為學(xué)生主動(dòng)探究搭建階梯

于慶

摘 要：隨著新課程改革的深入實(shí)施，探究式的教學(xué)方式越來越成為高中數(shù)學(xué)教學(xué)的最佳方式。那么，如何在高中數(shù)學(xué)課堂上引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探究呢？文章以《點(diǎn)到直線的距離》為例，結(jié)合課堂教學(xué)實(shí)踐，就如何科學(xué)設(shè)置階梯，提升學(xué)生的探究能力，有效實(shí)施數(shù)學(xué)探究談?wù)勛约旱乃伎寂c教法。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);探究教學(xué);課堂教學(xué)實(shí)踐

中圖分類號(hào)：G633.6

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

隨著高中數(shù)學(xué)教育改革的不斷深入，探究式的教學(xué)方式成為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的最佳方式。探究式教學(xué)是指以探究為主要活動(dòng)形式的教學(xué)，高中數(shù)學(xué)探究式教學(xué)是在教師主導(dǎo)下，學(xué)生采用自主探究、合作學(xué)習(xí)的方式探求數(shù)學(xué)結(jié)論，歸納出數(shù)學(xué)規(guī)律，最后教師再設(shè)置具體的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生在解決具體的問題的過程中完成知識(shí)的內(nèi)化與鞏固[1]。

與傳統(tǒng)教學(xué)相比，探究式教學(xué)耗時(shí)耗力，但是，正如艾倫·科林斯所說：“讓學(xué)生探究的教學(xué)，是一種費(fèi)時(shí)的教學(xué)，但如果我們的目標(biāo)是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性地解決問題和發(fā)現(xiàn)理論，那么這是我們所擁有的唯一方法?！盵2]由此可見，雖然探究式教學(xué)應(yīng)用于實(shí)際課堂教學(xué)時(shí)，可能會(huì)浪費(fèi)很多課堂時(shí)間，達(dá)不到教師預(yù)想的教學(xué)效果，導(dǎo)致課堂教學(xué)任務(wù)無法完成，但是磨刀不誤砍柴工，學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的全面提升必然體現(xiàn)在創(chuàng)造性思維和自主探究能力的培養(yǎng)和提高上，因此，數(shù)學(xué)教師十分有必要在課堂教學(xué)中努力實(shí)踐探究式教學(xué)模式。

探究式教學(xué)要求教師在時(shí)間分配、語言引導(dǎo)等方面精準(zhǔn)把握，這就需要教師在教學(xué)實(shí)踐中不斷提升自己的教學(xué)技能，豐富相關(guān)的知識(shí)儲(chǔ)備[3]，思考并創(chuàng)造具有教學(xué)價(jià)值的適于數(shù)學(xué)課堂探究的問題，豐富自己的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)經(jīng)驗(yàn)。本文以《點(diǎn)到直線的距離》為例，結(jié)合本人的教學(xué)實(shí)踐探索，談一談如何在引導(dǎo)學(xué)生探究的過程中為學(xué)生科學(xué)設(shè)置階梯，讓學(xué)生主動(dòng)進(jìn)行探究，發(fā)展學(xué)生的探究技能與探究能力，提升探究性課堂教學(xué)的有效性[4]。

《點(diǎn)到直線的距離》是人教版數(shù)學(xué)必修2第3.3.3節(jié)，主要內(nèi)容是點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)以及公式的應(yīng)用。本節(jié)內(nèi)容在解析幾何中具有十分重要的意義與地位，是培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算能力和邏輯思維能力的重要內(nèi)容。在此之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線方程和兩點(diǎn)間的距離公式，會(huì)求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，等等。本節(jié)課的難點(diǎn)和重點(diǎn)是公式的推導(dǎo)，而推導(dǎo)方法是豐富多彩的，其蘊(yùn)含的思想也是深刻的，教材中提供了兩種推導(dǎo)公式的思路，如何在一節(jié)課中讓學(xué)生既能了解這兩種推導(dǎo)方法，又能領(lǐng)悟其中的思想呢？

我將以“教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體”，采用“師生互動(dòng)”為基礎(chǔ)的“類比探究式課堂教學(xué)模式”，從學(xué)生熟悉的生活情境導(dǎo)入，按照從具體到抽象、從特殊到一般的思維方式，引導(dǎo)學(xué)生探索點(diǎn)到直線距離的求法。同時(shí)，要求學(xué)生課前利用課本和網(wǎng)絡(luò)資源自主預(yù)習(xí)，課上學(xué)生自主合作交流，共同探討對(duì)比兩種推導(dǎo)方法的異同，體會(huì)思路一雖然易想但是難求，思路二過程復(fù)雜但是更易操作。如此一來，學(xué)生不但深刻記住了點(diǎn)到直線的距離公式，并且親自體驗(yàn)了優(yōu)化公式推導(dǎo)思路的意義，從而進(jìn)一步認(rèn)同了數(shù)形結(jié)合思想，并提高了轉(zhuǎn)化、分析和解決問題的能力。

一、情境引入

（1）生活情境：如果你家住在一條筆直的小河邊，你要去河邊打水，從你家到河邊的最短路程是多少？

（2）問題導(dǎo)學(xué)：①什么是點(diǎn)到直線的距離？②如何求點(diǎn)到直線的距離？③你能想到幾種不同的方法？

施教之功，貴在引導(dǎo)，妙在開竅，教師要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)情境中的數(shù)學(xué)問題，促使學(xué)生自主學(xué)習(xí)相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)[5]。我從生活中的實(shí)例導(dǎo)入是為了挖掘數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中生活層面的特征[6]，課堂情境的巧妙創(chuàng)設(shè)能吸引學(xué)生的注意力，借此有效激發(fā)學(xué)生主動(dòng)探究的意愿，拉近數(shù)學(xué)與生活的距離，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系。先是生活情境，然后是問題導(dǎo)學(xué)，這是為了明確點(diǎn)到直線的距離的概念，用問題引領(lǐng)學(xué)生積極思考。

二、特例探究

問題1：求點(diǎn)P（1，2）到直線l：x-y-2=0的距離。

此處我先設(shè)計(jì)一道特例探究的題目，正是考慮到學(xué)生由易到難、從具體到抽象、由特殊到一般的思維習(xí)慣，更加符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。避免直接給出含有字母的任意點(diǎn)的坐標(biāo)和直線的一般式方程，讓學(xué)生一時(shí)無從下手，這樣只會(huì)打擊學(xué)生探究數(shù)學(xué)新知識(shí)的積極性。因此，我先給出問題1，并讓學(xué)生充分表達(dá)自己的解題思路。設(shè)計(jì)問題1的目的一是讓學(xué)生鞏固已學(xué)的知識(shí)和方法，二是為后面的公式推導(dǎo)作鋪墊。

預(yù)設(shè)學(xué)生能說出思路一：先求過點(diǎn)P的l的垂線l'的方程;再聯(lián)立l、l'求交點(diǎn)即垂足Q的坐標(biāo)，最后用兩點(diǎn)間的距離公式求出│PQ│。這種解決問題的方法相信學(xué)生稍加思考就能馬上說出來，學(xué)生說出思路以后，教師可以先和學(xué)生一起呈現(xiàn)解題的流程圖，并及時(shí)予以解題思路簡(jiǎn)單自然的評(píng)價(jià)，然后讓學(xué)生動(dòng)手完成具體的計(jì)算。思路一的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單清晰，缺點(diǎn)是運(yùn)算量大，大在求交點(diǎn)上。這里讓學(xué)生實(shí)踐自己的想法，有兩個(gè)目的，一是讓學(xué)生進(jìn)一步熟悉解析法的計(jì)算過程，二是更多的學(xué)生在較短時(shí)間內(nèi)很難得到正確的答案，讓學(xué)生在具體計(jì)算的過程中自己發(fā)現(xiàn)這種解法的缺陷，激起學(xué)生尋求其他更優(yōu)解法的欲望，進(jìn)一步思考如何化繁為簡(jiǎn)。我繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生探求其他解法，逐步提問，層層深入。在探究教學(xué)中，教師要優(yōu)化引導(dǎo)方法，促使學(xué)生主動(dòng)探究數(shù)學(xué)知識(shí)，從而提高教學(xué)效率[7]。

思路二：等面積法。

（1）必須求點(diǎn)Q的坐標(biāo)嗎？

（2）還有其他求線段PQ長(zhǎng)度的方法嗎？（引導(dǎo)學(xué)生想到構(gòu)造直角三角形）

（3）直角三角形如何構(gòu)造最簡(jiǎn)單？

教師的恰當(dāng)指導(dǎo)與介入為學(xué)生主動(dòng)探究鋪設(shè)臺(tái)階，通過三個(gè)層次的問題促使學(xué)生進(jìn)行深入探究。在實(shí)際課堂教學(xué)中，學(xué)生可能會(huì)提出多種構(gòu)造方法，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生積極表達(dá)自己的觀點(diǎn)，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生思考不同構(gòu)造方法的優(yōu)缺點(diǎn)，也可留作課后思考，布置研究性作業(yè)，具體視課堂情況靈活處理。本節(jié)課只對(duì)等面積法重點(diǎn)分析，它的缺點(diǎn)是思考較難，優(yōu)點(diǎn)是容易求交點(diǎn)，運(yùn)算簡(jiǎn)潔。

三、類比推導(dǎo)

問題2：求點(diǎn)P（x0，y0）到直線Ax+By+C=0（A≠0，B≠0）的距離。

在解決特例問題1的基礎(chǔ)上，自然而然提出問題2，將點(diǎn)和直線的距離從特殊推廣到一般情況，并引導(dǎo)學(xué)生用等面積法進(jìn)行推導(dǎo)，同樣的，教師一定要引導(dǎo)學(xué)生理清等面積法推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離的算法思路，然后師生合作用算法圖把思路寫出來，滲透算法思想。最后，再由學(xué)生自己寫出點(diǎn)到直線的距離公式的詳細(xì)證明過程，這樣能夠有效培養(yǎng)和提高學(xué)生的推理和論證能力。

四、應(yīng)用提高

學(xué)生初步應(yīng)用公式解決例1：求點(diǎn)P（-1，2）到直線l：3x=2的距離。

在此，要求學(xué)生再利用推導(dǎo)出的公式直接計(jì)算問題1，是為了與之前的計(jì)算過程和結(jié)果進(jìn)行比較，優(yōu)劣立現(xiàn)。當(dāng)然不要忘記檢驗(yàn)當(dāng)A=0或B=0時(shí)公式仍適用，進(jìn)而擴(kuò)大公式的應(yīng)用范圍。還要讓學(xué)生進(jìn)一步思考：當(dāng)A=0或B=0，還可以怎樣求點(diǎn)到直線的距離？通過實(shí)例討論A=0或B=0時(shí)公式成立，“直線特殊時(shí)，圖像是良方”，還可以畫圖求解。接著師生共同總結(jié)出：

（1）公式的結(jié)構(gòu)特征：①公式是個(gè)怎樣的運(yùn)算形式？②分子是什么？③分母是什么？

（2）公式的適用范圍：①公式對(duì)于任意點(diǎn)P（包括P在直線上）和任意直線都適用。當(dāng)A=0或B=0時(shí)，公式仍成立，具體計(jì)算時(shí)用圖形直接求解更簡(jiǎn)單。

（3）公式的使用前提：先將直線化為一般式方程。

（4）公式的方程觀點(diǎn)：公式可理解為是含有6個(gè)量的方程，可以知五求一。

最后，進(jìn)行深度研討解決例2：已知點(diǎn)A（1，3），B（3，1），C（-1，0），求ΔABC的面積。從而鞏固點(diǎn)到直線的距離公式，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想。

五、目標(biāo)反饋

組織和指導(dǎo)學(xué)生歸納知識(shí)、技能、方法的一般規(guī)律，深化對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)，為后續(xù)學(xué)習(xí)點(diǎn)到直線的距離公式、等面積法的算法框圖、等面積法推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式的思想方法打好基礎(chǔ)。

六、布置作業(yè)

課后作業(yè)分為必做題和探究題，嘗試推導(dǎo)兩條平行直線的距離公式。

最后是板書設(shè)計(jì)：

課題：點(diǎn)到直線的距離

1.問題1：求點(diǎn)P（1，2）到直線l：x-y-2=0的距離。

問題2：求點(diǎn)P（x0，y0）到直線Ax+By+C=0（A≠0，B≠0）的距離。

等面積法的推導(dǎo)過程

2.點(diǎn)到直線的距離公式

典型例題

例1：（略）。

例2：（略）。

七、結(jié)語

本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)充分體現(xiàn)了以學(xué)生為主體的教學(xué)理念。在教學(xué)過程中，我努力創(chuàng)設(shè)一個(gè)探索數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)環(huán)境，為學(xué)生主動(dòng)探究科學(xué)設(shè)置合理的階梯，讓學(xué)生在自主探究的過程中，親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)公式的思考和推導(dǎo)過程，深入體會(huì)其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，進(jìn)而提高自身的探究能力。

參考文獻(xiàn)：

[1][3]繆澤娟.高中數(shù)學(xué)探究式教學(xué)的內(nèi)涵及實(shí)踐研究[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊， 2017（12）：54-55.

[2]李玉榮. 把握尺度謹(jǐn)防“滑過”——以韋達(dá)定理的教學(xué)為例[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（初中版），2015（1）：7-8.

[4][6]朱建霞.高中數(shù)學(xué)探究型教學(xué)的著力點(diǎn)分析[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊， 2017（15）：44-45.

[5][7]邵 詠.高中數(shù)學(xué)探究教學(xué)策略[J].中學(xué)生數(shù)理化（教與學(xué)）， 2017（2）：52.