均值不等式的應(yīng)用

陳繼

【摘要】均值不等式的應(yīng)用較為廣泛，在很多領(lǐng)域都能發(fā)揮積極作用。如何正確應(yīng)用均值不等式是廣大數(shù)學(xué)教師研究的重要課題。文章主要介紹了關(guān)于均值不等式在初等數(shù)學(xué)、高等數(shù)學(xué)以及實(shí)際生活中的應(yīng)用，以期為相關(guān)人士提供參考。

【關(guān)鍵詞】均值不等式；初等數(shù)學(xué)；高等數(shù)學(xué)應(yīng)用

一、引言

均值不等式具有應(yīng)用范圍廣泛的特征。數(shù)學(xué)教師可以將其合理使用在數(shù)學(xué)教學(xué)中，制訂完善的教學(xué)方案，樹立正確的觀念，創(chuàng)造良好的教學(xué)環(huán)境，在對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行創(chuàng)新的基礎(chǔ)上，逐漸提升自身教學(xué)水平。在教學(xué)工作中，教師使用均值不等式知識，可以對最值與累加、累乘等內(nèi)容進(jìn)行協(xié)調(diào)，在全面分析相關(guān)教學(xué)要求與特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，創(chuàng)造良好的發(fā)展空間，創(chuàng)新教學(xué)方式，加大教學(xué)工作力度，創(chuàng)建現(xiàn)代化的教學(xué)體系，滿足其實(shí)際發(fā)展需求。當(dāng)前，部分?jǐn)?shù)學(xué)教師在教學(xué)工作中，還不能很好地應(yīng)用均值不等式知識，難以提升相關(guān)知識的應(yīng)用效果。因此，教師要進(jìn)行全面的分析，歸納總結(jié)教學(xué)經(jīng)驗，創(chuàng)造良好的發(fā)展環(huán)境，為后續(xù)進(jìn)步奠定基礎(chǔ)。

二、均值不等式在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

（一）利用均值不等式計算累加累乘

在均值不等式知識實(shí)際使用的過程中，教師可以對不等式中的難點(diǎn)問題進(jìn)行分析，指導(dǎo)學(xué)生掌握相關(guān)知識的應(yīng)用技巧，提升學(xué)習(xí)水平。在學(xué)生學(xué)習(xí)的過程中，教師可以對學(xué)生提出相關(guān)問題。例如：如果a，b，c都是正數(shù)，求證。在對這個問題進(jìn)行講解的過程中，應(yīng)明確學(xué)生的學(xué)習(xí)特點(diǎn)與要求，為學(xué)生講解相關(guān)內(nèi)容，保證更好地對其進(jìn)行分析，在一定程度上能夠提升學(xué)生的解題能力。教師可以指導(dǎo)學(xué)生先對問題的已知條件進(jìn)行合理的分析，明確均值不等式的定義知識，然后利用論證與推導(dǎo)的方式對其進(jìn)行嚴(yán)格的探討，保證可以獲得準(zhǔn)確的結(jié)論。另外，要綜合使用相關(guān)計算與分析方式，逐漸提升均值不等式知識的使用效果。

（二）利用均值不等式求最值

在使用均值不等式對最值問題進(jìn)行解決的過程中，應(yīng)當(dāng)合理分析數(shù)學(xué)問題的研究重點(diǎn)，保證更好地學(xué)習(xí)與掌握相關(guān)知識。在此期間，應(yīng)當(dāng)合理分析必備的基礎(chǔ)條件：其一，就是“正”元素，各項數(shù)據(jù)信息都為正數(shù)；其二，就是“定”元素，各項數(shù)據(jù)信息與乘積為定值；其三，是“等”元素，明確等號的取值條件。在均值不等式實(shí)際應(yīng)用的過程中，能夠?qū)ψ钪档臄?shù)據(jù)信息等進(jìn)行合理的分析，巧妙使用變形方式獲取最值信息，保證在相關(guān)系數(shù)求解的過程中，對各個層次的內(nèi)容進(jìn)行研究。在實(shí)際發(fā)展的過程中，可以利用具體的實(shí)例方式，明確最值數(shù)據(jù)信息。

在實(shí)際教學(xué)的過程中，教師可以利用拆項方式、換元方式、平方方式等，掌握變形分析技巧，對定值與最值等數(shù)據(jù)問題進(jìn)行求解，協(xié)調(diào)各方面之間的關(guān)系，保證教學(xué)效果。

例如：a大于0，b大于0，a+b等于1，求證。在指導(dǎo)學(xué)生對此類問題進(jìn)行分析的過程中，通常情況下，教師會對均值不等式的幾何背景等進(jìn)行研究，使得學(xué)生在了解幾何背景的情況下，更好地對結(jié)論進(jìn)行分析，提升知識掌握效果，拓展多元化的發(fā)展空間。同時，在教學(xué)期間，教師還要指導(dǎo)學(xué)生在縝密思考的過程中對幾何空間數(shù)據(jù)信息進(jìn)行分析，提升問題分析效果，滿足當(dāng)前的實(shí)際發(fā)展需求，保證結(jié)論的準(zhǔn)確性與可靠性。另外，在使用均值不等式知識解決相關(guān)問題的過程中，還要對實(shí)際情況進(jìn)行合理的研究，培養(yǎng)學(xué)生循序漸進(jìn)的問題分析觀念，提高其創(chuàng)新能力，保證在未來發(fā)展的過程中，制定多元化的分析與管理機(jī)制，創(chuàng)造良好的發(fā)展空間。

三、均值不等式在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

（一）均值不等式在極值問題中的應(yīng)用

在高等數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中，教師應(yīng)當(dāng)合理使用極值相關(guān)問題開展教學(xué)活動，制定完善的教育方案，及時發(fā)現(xiàn)其中存在的問題，采取有效措施應(yīng)對問題，保證教學(xué)工作的可靠性與有效性。

例如教師提出問題“求極限”，在求解的過程中，可以將n元均值不等式作為主要的解題內(nèi)容，通過合理的方式對其進(jìn)行處理，保證能夠更好地對問題進(jìn)行解決，提升教學(xué)效果。在解題過程中，可以要求學(xué)生建立均值不等式的相關(guān)方程，更好地學(xué)習(xí)不等式解題中的知識，明確解題要求，全面掌握相關(guān)知識內(nèi)容。

通常情況下，在建立函數(shù)極值問題解決方案的過程中，教師要指導(dǎo)學(xué)生科學(xué)應(yīng)用函數(shù)解析式的方式學(xué)習(xí)相關(guān)知識，然后判斷問題是否可以運(yùn)用均值不等式方式解決，如果可以，就要對其進(jìn)行全面的處理。在此期間，教師可以指導(dǎo)學(xué)生利用微積分的方式，對極值問題進(jìn)行全面的分析，明確其可行性與有效性。同時，教師在指導(dǎo)學(xué)生求解極值問題時，對特殊類型均值不等式內(nèi)容進(jìn)行研究，及時發(fā)現(xiàn)其中存在的不相像等問題，采取有效措施對其進(jìn)行解決。運(yùn)用均值不等式知識解決極值問題，具有間接性與便利性的優(yōu)勢，能夠提升解題效果。因此，在未來發(fā)展的過程中，教師要指導(dǎo)學(xué)生全面了解均值不等式的基礎(chǔ)知識，創(chuàng)造良好的教學(xué)環(huán)境，使得學(xué)生在先進(jìn)教學(xué)方式的支持下，更好地解決相關(guān)問題，提高現(xiàn)代化教學(xué)工作效果。

在教學(xué)工作中，教師需重視對學(xué)生排序不等式能力的培養(yǎng)，使其在全面理解基本不等式知識的情況下，更好地參與教學(xué)活動。在此期間，教師可以設(shè)置問題：“現(xiàn)有兩組數(shù)，第一組為A1，A2，…，第二組為B1，B2，…，要想滿足A1小于等于A2，且B1小于等于B2，那么，怎么樣才能使其成立？”在提出問題之后，需根據(jù)數(shù)值的實(shí)際調(diào)整要求對其處理，利用反序與同序的方式解決問題，在合理調(diào)整的情況下，對其進(jìn)行嚴(yán)格的控制。在實(shí)際證明的過程中，還需對A1、A2、B1、B2進(jìn)行全面調(diào)整，保證相關(guān)數(shù)值可以符合相關(guān)規(guī)定，更好地開展作差證明活動。這樣在一定程度上可以培養(yǎng)學(xué)生知識的學(xué)習(xí)與理解能力，使其在理解與學(xué)習(xí)知識的過程中，養(yǎng)成良好的習(xí)慣，提高學(xué)習(xí)效果，滿足當(dāng)前的實(shí)際發(fā)展需求。

（二）均值不等式在應(yīng)用過程中的注意事項

在使用均值不等式的過程中，教師應(yīng)當(dāng)指導(dǎo)學(xué)生注意各類事項，運(yùn)用合理的分析方式，及時發(fā)現(xiàn)不等式知識應(yīng)用中存在的問題，并采取有效措施加以解決，滿足當(dāng)前的教學(xué)工作需求。具體注意事項包括以下幾點(diǎn)。endprint

第一，對于不同的均值不等式而言，存在不同實(shí)數(shù)取值范圍的要求，應(yīng)當(dāng)明確實(shí)際情況。例如：在對問題進(jìn)行分析時，如果二次根號下面存在實(shí)數(shù)，就必須保證實(shí)數(shù)大于或是等于零，保證可以滿足不等式知識的應(yīng)用要求。

第二，均值不等式知識的應(yīng)用，要求其中帶有等號，在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，應(yīng)當(dāng)對其等號成立條件進(jìn)行合理的分析，如果不存在相關(guān)條件，就無法應(yīng)用不等式知識。

第三，為了培養(yǎng)學(xué)生不等式知識的應(yīng)用能力，教師可以使用符號圖形展示教學(xué)方式、生活語言教學(xué)方式等，指導(dǎo)學(xué)生通過書面語言，對符號進(jìn)行表達(dá)，增強(qiáng)其學(xué)習(xí)便利性與簡易性，滿足當(dāng)前的不等式知識教學(xué)要求。

第四，在對圓直徑或是弦長大小問題進(jìn)行解決的過程中，教師可以指導(dǎo)學(xué)生判斷該問題是否可以使用均值不等式知識，在明確能用之后，還要尋找最佳的實(shí)用點(diǎn)，以便于提升不等式知識的應(yīng)用效果。

第五，實(shí)際教學(xué)中，教師還要指導(dǎo)學(xué)生使用均值不等式對周長與矩形問題進(jìn)行解決?？梢园l(fā)現(xiàn)，在周長相等的矩形中，面積最大的為正方形；在面積相等的矩形中，周長最小的是正方形。在反復(fù)驗證的過程中，學(xué)生通過合理的分析方式，了解相關(guān)不等式知識的使用要求，能夠全面提升學(xué)習(xí)效果。

第六，均值不等式知識是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)與難點(diǎn)，教師應(yīng)當(dāng)給予學(xué)生正確的指導(dǎo)，培養(yǎng)其知識應(yīng)用能力與問題解決能力，滿足實(shí)際教學(xué)要求。

第七，在均值不等式知識教學(xué)工作中，教師需制訂完善的教學(xué)工作方案，結(jié)合當(dāng)前的實(shí)際教學(xué)特點(diǎn)與要求，創(chuàng)新管理形式，保證提升各方面的工作效果。在此期間，需培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力，使其全面了解均值不等式的相關(guān)知識，更好地參與到實(shí)踐活動中，提升其學(xué)習(xí)能力與理解能力。

第八，教師在講解均值不等式知識的時候，需創(chuàng)建多元化的管理機(jī)制，明確各方面工作之間的關(guān)系，創(chuàng)新教學(xué)形式，在加大教學(xué)管理力度的情況下，營造良好的教學(xué)環(huán)境與氛圍，保證能夠增強(qiáng)教學(xué)工作效果。

第九，教師在對均值不等式知識的講解期間，需針對各類內(nèi)容進(jìn)行全面的分析與處理，根據(jù)學(xué)生的實(shí)際學(xué)習(xí)要求，建立健全管控機(jī)制，明確各方面的教學(xué)要求，保證在未來發(fā)展的過程中，得到良好的教學(xué)成效。為了使學(xué)生更好地掌握均值不等式知識，還需合理創(chuàng)建相關(guān)教學(xué)體系，滿足當(dāng)前的教學(xué)要求。

四、結(jié)語

均值不等式的應(yīng)用十分廣泛，但在實(shí)際應(yīng)用中一定要注意其使用條件，認(rèn)真思考，注意各種條件變換和公式的變形使用，理清解題思路，提升學(xué)生分析問題與解決問題的能力，在實(shí)踐過程中，要培養(yǎng)學(xué)生均值不等式的使用技巧，更好地對問題進(jìn)行研究，以達(dá)到良好的教學(xué)效果。

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