對(duì)一道中考題的模式、策略、本質(zhì)的探究
——基于貴陽(yáng)市2019年中考幾何壓軸題的探究

☉貴州省貴陽(yáng)市烏當(dāng)中學(xué) 鄧 清

☉貴州師范大學(xué) 陳 麗

著名數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家懷特海曾提出“數(shù)學(xué)是模式的科學(xué)”的觀點(diǎn)，提出“數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征就是在模式化的個(gè)體抽象的過(guò)程中對(duì)模式進(jìn)行研究”.因?yàn)閿?shù)學(xué)的研究對(duì)象，即概念和命題，都是對(duì)客觀現(xiàn)實(shí)或數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)的一種抽象，因此它們都是一種“模式”.學(xué)生在面臨一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，總會(huì)將問(wèn)題與已認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的問(wèn)題模式進(jìn)行比較，通過(guò)正確識(shí)別問(wèn)題模式，迅速縮小對(duì)問(wèn)題的搜索范圍，減小思維的強(qiáng)度和負(fù)荷.

中考?jí)狠S題側(cè)重考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的深度綜合和對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的靈活運(yùn)用，常常需要較高的思維負(fù)荷和較強(qiáng)的綜合應(yīng)用能力，但其包含的問(wèn)題本源又常常緊扣學(xué)生的已有認(rèn)知.教師在向?qū)W生講解此類問(wèn)題時(shí)，不應(yīng)該直接給出問(wèn)題的解決策略，而應(yīng)盡量挖掘問(wèn)題中所蘊(yùn)含模式的背景，將考題與學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的已有問(wèn)題模式聯(lián)系，讓學(xué)生自己得出問(wèn)題解決的策略，如此，能促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的自然生成與發(fā)展.同時(shí)，教材是教師上課之本、中考命題之本，也是學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知之本.學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的問(wèn)題模式，大多來(lái)源于教材中例題和習(xí)題的呈現(xiàn).本文以2019年貴陽(yáng)市的一道中考幾何壓軸題為研究對(duì)象，先探尋試題中所蘊(yùn)含的問(wèn)題模式在教材中的體現(xiàn)，以此作為思維的邏輯起點(diǎn)，逐步提高解題策略的思維層次，從多個(gè)視角提出解決該問(wèn)題的不同方法.

一、試題呈現(xiàn)

圖1

（貴陽(yáng)市2019年中考數(shù)學(xué)第15題）如圖1，在矩形ABCD中，AB=4，∠DCA=30°，點(diǎn)F是對(duì)角線AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接DF，以DF為斜邊作∠DFE=30°的直角三角形DEF，使點(diǎn)E和點(diǎn)A位于DF兩側(cè)，點(diǎn)F從點(diǎn)A到點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)是____________.

評(píng)析：解決該問(wèn)題的關(guān)鍵是能感知并證明點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡，需要學(xué)生根據(jù)圖形運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律，抓住其中不變的特點(diǎn).點(diǎn)E是隨著點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)的，根據(jù)已知條件不難知道，在運(yùn)動(dòng)變化中，∠EDF=60°、DE=這兩個(gè)特點(diǎn)是不變的.如何引導(dǎo)學(xué)生想到解決此問(wèn)題的辦法，或者學(xué)生解決該問(wèn)題可能的邏輯起點(diǎn)是什么，需要從學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中可能存在的問(wèn)題模式進(jìn)行分析.

二、教材中的問(wèn)題模式的探尋

北師大版2014年版教材初中數(shù)學(xué)八年級(jí)第89頁(yè)呈現(xiàn)了這樣一個(gè)問(wèn)題：

（第三章復(fù)習(xí)題第11題）如圖2，點(diǎn)D在等邊三角形ABC的邊BC上，將△ABD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使得旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C.小明是這樣做的：如圖3，過(guò)點(diǎn)C畫(huà)BA的平行線l，在l上取CE=BD，連接AE，則△ACE即為旋轉(zhuǎn)后的圖形，你能說(shuō)明這樣做的道理嗎？

圖2

圖3

這一復(fù)習(xí)題實(shí)質(zhì)上是通過(guò)證明三角形全等說(shuō)明△ABD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E恒在平行線l上.該問(wèn)題的結(jié)論可進(jìn)一步概括為：點(diǎn)D在等邊三角形的邊BC所在的直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，將線段AD繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°后，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恒在與AB平行的直線l上運(yùn)動(dòng).教材中這一復(fù)習(xí)題與上面中考試題的模式如出一轍，學(xué)生在解決這一復(fù)習(xí)題時(shí)，如能得到教師的適當(dāng)引導(dǎo)，在認(rèn)知結(jié)構(gòu)中形成一種問(wèn)題模式，就能形成解決上面中考試題的思維.

三、解題策略的形成

解法1：借助已有模式，構(gòu)造等邊三角形.

該試題通過(guò)添加輔助線構(gòu)造等邊三角形后，可以得到和教材習(xí)題相同的模式，借助這一問(wèn)題模式，得到以下解決辦法：

如圖4，記AC的中點(diǎn)為O，過(guò)點(diǎn)O作直線l//AD，延長(zhǎng)DE交直線l于點(diǎn)F′，連接DO.

圖4

易知DO=AO，∠DAO=60°，則△OAD為等邊三角形.

根據(jù)∠ADO=∠FDE=60°，可得∠ADF=∠ODF′.又因?yàn)锳D=OD，∠DOF′=∠DAF=60°，所以于是可認(rèn)為DF′為DF繞點(diǎn)D沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得到的，即點(diǎn)F的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F′恒在直線l上運(yùn)動(dòng)，且始終滿足OF′=AF，所以點(diǎn)F′運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度等于點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度AC=而DE=則點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑為點(diǎn)F′運(yùn)動(dòng)路徑的一半，即

解法2：觀察軌跡特點(diǎn)，構(gòu)造相似三角形.

解法1借助教材中的問(wèn)題模式，符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，是學(xué)生比較容易接受的一種解決方法.問(wèn)題解決后，引導(dǎo)學(xué)生反思，解決該問(wèn)題的關(guān)鍵是知道點(diǎn)E在平行于AD的直線l上運(yùn)動(dòng)，那么可以通過(guò)證明點(diǎn)E到直線AD的距離為定值來(lái)說(shuō)明直線l//AD.

如圖5，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AC于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥AD于點(diǎn)N.

根據(jù)NE∥DC，可得∠CDE=∠DEN.

由于∠CDE+∠FDA=30°，∠MDF+∠FDA=30°，所以∠CDE=∠MDF.

則∠DEN=∠MDF.又因?yàn)椤螪NE=∠FMD=90°，所以因此，即NE=DM=DC=1.

因此點(diǎn)E到直線AD的距離為定值，所以點(diǎn)E在一條平行于AD的直線上運(yùn)動(dòng).

圖5

圖6

當(dāng)點(diǎn)F與起點(diǎn)A重合時(shí)，如圖6，∠EDN=∠EDF=60°，所以；當(dāng)點(diǎn)F與終點(diǎn)C重合時(shí)，如圖7，∠EDN=30°，所以所以點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度為

圖7

圖8

解法3：構(gòu)造等腰三角形，尋找相同軌跡點(diǎn).

解法4：尋求問(wèn)題本質(zhì)，形成高階思維.

觀察點(diǎn)F與點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，實(shí)質(zhì)上是一個(gè)圖形的旋轉(zhuǎn)及拉伸變換的過(guò)程.基于此，可以運(yùn)用點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)公式和拉伸坐標(biāo)公式來(lái)研究點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡.

如圖9，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系.

因?yàn)樵谛D(zhuǎn)變換中，始終滿足∠EDF=60°，且DF=2DE，可設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，y），DF的中點(diǎn)E′的坐標(biāo)為（x′，y′）.點(diǎn)E′（x′，y′）是由點(diǎn)E（x，y）順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到的，根據(jù)旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)公式，可得

圖9

四.結(jié)論推廣

解法4 體現(xiàn)了此類問(wèn)題的本質(zhì)，即如果點(diǎn)F與其對(duì)應(yīng)點(diǎn)E存在這樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系：存在一個(gè)定點(diǎn)O，使得∠EOF為一個(gè)定值，且為定值，當(dāng)點(diǎn)F在一條直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)E也在一條直線上運(yùn)動(dòng).為了探尋兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的關(guān)系，根據(jù)以上中考試題的解決過(guò)程和得到的結(jié)論，歸納、推廣得以下結(jié)論，并進(jìn)行證明.

結(jié)論：如圖10，在平面內(nèi)，若點(diǎn)F與其對(duì)應(yīng)點(diǎn)E存在這樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系：存在一個(gè)定點(diǎn)O，使得∠EOF為一個(gè)定值θ，且為定值，當(dāng)點(diǎn)F在一條長(zhǎng)為m的線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若該線段所在直線方程為Ax+By+C=0，則點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡也是一條線段，且該線段的長(zhǎng)為λm，線段所在直線方程為（Acosθ-Bsinθ）x+（Asinθ+Bcosθ）y+λC=0.

證明：對(duì)于軌跡長(zhǎng)度的證明，可采用上面的解法4的思路，在線段OE上取一點(diǎn)F′，使得OF′=OF，則點(diǎn)F′的軌跡長(zhǎng)度等于點(diǎn)F的軌跡長(zhǎng)度，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例關(guān)系，不難得出點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度與點(diǎn)F′運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度之比為，因此點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度為λm.

圖10

五、結(jié)束語(yǔ)

本文以一道中考試題為對(duì)象，通過(guò)在教材中對(duì)問(wèn)題模式的探尋，以遞進(jìn)和螺旋上升的形式對(duì)試題多種解題策略進(jìn)行探究，最終以蘊(yùn)含高階思維的解題策略推廣為一般結(jié)論.研究過(guò)程中，既充分考慮學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，也注重思維形成的邏輯，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)思想的生成和發(fā)展，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成.