

2.1.4 直觀想象

直觀想象是借助幾何直觀與空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用幾何圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題的過程．直觀想象包括幾何直觀與空間想象兩個(gè)層面的內(nèi)容，幾何直觀是通過圖形生動(dòng)性與形象性來直觀清晰地描述與分析數(shù)學(xué)問題，實(shí)現(xiàn)抽象思維與形象思維之間的轉(zhuǎn)換，將某些復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡(jiǎn)單化．例如高中數(shù)學(xué)中用圖形解決集合問題、最值問題、交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題、數(shù)列問題等，通過建立數(shù)與形之間的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，從而找到問題的切入點(diǎn)，探索問題解決的思路，使問題得以解決；三維空間是人類生存的現(xiàn)實(shí)空間，因此，認(rèn)識(shí)空間圖形，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生空間想象能力是非常必要的．高中數(shù)學(xué)中空間想象包括3個(gè)方面內(nèi)容：第一，掌握描述空間圖形的符號(hào)語言；第二，掌握空間圖形與直觀圖形之間的相互轉(zhuǎn)化；第三，能夠?qū)臻g幾何體進(jìn)行分解與組合，并分析新幾何體的數(shù)量和位置關(guān)系．總而言之，直觀想象是對(duì)事物本質(zhì)和發(fā)展規(guī)律的認(rèn)知和理解，是建立數(shù)學(xué)直覺的基本途徑．

2.1.5 數(shù)學(xué)運(yùn)算

數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的過程．?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)算是數(shù)學(xué)活動(dòng)的基本形式，也可以將其視為演繹推理的特殊情況，是獲得數(shù)學(xué)結(jié)果的重要手段．在科學(xué)與計(jì)算機(jī)技術(shù)迅猛發(fā)展的今天，數(shù)學(xué)運(yùn)算的重要地位與作用日益得到凸顯，已經(jīng)成為日常生活的必備素養(yǎng)，是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的前提與基礎(chǔ)．?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)算是借助運(yùn)算進(jìn)行的數(shù)學(xué)思考，作為半獨(dú)立的數(shù)學(xué)力量，數(shù)學(xué)運(yùn)算不受數(shù)學(xué)家個(gè)人意圖的控制，而是由公式本身規(guī)律推動(dòng)其前進(jìn)，數(shù)學(xué)運(yùn)算往往能夠強(qiáng)行推出新概念和新運(yùn)算．對(duì)于數(shù)學(xué)運(yùn)算的理解關(guān)鍵在于對(duì)通性通法的理解．?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)算作為數(shù)學(xué)抽象結(jié)構(gòu)的基本要素，不僅能夠使學(xué)生的思維更加條理化、清晰化，還能培養(yǎng)學(xué)生的意志力與創(chuàng)新能力．

2.1.6 數(shù)據(jù)分析

數(shù)據(jù)分析是針對(duì)研究對(duì)象獲得相關(guān)數(shù)據(jù)，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)方法對(duì)數(shù)據(jù)中的有用信息進(jìn)行分析和推斷，形成知識(shí)的過程．?dāng)?shù)據(jù)分析是統(tǒng)計(jì)學(xué)中的重要內(nèi)容，它可以為人們制定決策提供依據(jù)．如果說描述確定性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)培養(yǎng)的是學(xué)生確定性思維，那么統(tǒng)計(jì)與概率就是通過找出客觀事物的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性與隨機(jī)現(xiàn)象中的客觀規(guī)律性，來培養(yǎng)學(xué)生的隨機(jī)思維和因果推斷思維．因此，在對(duì)某一對(duì)象進(jìn)行研究時(shí)所收集的數(shù)據(jù)具有一定的隨機(jī)性，也正是因?yàn)閿?shù)據(jù)本身具有隨機(jī)性，人們才能夠通過數(shù)據(jù)整理，提取有用的信息，進(jìn)而從中獲得規(guī)律性的結(jié)論．在如今的大數(shù)據(jù)時(shí)代，人們所提及的數(shù)據(jù)不僅包括通過記錄、調(diào)查和試驗(yàn)獲得的數(shù)據(jù)，還包括通過互聯(lián)網(wǎng)、文本、聲音、圖像、視頻等數(shù)字化得到的數(shù)據(jù)．?dāng)?shù)據(jù)分析作為數(shù)學(xué)應(yīng)用的主要方法，也是學(xué)生的必備素養(yǎng)，其應(yīng)用已經(jīng)深入到社會(huì)生活和數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域的各個(gè)方面．

2.2 高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與“四基”的關(guān)系

高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)比數(shù)學(xué)基本技能的范疇更加廣泛，比數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)更加上位，體現(xiàn)的是數(shù)學(xué)基本思想，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)形成的前提是數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的不斷積累．如圖1所示，從本質(zhì)上看，數(shù)學(xué)基本技能是對(duì)學(xué)生的共性要求，這個(gè)共性要求首先是以結(jié)論或答案的正確為重點(diǎn)，正確的基礎(chǔ)之上再考慮合理性；從功能上看，數(shù)學(xué)基本技能的關(guān)鍵功能在于經(jīng)過數(shù)學(xué)思考，尋求方法完成數(shù)學(xué)任務(wù)．當(dāng)然，每個(gè)學(xué)生技能水平的高低與自身差異和任務(wù)的難度有關(guān)．?dāng)?shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)是數(shù)學(xué)概念、公理、原理、公式、命題的知識(shí)集合，是由理論、方法、問題和符號(hào)語言等多種成分組成的復(fù)合體，每一個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)都涵蓋了數(shù)學(xué)知識(shí)，而數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)與數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)集中體現(xiàn)了數(shù)學(xué)基本技能．高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)超越了數(shù)學(xué)教育中長(zhǎng)期以來的數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)技能二元對(duì)立的思維方式，是基于“雙基”又高于“雙基”的．?dāng)?shù)學(xué)核心素養(yǎng)以數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能為載體，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)綜合能力（外顯表現(xiàn)），引導(dǎo)學(xué)生形成數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)態(tài)度（內(nèi)隱特質(zhì)）．

高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)基本思想，史寧中教授指出數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展所依賴的思想在本質(zhì)上有3個(gè)：抽象、推理、模型．而這3個(gè)數(shù)學(xué)基本思想恰恰體現(xiàn)了高中數(shù)學(xué)課程中的3個(gè)核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模．?dāng)?shù)學(xué)抽象保證數(shù)學(xué)從現(xiàn)實(shí)世界進(jìn)入數(shù)學(xué)世界，邏輯推理保證數(shù)學(xué)自身公理化體系的不斷發(fā)展與完備，數(shù)學(xué)建模保證數(shù)學(xué)從數(shù)學(xué)世界回歸現(xiàn)實(shí)世界[9]．如果說“雙基”指向結(jié)果性目標(biāo)，那么數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)就指向與過程性目標(biāo)，主要包括實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)和思維的經(jīng)驗(yàn)，數(shù)學(xué)的實(shí)踐一般包括兩種：動(dòng)手參與的實(shí)踐與大腦參與的實(shí)踐，所以實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)形成源于對(duì)日常生活中問題的解決；而思維的經(jīng)驗(yàn)主要是指演繹思維經(jīng)驗(yàn)與歸納思維經(jīng)驗(yàn)．無論是實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)還是思維的經(jīng)驗(yàn)，都具有內(nèi)隱性，二者與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)一樣，都是形成于教學(xué)活動(dòng)之中．高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)伴隨著學(xué)生基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累而不斷提升，數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)之目的在于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，例如直觀想象中就體現(xiàn)著學(xué)生從具體到抽象的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，邏輯推理體現(xiàn)了學(xué)生從感性到理性的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)．

圖1 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與“四基”關(guān)系

3 高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)生成路徑的探索

3.1 依靠數(shù)學(xué)抽象過程生成數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)抽象主要包括數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出來的數(shù)學(xué)概念及其之間的相互關(guān)系．函數(shù)是高中數(shù)學(xué)核心內(nèi)容，高中的數(shù)學(xué)抽象主要集中體現(xiàn)在函數(shù)概念形成過程上，因此可以借助函數(shù)這一抽象概念，培養(yǎng)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)抽象的不同層次，引導(dǎo)學(xué)生生成數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)．函數(shù)最早源于人們對(duì)動(dòng)點(diǎn)軌跡的探索，變量的引入實(shí)現(xiàn)了函數(shù)第一次抽象，這時(shí)的函數(shù)概念還具有一定的描述性；當(dāng)人們很少限制函數(shù)表達(dá)式，而轉(zhuǎn)向采用對(duì)應(yīng)來定義函數(shù)就實(shí)現(xiàn)了函數(shù)第二次抽象，這時(shí)的函數(shù)概念不再是對(duì)一個(gè)過程的描述，法則的引入使函數(shù)脫離了圖像、表格、表達(dá)式的具體表現(xiàn)形式，依賴于集合的對(duì)應(yīng)使函數(shù)更加抽象；礙于對(duì)應(yīng)法則的模糊不清，布爾巴基學(xué)派開始采用關(guān)系來定義函數(shù)時(shí)，這實(shí)現(xiàn)了函數(shù)的第三次抽象，這時(shí)函數(shù)的概念最為抽象，函數(shù)概念不需要對(duì)應(yīng)法則而成為一種關(guān)系．函數(shù)概念的3次抽象是數(shù)學(xué)從幾何觀念到代數(shù)觀念，再到對(duì)應(yīng)觀念的發(fā)展過程．?dāng)?shù)學(xué)抽象需要學(xué)生積累從具體到抽象的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，通過對(duì)概念、命題、定理的理解，把握事物的數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性，逐步形成一般性思考問題的方法．

3.2 憑借數(shù)學(xué)理性思維生成邏輯推理核心素養(yǎng)

邏輯推理主要包括合情推理與演繹推理兩種推理形式，對(duì)于邏輯推理核心素養(yǎng)的生成關(guān)鍵在于培養(yǎng)學(xué)生清晰的、有條理的、合乎邏輯的理性思維品質(zhì)．所謂數(shù)學(xué)理性思維是指通過觀察、體驗(yàn)、經(jīng)歷及內(nèi)化等過程逐步形成理性的思考問題、分析問題、解決問題的思維方法和價(jià)值觀[10]，理性有兩個(gè)方面的意義：一是指屬于判斷、推理等活動(dòng)的理性認(rèn)識(shí)；二是指從理智上控制行為的能力．無論是對(duì)判斷、推理等活動(dòng)的理性認(rèn)識(shí)，還是理智上控制行為的能力，都與邏輯推理密不可分．

圖2 合情推理的推理模式

3.3 利用數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐生成數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)建模包括在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、構(gòu)建模型，求解結(jié)論，驗(yàn)證結(jié)果并改進(jìn)模型，最終解決實(shí)際問題，如圖3所示，數(shù)學(xué)建模是從現(xiàn)實(shí)世界抽象出數(shù)學(xué)問題，進(jìn)入數(shù)學(xué)世界，再通過解決數(shù)學(xué)問題，最終回歸現(xiàn)實(shí)世界的過程．?dāng)?shù)學(xué)綜合實(shí)踐包含兩個(gè)層面，一是理解數(shù)學(xué)內(nèi)容在知識(shí)、問題和方法上的聯(lián)系，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法解決數(shù)學(xué)問題；另一個(gè)是數(shù)學(xué)內(nèi)容與現(xiàn)實(shí)問題的綜合，利用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法解決現(xiàn)實(shí)問題．在數(shù)學(xué)建模過程中，蘊(yùn)含著綜合實(shí)踐的兩個(gè)層面，在數(shù)學(xué)模型求解過程中涉及綜合實(shí)踐的第一個(gè)層面，在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)模型還原過程中涉及綜合實(shí)踐第二層面．在高中數(shù)學(xué)中，數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐更多通過應(yīng)用題的形式展開，以實(shí)際生活為背景，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)生活化與實(shí)際問題數(shù)學(xué)化的結(jié)合．Mayer曾經(jīng)提出數(shù)學(xué)問題解決的兩個(gè)重要成分：?jiǎn)栴}表征和解決計(jì)劃的執(zhí)行[12]．因此在數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)生成過程中，關(guān)鍵在于通過綜合實(shí)踐的兩個(gè)層次的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)問題，用數(shù)學(xué)的思維思考問題，用數(shù)學(xué)的方法解決問題．

圖3 數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實(shí)問題結(jié)構(gòu)

3.4 通過數(shù)學(xué)問題解決生成直觀想象核心素養(yǎng)

直觀想象包括借助空間認(rèn)識(shí)事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動(dòng)規(guī)律；利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問題；建立形與數(shù)的聯(lián)系；構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決問題的思路．直觀想象集中體現(xiàn)在利用幾何直觀與空間想象解決數(shù)學(xué)問題，因此，要在數(shù)學(xué)問題的解決過程中，將問題表征、圖式構(gòu)建與學(xué)生思維有機(jī)結(jié)合，從而生成直觀想象核心素養(yǎng)．對(duì)于幾何直觀而言，建立形與數(shù)的聯(lián)系是幾何直觀的內(nèi)核，以此為基礎(chǔ)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想方法在問題解決過程中的應(yīng)用．高中數(shù)學(xué)中體現(xiàn)數(shù)與形結(jié)合的核心知識(shí)包括函數(shù)與方程、向量、解析幾何，以函數(shù)為例，函數(shù)的單調(diào)性中蘊(yùn)含著函數(shù)的形態(tài)變化與規(guī)律，函數(shù)的奇偶性展現(xiàn)了圖象的對(duì)稱關(guān)系，除此之外，函數(shù)還可以作為研究曲線與方程的直觀模型．例如，可以借助函數(shù)圖象研究切線與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，借助函數(shù)零點(diǎn)解決方程的近似根問題，等等，利用“形”的方法處理解析幾何中的代數(shù)問題往往會(huì)使抽象、復(fù)雜的問題形象化、簡(jiǎn)單化，這些都可以培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀；對(duì)于空間想象，可以從向量的視角分析立體幾何的相關(guān)問題，利用向量解釋空間圖形的運(yùn)動(dòng)變換與位置關(guān)系，利用三視圖描述二維與三維之間的聯(lián)系，形成新的問題解決思路，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象，由此在問題解決過程中增強(qiáng)學(xué)生運(yùn)用圖形和空間想象思考問題的意識(shí)，促進(jìn)直觀想象核心素養(yǎng)的形成[13-18]．

3.5 借助數(shù)學(xué)算法算理生成數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)

3.6 依賴數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)思維生成數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)

數(shù)據(jù)分析主要包括收集數(shù)據(jù)，整理數(shù)據(jù)，提取信息，構(gòu)建模型對(duì)信息進(jìn)行分析、推斷，進(jìn)而獲得結(jié)論．如果說數(shù)學(xué)能夠告訴人們完美準(zhǔn)確的答案，那么統(tǒng)計(jì)思維就是為人們提供可能的想象空間．在數(shù)據(jù)分析中所產(chǎn)生的數(shù)據(jù)具有隨機(jī)性，統(tǒng)計(jì)思維就是機(jī)率控制、減少、預(yù)測(cè)資料的變異，可見，依賴數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)思維可以養(yǎng)成數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)．統(tǒng)計(jì)思維是在收集數(shù)據(jù)、從數(shù)據(jù)中提取信息、論證結(jié)果的可靠性過程中表現(xiàn)出來的一種思維模式．在高中數(shù)學(xué)中有很多蘊(yùn)含統(tǒng)計(jì)思維的典型案例，例如普通高中數(shù)學(xué)課程必修3中涉及的“一個(gè)著名的案例”、“城市居民月用水量”、“人體的脂肪百分比與年齡之間的關(guān)系”，在選修2-3中涉及的“人的體重與身高的關(guān)系”、“新藥是否有效”、“肺癌與吸煙有關(guān)嗎”等，需要充分利用這些案例，提升學(xué)生的統(tǒng)計(jì)思維．?dāng)?shù)據(jù)分析表現(xiàn)為3個(gè)層面，一是對(duì)數(shù)據(jù)本身的意識(shí)與感悟，學(xué)生要了解生活中有許多問題應(yīng)當(dāng)先進(jìn)行調(diào)查，在收集與分析數(shù)據(jù)之后做出合理推斷，在這一過程中學(xué)生能夠體會(huì)數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含著信息；二是對(duì)數(shù)據(jù)處理方法的意識(shí)和感悟，了解同樣的數(shù)據(jù)可以有多種分析方法，要根據(jù)不同的情境選擇合適的方法進(jìn)行分析；三是對(duì)現(xiàn)實(shí)現(xiàn)象隨機(jī)性的意識(shí)和感悟，通過數(shù)據(jù)分析體驗(yàn)隨機(jī)性．意識(shí)到對(duì)于同樣的事情每次收集到的數(shù)據(jù)可能不同，但只要有足夠的數(shù)據(jù)就可以從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，利用樣本的數(shù)據(jù)估計(jì)總體，利用獨(dú)立性檢驗(yàn)進(jìn)行推測(cè)診斷．?dāng)?shù)據(jù)的隨機(jī)性表現(xiàn)在兩個(gè)方面，一方面是對(duì)于同樣的試驗(yàn)，每次收集到的數(shù)據(jù)可能不同，另一方面，只要有足夠的數(shù)據(jù)還是能夠從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，例如頻率與概率．通過讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)據(jù)收集、整理，信息提取、分析的過程，借助數(shù)據(jù)中所蘊(yùn)含的信息做出決策和推斷，感受數(shù)據(jù)產(chǎn)生的隨機(jī)性與預(yù)測(cè)性，建立“用數(shù)據(jù)說話”的觀念和意識(shí)，進(jìn)而逐漸養(yǎng)成數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)．

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Understanding and Generating Paths of Core Mathematics Competencies——Take Mathematics Curriculum in High School as an Example

ZHU Li-ming1, HU Hong-qiang2, MA Yun-peng3

(1. Tangshan Normal University Faculty of Education, Hebei Tangshan 063000, China;2. Yili Normal University Faculty of Humanities, Xinjiang Yining 835000, China;3. Northeast Normal University Faculty of Education, Jilin Changchun 130024, China)

Mathematical core competencies was the new direction of the reform of new mathematics curriculum , and had become the training goal of mathematics education. With the six dimensions in mathematics core competencies in the high school curriculum would be comprehended: mathematical abstraction, logical reasoning, mathematical modeling, intuitive imagination, mathematical operation, and data analysis. After that the generating paths of mathematics core literacy would be elicited: (1) create the mathematical abstract core competency through mathematical abstract process; (2) improve mathematical rational thinking and cultivate logical reasoning core competency; (3) generate mathematical modeling core competency through math comprehensive practice; (4) promote intuitive imagination core competency through mathematical problem solving; (5) drive core mathematical operation core competency with the aid of mathematical algorithm and rules; (6) attach great importance to mathematical statistical thinking and form data analysis core competency.

high school mathematics curriculum; core mathematics competencies; dimension comprehension; generating paths

[責(zé)任編校：周學(xué)智]

2017–11–09

唐山師范學(xué)院博士科研基金項(xiàng)目——義務(wù)教育階段學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)評(píng)價(jià)與培養(yǎng)實(shí)證研究（2018A15）

朱立明（1986—），男，滿族，河北承德人，講師，博士，主要從事數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論研究．

G632

A

1004–9894（2018）01–0042–05

朱立明，胡洪強(qiáng)，馬云鵬．?dāng)?shù)學(xué)核心素養(yǎng)的理解與生成路徑——以高中數(shù)學(xué)課程為例[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2018，27（1）：42-46．