淺談導(dǎo)數(shù)中極值點方程消元法的應(yīng)用

林一丁

摘要： 介紹一種比較少用卻又實用的方法——極值點方程消元法的具體運用。

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù)；消元法 ； 應(yīng)用

我們常見的用導(dǎo)數(shù)壓軸求參數(shù)范圍或證明不等式的解法常用的方法不外乎構(gòu)造差商函數(shù)，或者放縮法。但是在放縮行不通的時候構(gòu)造新函數(shù)求不出極值點又該怎么辦。在此，本文將談一談一種比較少用卻又實用的方法——極值點方程消元法。

構(gòu)造新函數(shù)如果能求出極值點和極值，那么問題就迎刃而解了。但是，當(dāng)放縮法行不通呢極值點無法求出時該怎么辦呢？解決這類問題的關(guān)鍵就是在確定函數(shù)單調(diào)性的情況下根據(jù)f'（x）=0把其中一種超越函數(shù)結(jié)構(gòu)消掉，并且確定極值點的大概取值范圍。把極值表示成一個關(guān)于極值點的較簡單的函數(shù)來研究。比如這道題中的第二問：

例1.設(shè)函數(shù)f（x）=axlnx+be-x，曲線y=f（x）在1，f（1）處的切線方程為y=1+e-1x-1-2e-1。

（I）求a，b；

（II）求證： f（x）>-1-2e-2

解析：（II）由（I）知f（x）=xlnx-e-x，f'（x）=e-x+lnx+1，

設(shè)g（x）=e-x+lnx+1，則g'（x）=-e-x+1x=ex-xxex

設(shè)h（x）=ex-x，則h'（x）=ex-1>0，所以h（x）在0，+∞上單調(diào)遞增，

所以h（x）>0，所以g'（x）>0，所以g（x）在0，+∞上單調(diào)遞增，

又因為在ge-1=e-e-1>0，ge-2=e-e-2-1<0，即ge-1·ge-2<0，

所以g（x）恰有一個零點x0∈（e-2，e-1）；

即g（x0）=e-x0+lnx0+1=0，即-e-x0=lnx0+1

且當(dāng)x∈（0，x0）時，g（x）<0，f（x）單調(diào)遞減，

且當(dāng)x∈（x0，+∞）時，g（x）>0，f（x）單調(diào)遞增。

所以f（x）≥fx0=x0lnx0-e-x0=x0lnx0+lnx0+1，

設(shè)φ（x）=xlnx+lnx+1，

因為x∈（e-2，e-1），所以φ'（x）=1+lnx+1x

設(shè)u（x）=1+lnx+1x，則u'（x）=1x-1x2=x-1x2，

當(dāng)x∈（0，1）時，u'（x）<0，u（x）單調(diào)遞減，且當(dāng)x∈（1，+∞）時，u'（x）>0，u（x）單調(diào)遞增。

所以u（x）≥u1=2>0，所以φ'（x）>0，所以φ（x）在x∈（e-2，e-1）上單調(diào)遞增，則φx0>φe-2=-1-2e-2，

所以f（x）≥fx0=φx0>-1-2e-2，即f（x）>-1-2e-2

這道題目如果直接使用放縮的方法難以配湊出-1-2e-2 或者比其更大的數(shù)。因為極值點的利用也就至關(guān)重要。由于在找極值點的過程中需要對函數(shù)進(jìn)行二次求導(dǎo)，除此之外還要對極值點的范圍進(jìn)行更精確的確定，并且研究消掉ex后的新函數(shù)，最后還要再進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s尋找題目提供的數(shù)據(jù)，使本題難度增大不少。

再來看一道例題：

例2.已知函數(shù)f（x）=-2a+xlnx+x2-2ax-2a2+a，其中a>0，

（1）設(shè)g（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，討論g（x）的單調(diào)性；

（2）證明：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)恒成立，且f（x）=0在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)有唯一解。

解析：（2）由（1）得f'x=gx在1，+∞上單調(diào)遞增，且

f'1=-2-2a+2-2a=-4a，當(dāng)x→+∞時，f'x>0，

由零點區(qū)間存在性定理得：

存在唯一x0∈（1，+∞），使得f'（x0）=-2lnx0-2-2ax0+2x0-2a=0①

所以f（x）在（1，x0）上單調(diào)遞減，f（x）在（x0，+∞）上單調(diào)遞增，

所以滿足f（x）=0在（1，+∞）內(nèi)有唯一解，只需滿足f（x）max=f（x0）=0即可。

f（x0 ） = -2a + x0 lnx0 + x20 -2ax0 -2a2 + a = 0，將①代入化簡得

2a2 + 5x0 -2x20 a-x30 -2x20 = 0，2a-x0 a + x20 -2x0 = 0，

a = x0 2，a = 2x0 -x20 ，

當(dāng)a=x02x0>1時，此時①變形為2a-2ln2a-3=0在（12，1）上有解，

令ha=2a-2ln2a-3，h'a=2-2a=2a-2a，

所以h（a）在（0，1）上單調(diào)遞減，h12=1-3<0不滿足題意。

當(dāng)a = 2x0 -x20 時，此時①變形為2x20 -2lnx0 -6 = 0在（1，2）上有解。

不妨設(shè)hx0 = 2x20 -2lnx0 -6，則h'x0 = 4x0 -2x0 = 4x20 -2x0

所以h（x0）在1，2上單調(diào)遞增，

又因為h1=-4，h2=2-2ln2>0，

所以2x20 -2lnx0 -6 = 0在（1，2）上有解。

所以結(jié)論得證。

此題與上一題不同的是函數(shù)中含參數(shù)看似更為復(fù)雜，實際上目標(biāo)方法更為明顯。對命題稍加轉(zhuǎn)化，即是讓我們證明當(dāng)f'（x0）=0時，f（x0）=0。這時極值點方程消元法便派上用場，可以把難以運算的對數(shù)結(jié)構(gòu)消掉，使原函數(shù)變成一個三次函數(shù)。

從上述問題來看，當(dāng)我們在證明一些有關(guān)導(dǎo)數(shù)的命題時，求不出極值點并不意味著構(gòu)造新函數(shù)不加以放縮完全行不通，有時僅是通過極值點的條件列出方程，設(shè)而不求整體代換消元，會是使問題“柳暗花明又一村”。

（作者單位：福建省永春第一中學(xué) 362601）