一種基于泰勒級(jí)數(shù)展開的電離層延遲改正模型

張兆龍，王躍鋼，騰紅磊，王 樂(lè)

(火箭軍工程大學(xué)，陜西 西安 710025)

距地球表面高度50～1000 km的大氣層稱為電離層，電離層中的氣體分子由于受到輻射而產(chǎn)生電離[1]。當(dāng)衛(wèi)星信號(hào)通過(guò)電離層時(shí)，信號(hào)的傳播路徑和速度會(huì)發(fā)生變化，因此計(jì)算所得的衛(wèi)星至接收機(jī)的幾何距離與真實(shí)值之間存在偏差，對(duì)觀測(cè)量造成影響，稱為電離層延遲[2-3]。

在衛(wèi)星導(dǎo)航定位中，電離層延遲是主要的誤差源之一，很大程度上影響了定位的精度和準(zhǔn)確度[4-5]。針對(duì)電離層延遲誤差問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外的眾多學(xué)者和機(jī)構(gòu)進(jìn)行了大量的研究并取得了豐富的成果。對(duì)于單頻接收機(jī)定位而言，由于不能消除一階電離層延遲，因此采用電離層模型來(lái)進(jìn)行誤差改正[6-7]。一般是應(yīng)用衛(wèi)星播發(fā)的導(dǎo)航電文中的電離層延遲改正參數(shù)，因此電離層延遲改正參數(shù)的精度直接影響接收機(jī)的定位精度[8]，提高電離層延遲改正模型的精度是當(dāng)前研究的重點(diǎn)，也是進(jìn)一步提高定位精度的需求[9]。本文提出一種基于泰勒級(jí)數(shù)展開的電離層延遲改正模型(TSE模型)，通過(guò)試驗(yàn)仿真分析，并與Klobuchar模型和NeQuick模型進(jìn)行對(duì)比，以驗(yàn)證該模型在一定程度上提高電離層延遲改正誤差和區(qū)域上的時(shí)間適應(yīng)度的能力。

1 電離層延遲改正模型

1.1 Klobuchar模型

Klobuchar模型是一種廣泛應(yīng)用于單頻接收機(jī)定位的傳統(tǒng)電離層延遲改正模型，該模型采用余弦函數(shù)解算電離層延遲，包括8個(gè)直觀簡(jiǎn)潔的參數(shù)。大量試驗(yàn)研究表明，Klobuchar模型的改正效果一般在60%左右，改正精度較低，其表達(dá)式如下[10-11]

(1)

式中，DC為晚間電離層延遲量，通常取DC=5 ns；t0為最大電離層延遲所對(duì)應(yīng)的地方時(shí)；Tp=14 h50 400 s；P為電離層延遲函數(shù)周期，單位為s；A為電離層延遲函數(shù)振幅，單位為s。其表達(dá)式可表示為

(2)

(3)

式中，αi和βi為導(dǎo)航電文所提供的改正參數(shù)；φm為穿刺點(diǎn)的地磁緯度；t為穿刺點(diǎn)的地方時(shí)。具體的計(jì)算步驟見文獻(xiàn)[12]。

1.2 NeQuick模型

NeQuick模型是一個(gè)隨時(shí)間變化的三維電離層電子密度模型。相關(guān)研究表明，該模型的改正精度較Klobuchar模型較高，但是結(jié)構(gòu)較復(fù)雜，在運(yùn)算過(guò)程中涉及數(shù)值積分，時(shí)效性較差[13-14]。其基本表達(dá)式如下

(4)

式中，N表示電子密度；h為所求點(diǎn)的高度；Nmax是Epsterin層的電子密度峰值；hmax表示Epsterin層的電子密度峰值點(diǎn)的高度；B為Epsterin層的厚度參數(shù)。

1.3 TSE模型

泰勒級(jí)數(shù)是無(wú)限項(xiàng)連加的特定函數(shù)的數(shù)學(xué)描述，這些相加的項(xiàng)由該函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算所得[15]。本文所提出的模型正是利用泰勒級(jí)數(shù)展開，且將整個(gè)電離層簡(jiǎn)化為單層模型，該單層電離層稱為中心電離層或平均電離層，而后進(jìn)行電離層延遲改正。

TSE電離層延遲改正模型可描述為

(5)

其中

β=βIP-β0

(6)

S=SIP-S0

(7)

式中，βIP和SIP分別表示在日固地理坐標(biāo)系下電離層穿刺點(diǎn)(IPP)的緯度和經(jīng)度；β0和S0表示擴(kuò)展原始坐標(biāo)；n和m分別表示緯度和經(jīng)度的泰勒級(jí)數(shù)展開階數(shù)；nmax和mmax分別表示緯度和經(jīng)度泰勒級(jí)數(shù)展開的最大階數(shù)；Cnm是未知系數(shù)。電離層穿刺點(diǎn)(IPP)的緯度和經(jīng)度計(jì)算方式如下

βIP=arcsinsinφkcosα+cosφksinαcosθa

(8)

(9)

式中，φk和λk分別表示接收機(jī)k的緯度和經(jīng)度；θa表示接收機(jī)和可見衛(wèi)星之間的方位角；α是地球中心分別與接收機(jī)和電離層穿刺點(diǎn)連線之間的夾角[16]。單層電離層模型如圖1所示。

電離層延遲可表示為

(10)

式中，F(xiàn)為依賴于高程的映射函數(shù)

(11)

f1是GPS載波L1的頻率，其頻率為1 575.42 MHz；Z′為電離層穿刺點(diǎn)處的衛(wèi)星的天頂角，可表示為

(12)

式(8)中，Re=6 378.1 km，為地球平均半徑，H=350 km，為單層電離層薄殼的高度；z為接收機(jī)的天頂角。將式(5)代入式(10)可得

(13)

圖1 單層電離層模型

因此，對(duì)于可見星p=1,2,…,ns和接收機(jī)k，電離層延遲δIk為

(14)

式中

(15)

(16)

(17)

式中，Ak為泰勒級(jí)數(shù)展開的幾何矩陣；nmax和mmax為泰勒級(jí)數(shù)展開的階數(shù)，且ns>Xc。矩陣Ak中包含所有可見星的電離層穿刺點(diǎn)的緯度和經(jīng)度值，矩陣Xc中的各個(gè)量為未知系數(shù)(C00到Cnm)，從幾何矩陣和測(cè)量數(shù)據(jù)(VTEC)中可以求得這些未知系數(shù)。求解過(guò)程如下：取nmax=mmax=2，β0=S0=0，令Y=AkXc，其中，矩陣Y為實(shí)測(cè)VTEC數(shù)據(jù)，假設(shè)某一位置在某一時(shí)刻的可見星為10顆，數(shù)據(jù)采樣間隔為5 min，則可求得TSE模型中的9個(gè)未知系數(shù)，Y、Ak和Xc可分別表示為

(18)

(19)

(20)

運(yùn)用最小二乘法，則未知系數(shù)矩陣Xc為

(21)

將式(21)計(jì)算得到的Xc代入式(14)，則可得電離層延遲改正誤差。

2 試驗(yàn)仿真及結(jié)果分析

為評(píng)估TSE模型對(duì)電離層延遲的改正效果以及比較不同電離層改正模型對(duì)單頻精密單點(diǎn)定位精度的影響，試驗(yàn)方案如下：

(1) 方案1：采用IGS中國(guó)站BJFS(北京房山)站點(diǎn)的觀測(cè)數(shù)據(jù)，選取太陽(yáng)活動(dòng)低年2009年第218天和太陽(yáng)活動(dòng)高年2012年第115天的數(shù)據(jù)進(jìn)行仿真，分別求得3種模型VTEC計(jì)算值與參考值之間的均方差RMS，結(jié)果如圖2所示。

從圖2可以看出，在2009年第218天，即太陽(yáng)活動(dòng)低年，Klobuchar模型的RMS較大，NeQuick模型和TSE模型的RMS不超過(guò)3 TECU，可以較好地反映電離層的變化情況，但是TSE模型的RMS總體趨勢(shì)更平穩(wěn)，精度更高。在2012年第115天，即太陽(yáng)活動(dòng)高年，3個(gè)模型的RMS較2009年第218天(太陽(yáng)活動(dòng)低年)略高，TSE模型的RMS比其他兩個(gè)模型都要小。綜上所述，說(shuō)明TSE模型的VTEC計(jì)算值與參考值之間的偏差不大，基本一致，其在提高改正精度上是可行的，且在不同時(shí)間(太陽(yáng)活動(dòng)高低年)都有較強(qiáng)的適應(yīng)性。

圖2 Klobuchar模型、NeQuick模型、TSE模型所求VTEC的RMS比較

(2) 方案2：采用IGS中國(guó)站BJFS(北京房山)站點(diǎn)2009年1月1日的觀測(cè)值，用單點(diǎn)定位進(jìn)行位置解算時(shí)，分別采用Klobuchar模型、NeQuick模型、TSE模型3種不同的電離層改正模型，將解算所得的測(cè)站坐標(biāo)與IGS公布的當(dāng)天坐標(biāo)值進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖3—圖5所示。

圖3 Klobuchar模型改正電離層延遲的定位誤差

圖4 NeQuick模型改正電離層延遲的定位誤差

圖5 TSE模型改正電離層延遲的定位誤差

由圖3—圖5可以看出，在單頻精密單點(diǎn)定位中，電離層延遲誤差改正采用TSE模型的定位精度要優(yōu)于采用Klobuchar模型和NeQuick模型，其中，Klobuchar模型的定位精度最差且波動(dòng)較大。采用TSE模型進(jìn)行解算的測(cè)站位置在X、Y、Z方向上與參考值之間的誤差范圍在1 m以內(nèi)，即定位精度約為1 m，表明了TSE模型在一定程度上提高了單點(diǎn)定位精度的可行性。

3 結(jié) 語(yǔ)

在單頻精密單點(diǎn)定位中，電離層延遲是一項(xiàng)重要的誤差源，電離層延遲誤差改正精度的提高對(duì)定位精度的提高具有重要的意義。通過(guò)仿真試驗(yàn)驗(yàn)證，本文研究探討的基于泰勒級(jí)數(shù)展開的電離層改正模型在提高定位精度上有一定有效性和可行性，且有較強(qiáng)的時(shí)間適應(yīng)性。

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