行星輪系側(cè)隙對星載天線指向精度影響分析

李響 趙陽 梁棟 游斌弟

(1 哈爾濱工業(yè)大學航天學院，哈爾濱 150001)(2 哈爾濱工業(yè)大學船舶與海洋工程學院，山東威海 264209)

衛(wèi)星可展開天線機構(gòu)由行星輪系關(guān)節(jié)實現(xiàn)俯仰和方位運動，在軌工作時，其指向行為和指向精度受到行星輪系關(guān)節(jié)的裝配精度、制造誤差等因素影響，且影響具有復(fù)雜性與隨機性，所以研究天線機構(gòu)的指向行為和提高指向精度是必要的。

文獻[1]根據(jù)方位-俯仰型天線建立誤差模型，分析天線指向精度受不同誤差因素影響程度，探討了星載天線指向精度的誤差源；文獻[2]綜合考慮多種誤差因素影響，利用齊次變換矩陣推導(dǎo)得出了天線指向精度的一般分析方法；文獻[3]以某一型天線雙軸定位機構(gòu)為例，從傳動、測量、安裝、熱變形誤差等多個方面研究各影響因素的分析模型和計算方法，建立了天線指向精度分析模型。這些研究表明：傳動關(guān)節(jié)間隙對星載天線的指向行為有不可忽略的影響，尤其在微重力環(huán)境下，由間隙引起的碰撞更為明顯，會影響到系統(tǒng)的整體動力學性能。因此，隨著對天線指向精度要求的不斷提高，考慮傳動關(guān)節(jié)間隙對天線指向性能的影響尤為重要。文獻[4]以某衛(wèi)星天線雙軸傳動機構(gòu)為研究對象，同時考慮方位軸和俯仰軸的關(guān)節(jié)間隙，利用虛擬樣機進行動力學仿真，分析間隙大小對系統(tǒng)運動精度和運行穩(wěn)定性的影響規(guī)律，但其僅通過商業(yè)軟件定性分析了關(guān)節(jié)間隙對轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)的影響特點，因此需要通過數(shù)學模型進一步表征間隙對天線機構(gòu)的影響規(guī)律。文獻[5]研究間隙等非線性因素對雙軸傳動機構(gòu)動力學特性的影響規(guī)律，以非線性等效彈簧阻尼模型和庫倫摩擦模型為基礎(chǔ)，建立了含間隙驅(qū)動機構(gòu)模型，分析間隙大小和驅(qū)動力矩對于系統(tǒng)指向精度的影響，但僅僅把關(guān)節(jié)的間隙等效為孔軸間隙，尚未考慮關(guān)節(jié)內(nèi)部傳動的齒輪側(cè)隙幾何關(guān)系變化，因此需要具體考慮行星輪系關(guān)節(jié)結(jié)構(gòu)參數(shù)之間的間隙對系統(tǒng)的影響。文獻[6]考慮齒輪側(cè)隙和摩擦的影響，建立了一種行星齒輪箱模型，預(yù)測了嚙合處受間隙影響及摩擦力激發(fā)的動力學行為的耦合影響，發(fā)現(xiàn)改變齒對之間的接觸載荷，能減小動態(tài)傳動誤差。文獻[7]分析了齒輪的動態(tài)接觸原理，建立了準確的分析模型，用以預(yù)測齒側(cè)間隙等導(dǎo)致齒輪傳動中撞擊和撞擊振動的相互作用。文獻[8]建立間隙型非線性動力學模型，提出齒輪側(cè)隙會使行星齒輪傳動系統(tǒng)出現(xiàn)強非線性動力學特性，并研究齒輪側(cè)隙對于系統(tǒng)運動特性的影響，以及轉(zhuǎn)速、間隙大小等因素對行星輪系動態(tài)影響規(guī)律，發(fā)現(xiàn)了齒輪側(cè)隙大小對于輪齒嚙合過程中脫齒和擠齒以及齒面沖擊的影響；同時，文獻[9-11]進一步考慮齒輪副間多齒輪側(cè)隙、傳遞誤差、嚙合剛度等非線性因素建立行星輪系扭轉(zhuǎn)振動模型，研究了嚙合誤差、多齒輪側(cè)隙等對傳動系統(tǒng)非線性動力學行為影響，建立了考慮多齒輪側(cè)隙的行星齒輪傳動機構(gòu)動力學模型。但以上這些文獻僅僅從行星輪系作為機構(gòu)模型角度，分析了間隙對行星輪系振動特性的影響規(guī)律，而行星輪系一般作為天線關(guān)節(jié)傳動部件，其振動因素會影響整個展開天線機構(gòu)運動精度，因此需要從系統(tǒng)角度研究行星輪系作為傳動關(guān)節(jié)時，其嚙合側(cè)隙變化對整個系統(tǒng)的影響規(guī)律，從根本上揭示天線展開過程的力學特性。

齒輪側(cè)隙是指兩個嚙合齒輪的工作齒面相接觸時，在兩個非工作齒面之間形成的間隙，齒輪側(cè)隙變化主要是因為軸孔位置誤差引起中心距的變化而導(dǎo)致。本文在上述研究進展的基礎(chǔ)上，進一步考慮了行星輪系關(guān)節(jié)的間隙對天線指向精度的影響，分析了其影響規(guī)律，并針對此規(guī)律提出了提高指向精度的方法，可為優(yōu)化星載天線指向行為提供理論基礎(chǔ)。

1 行星輪系動力學模型

本文所研究的可展開天線機構(gòu)的兩個關(guān)節(jié)由2K-H型行星齒輪作為傳動部件，如圖1所示，可實現(xiàn)俯仰和方位展開運動，以實現(xiàn)指向過程，但由于齒輪之間存在側(cè)隙，其傳動過程引起的沖擊振動會對整個天線系統(tǒng)動力學特性產(chǎn)生顯著影響。因此，為了研究其影響規(guī)律，需要對傳動關(guān)節(jié)的具體結(jié)構(gòu)進行描述。

圖1 星載可展開天線機構(gòu)模型圖

如圖2所示，2K-H行星輪系傳動系統(tǒng)由太陽輪、n個行星輪、行星架和內(nèi)齒輪構(gòu)成?？紤]到行星輪系的結(jié)構(gòu)特點，其系統(tǒng)具有明顯的質(zhì)量集中，因此應(yīng)用集中參數(shù)模型為行星輪系動力學模型。

根據(jù)天線的運動特點，行星齒輪呈現(xiàn)了平移-扭轉(zhuǎn)耦合受力特性，因此本文研究的平移-扭轉(zhuǎn)耦合模型，是相對理想的分析模型。根據(jù)行星輪系特點和文獻[12]，進行合理假設(shè)：

(1)各行星輪的物理和幾何參數(shù)相同，并沿太陽輪均勻分布且各方向上剛度相同；

(2)各齒輪均為漸開線直齒齒輪，忽略各構(gòu)件柔性變形；

(3)行星輪系的運動在同一平面內(nèi)，不考慮各構(gòu)件橫向位移。

參照上述假設(shè)，建立行星輪系的集中參數(shù)模型如圖3所示。

圖2 2K-H行星輪系傳動系統(tǒng)

圖3 行星輪系集中參數(shù)模型Fig.3 Lumped parameter model of planetary gear train

為方便動力學方程的建立，在圖3中建立廣義坐標oxy，其中太陽輪S為坐標中心，oPnxPnyPn(n=1,2,3)為行星輪坐標系，太陽輪S的角速度為ωS，第n個行星輪Pn的角速度為ωPn(n=1,2,3)，行星架C的角速度為ωC，內(nèi)齒輪R的角速度為ωR。內(nèi)齒輪與行星輪之間的嚙合剛度為KRPn，嚙合阻尼系數(shù)CRPn，齒輪側(cè)隙bRPn。每個構(gòu)件共有3個自由度，系統(tǒng)為2K-H型行星齒輪傳動，因此該系統(tǒng)共有3×3+9=18個自由度。

根據(jù)圖3所示模型，設(shè)太陽輪加速度矢量為aS、行星輪加速度矢量為aPn、行星架加速度矢量為aC，內(nèi)齒輪加速度矢量為aR，則這4個加速度矢量可表示為

(1)

式中：xi和yi表示構(gòu)件的橫向和縱向位移，i=S、Pn、C和R，分別代表太陽輪、第n個行星輪、行星架和內(nèi)齒輪；ω表示構(gòu)件的角速度；j和k分別為x方向和y方向的單位矢量。

當考慮齒輪接觸碰撞力的作用下，利用Lagrange方程推導(dǎo)微分方程，可得

(2)

式中：J為構(gòu)件的轉(zhuǎn)動慣量，Δt為作用時間；n=1,2,3；rbS為太陽輪基圓半徑；rC為行星架半徑；m為各結(jié)構(gòu)質(zhì)量；Fe為法向接觸力；Ff為切向接觸力；α為壓力角；TD為輸入轉(zhuǎn)矩；TL為負載轉(zhuǎn)矩。

應(yīng)用等效彈簧阻尼模型求解法向接觸力為

(3)

式中：K為等效接觸剛度系數(shù)；ζ為嚙合點法向變形量；e為碰撞回復(fù)系數(shù)；a為各構(gòu)件加速度。

根據(jù)齒輪側(cè)隙產(chǎn)生原因，首先分析內(nèi)齒輪與行星輪間的中心距和齒輪側(cè)隙對行星輪系動力學模型的影響，再確定其對系統(tǒng)動力學模型的影響。在行星輪系集中參數(shù)模型中，行星輪的動力學參數(shù)有：嚙合剛度，嚙合阻尼系數(shù)以及齒輪側(cè)隙，在以往建立齒輪側(cè)隙非線性函數(shù)方法的基礎(chǔ)上，根據(jù)集中參數(shù)模型中建立的坐標系，考慮太陽輪與行星輪嚙合點的振動位移量為xi和yi，偏轉(zhuǎn)角度為θi，基圓半徑為ri，其中i=S,P。為了進一步完善表達式，綜合分析中心距c的影響，所以將嚙合角φb和重合度εb的變化考慮在內(nèi)，則太陽輪與行星輪沿著嚙合線方向的相對位移為

Δs=rSθS-rPθP+(xS-xP)sinφb+

(yS-yP)sinφb+εb

(4)

其中：

εb=2csinφb-u[(Z1+Z2)(φb-α)cosα+

(Z1+Z2)sinα]

(5)

(6)

式中：u和Z為齒輪模數(shù)和齒數(shù)。

為了進一步探討齒輪側(cè)隙對動力學模型的影響，采用齒輪側(cè)隙位移函數(shù)表達，齒輪側(cè)隙位移函數(shù)與太陽輪和行星輪間的相對位移Δs、內(nèi)齒輪與行星輪間的齒輪側(cè)隙的大小bRPn有關(guān)，齒輪側(cè)隙位移函數(shù)為

(7)

2 含側(cè)隙行星輪系的星載天線系統(tǒng)動力學模型

將星載天線系統(tǒng)視為一個多體動力學系統(tǒng)，由衛(wèi)星本體、天線臂桿、反射面和行星輪系關(guān)節(jié)組成。衛(wèi)星本體假設(shè)為太空中的一個自由基體，天線假設(shè)為一個簡單鏈式多體，其起始端固定在衛(wèi)星基體上，圖4為星載天線示意圖。將整個星載天線系統(tǒng)視為剛體且在太空中不受任何外力矩和外力的作用，衛(wèi)星本體為浮動基座且為受控基，而星載天線的反射面與其末端轉(zhuǎn)軸聯(lián)結(jié)在一起，忽略太空微重力的作用影響，且系統(tǒng)保持動量守恒。

根據(jù)模型假設(shè)，建立衛(wèi)星及衛(wèi)星天線坐標：慣性坐標系原點Or，衛(wèi)星本體坐標系原點O和各個關(guān)節(jié)坐標系原點On；旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)角為θ1，θ2，θ3等；qog為本體質(zhì)心到星載天線系統(tǒng)質(zhì)心矢量；po3為天線轉(zhuǎn)軸的末端位置矢量；qo為本體質(zhì)心的位置矢量；Og為星載天線系統(tǒng)質(zhì)心；Bi為臂桿。

將臂桿視為剛體，建立臂桿Bi沿oixi和oiyi方向的振動方程為

(8)

式中：Δθ是臂桿轉(zhuǎn)動的微小角度；qi是臂桿i的質(zhì)心矢量，Exi和Eyi是xi和yi方向的彎曲剛度，xi和yi是相對于慣性坐標系x和y方向的彈性位移，λxi和λyi是分布載荷，σi是Bi桿的密度，其中i=1,2,3。

利用振型級數(shù)逼近的方法可得含行星輪系的天線動力學方程為

(9)

圖4 星載天線系統(tǒng)坐標Fig.4 Coordinate axis of satellite antenna

3 數(shù)值仿真

基于上述對行星輪系的模型和天線動力學模型的描述，本文采用Newmark數(shù)值方法，并通過Matlab軟件編程，對間隙因素對指向精度的影響進行仿真分析，行星輪系關(guān)節(jié)結(jié)構(gòu)的主要參數(shù)見表1。

表1 行星輪系主要參數(shù)

仿真主要分為單個行星輪系和多個行星輪系對天線動力學的影響兩個部分，根據(jù)天線動力學模型確定臂桿主要參數(shù)(見表2)，并以行星輪系關(guān)節(jié)作為耦合動力學分析。

表2 臂桿主要參數(shù)

根據(jù)表2設(shè)置臂桿主要參數(shù)，仿真時，太陽輪為主動輪。為其施加驅(qū)動，轉(zhuǎn)速為8.0(°)/s仿真時長為5.0 s，初始摩擦系數(shù)為0.2，研究天線相對于空間坐標系的波動情況。

側(cè)隙對天線動力學的影響主要分為太陽輪與行星輪嚙合的相對位移和行星輪與內(nèi)齒輪嚙合的齒輪側(cè)隙，根據(jù)第2節(jié)對齒輪側(cè)隙及相對位移計算的分析，分為0 mm(理想狀態(tài))、0.05 mm、0.10 mm、0.15 mm和0.20 mm五種不同情況進行動力學仿真分析。

為考慮單個行星輪系的不同齒輪側(cè)隙大小對天線動力學的影響，分析天線相對于理想狀態(tài)(齒輪側(cè)隙為零)的運動偏差，仿真結(jié)果如圖5所示。由式(4)～式(7)可知，行星輪與內(nèi)齒輪的齒輪側(cè)隙bRPn和太陽輪與行星輪嚙合的相對位移Δs變化，會導(dǎo)致齒輪側(cè)隙位移f(Δs)波動，由于臂桿等構(gòu)件傳遞波動，導(dǎo)致天線的指向與理想位置的偏移量增大。仿真結(jié)果符合這一趨勢，當運動開始時，天線偏移量出現(xiàn)大的峰值，在0.5～0.7 s之后，偏移量回落到一個較小值，之后隨著時間的增加，偏移量也逐漸趨于平穩(wěn)，整個過程呈現(xiàn)周期震蕩趨勢。當單個行星輪系的齒輪側(cè)隙為0.05 mm和0.1 mm時，最大偏移量分別為0.05 mm和0.08 mm。而當齒輪側(cè)隙大于0.15 mm時，偏移量會出現(xiàn)大幅波動，偏移量超過0.14 mm。表明：由于存在較大的齒輪側(cè)隙，會導(dǎo)致行星輪系的輪齒嚙合出現(xiàn)脫齒現(xiàn)象，使得齒輪嚙合精度下降，傳動效率降低。因此，應(yīng)該盡量減小齒輪側(cè)隙，以提高齒輪精度。

圖5 不同間隙相對于理想狀態(tài)下絕對偏移量

在一個行星輪系的基礎(chǔ)上分析兩個行星輪系對天線動力學的耦合影響，兩個關(guān)節(jié)的行星輪系均采用相同的齒輪側(cè)隙，對上述5種不同側(cè)隙情況進行仿真分析。仿真時，轉(zhuǎn)速為8.0(°)/s，仿真時長為5.0 s，摩擦系數(shù)為0.2。

仿真結(jié)果如圖6所示，齒輪側(cè)隙越小，天線相對偏移量的波動越小，但由于兩個行星輪系關(guān)節(jié)的耦合作用，導(dǎo)致天線指向呈現(xiàn)更復(fù)雜的運動特性。相比于單行星輪系關(guān)節(jié)，雙行星輪系關(guān)節(jié)系統(tǒng)中的多間隙運動過程中由于不同時處于接觸或懸空狀態(tài)，發(fā)生強烈的耦合作用，間隙的相互抵消或疊加導(dǎo)致關(guān)節(jié)間碰撞更加劇烈，使天線偏移量波動更加明顯，頻率更快，幅值更大，周期性不夠明顯，且波動時間更長，無法盡快恢復(fù)接觸狀態(tài)。由圖6與圖5對比可知，雙行星輪系關(guān)節(jié)導(dǎo)致的天線偏移量在同等齒輪側(cè)隙下約為單關(guān)節(jié)的兩倍，間隙越大時，出現(xiàn)極限碰撞位置的頻率越高，行星輪系的輪齒嚙合精度明顯下降，天線偏移量波動更大。因此，在設(shè)計時，應(yīng)該盡量同時減小兩個行星輪系齒輪側(cè)隙，以提高行星輪系傳動精度。

圖6 不同間隙相對于理想狀態(tài)下相對偏移量

4 結(jié)論

本文針對行星輪系關(guān)節(jié)存在齒輪側(cè)隙因素對天線指向精度的影響，采用多體動力學方法構(gòu)建了含齒輪側(cè)隙行星輪系的天線系統(tǒng)動力學模型，通過Newmark數(shù)值方法，仿真分析了齒輪側(cè)隙對天線指向精度的影響：

(1)在單個行星輪系關(guān)節(jié)中，當齒輪側(cè)隙大于0.15 mm時，導(dǎo)致天線偏移量超過0.14 mm，且隨著齒輪側(cè)隙的增大，可能出現(xiàn)齒輪脫齒現(xiàn)象，造成更大的沖擊，對天線的指向精度更為不利。

(2)相對于單行星輪系關(guān)節(jié)，雙行星輪系關(guān)節(jié)中，由于存在耦合作用，天線偏移量波動頻率更高，幅值更大，呈現(xiàn)更復(fù)雜的運動特性。當齒輪側(cè)隙為0.15 mm時,所造成的天線偏移量絕對值達到了0.3 mm，盡可能減小齒輪側(cè)隙能保證行星齒輪關(guān)節(jié)傳動的穩(wěn)定，在加工制造中，將齒輪側(cè)隙控制在0.1 mm以下，有利于提高星載天線的指向精度。

References)

[1] 張鋒，丁洪生，付鐵，等. 星載天線指向機構(gòu)誤差分析與建模[J]. 電子機械工程，2010，26(1)：41-44

Zhang Feng，Ding Hongsheng，F(xiàn)u Tie，et al. Analysis and modeling of pointing error for antenna pointing mechanism[J]. Electro-Mechanical Engineering，2010，26(1)：41-44 (in Chinese)

[2] 潘博，張東華，史文華，等. 星載天線指向精度建模與分析[J]. 航天器工程，2011，20(5)：49-54

Pan Bo，Zhang Donghua，Shi Wenhua，et al. Modeling and analysis on pointing accuracy of antenna in satellite[J]. Spacecraft Engineering，2011，20(5)：49-54 (in Chinese)

[3] 孫京，馬興瑞，于登云. 星載天線雙軸定位機構(gòu)指向精度分析[J]. 宇航學報，2007，28(3)：545-550

Sun Jing，Ma Xingrui，Yu Dengyun. Pointing accuracy analyses of a satellitic two-axes antenna pointing mechanism[J]. Journal of Astronautics，2007，28(3)：545-550 (in Chinese)

[4] 張慧博，陳軍，潘冬，等. 含間隙衛(wèi)星天線雙軸驅(qū)動機構(gòu)動力學特性分析[J]. 宇航學報，2012，33(1)：33-39

Zhang Huibo，Chen Jun，Pan Dong，et al. Research on dynamic characteristic of two-axis-position mechanism for satellite antenna with joint clearance[J]. Journal of Astronautics，2012，33(1)：33-39 (in Chinese)

[5] 游斌弟，潘冬，趙陽. 關(guān)節(jié)鉸間隙對漂浮基星載天線擾動研究[J]. 宇航學報，2010，31(10)：2251-2258

You Bindi，Pan Dong，Zhao Yang. Research on disturbance of joints with clearance on free-floating satellite antenna[J]. Journal of Astronautics，2010，31(10)：2251-2258 (in Chinese)

[6] Salagianni K，Nikolakopoulos P，Theodossiades S. Dynamic and tribological study of a planetary gearbox with local nonlinearities[J]. Proceedings of The Institution of Mechanical Engineers Part K-Journal of Multi-Body Dynamics，2017,231(3)：504-518

[7] Spitas C, Spitas V. Coupled multi-DOF dynamic contact analysis model for the simulation of intermittent gear tooth contacts, impacts and rattling considering backlash and variable torque[J]. Archive Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers Part C Journal of Mechanical Engineering Science，2015，230(7)：1989-1996

[8] Al-Shyyab A，Kahraman A. A non-linear dynamic model for planetary gear sets[J]. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers Part K Journal of Multi-body Dynamics，2007，221(4)：567-576

[9] 李同杰，朱如鵬，鮑和云，等. 行星齒輪系扭轉(zhuǎn)非線性振動建模與運動分岔特性研究[J]. 機械工程學報，2011，47(21)：76-83

Li Tongjie，Zhu Rupeng，Bao Heyun，et al. Nonlinear torsional vibration modeling and bifurcation characteristic study of a planetary gear train[J]. Journal of Mechanical Engineering，2011，47(21)：76-83 (in Chinese)

[10] 周璐，巫世晶，李景，等. 2K-H行星輪系的平移扭轉(zhuǎn)模型建立與非線性動態(tài)特性分析[J]. 振動與沖擊，2016，35(12)：71-76

Zhou Lu，Wu Shijing，Li Jing，et al. Establishment of translational and torsional model and nonlinear dynamic characteristic analysis for 2K-H planetary gear trains[J]. Journal of Vibration And Shock，2016，35(12)：71-76 (in Chinese)

[11] 孫濤，沈允文，孫智民，等. 行星齒輪傳動非線性動力學方程求解與動態(tài)特性分析[J]. 機械工程學報，2002，38(3)：11-15

Sun Tao，Shen Yunwen，Sun Zhimin，et al. Study on nonlinear dynamic behavior of planetary gear train solution and dynamic behavior analysis[J]. Journal of Mechanical Engineering，2002，38(3)：11-15 (in Chinese)

[12] 孫智民，季林紅，沈允文. 2K-H行星齒輪傳動非線性動力學[J]. 清華大學學報(自然科學版)，2003，43(5)：636-639

Sun Zhimin，Ji Linhong，Shen Yunwen. Nonlinear dynamics of 2K-H planetary gear train[J]. J Tsinghua Univ ( Sci & Tech)，2003，43(5)：636-639 (in Chinese)