基于正態(tài)信息擴(kuò)散的新多變量模糊時(shí)間序列模型研究

薛 曄，李肖肖，付恒春

（太原理工大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，太原030024）

0 引言

時(shí)間序列分析方法不但可以從數(shù)量上揭示現(xiàn)象的變化規(guī)律，而且還能預(yù)測(cè)現(xiàn)象的未來(lái)行為，但在自然科學(xué)與社會(huì)科學(xué)研究中常常會(huì)存在一些具有模糊、不完備、或變量間相互關(guān)聯(lián)等特性的時(shí)間序列。例如，貨幣流通情況通?？擅枋鰹檎?、不正常、很不正常等模糊語(yǔ)義數(shù)據(jù)，這種經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的形成往往是受多種因素交互影響的結(jié)果。若用傳統(tǒng)的時(shí)間序列模型對(duì)其變動(dòng)趨勢(shì)進(jìn)行解釋，很可能會(huì)導(dǎo)致模型判定偏差或預(yù)測(cè)結(jié)果和實(shí)際值間的誤差。因此研究多變量模糊時(shí)間序列具有重要的理論和實(shí)踐意義。

Song等[1，2]提出模糊時(shí)間序列的概念，并對(duì)美國(guó)阿拉巴馬州的每年招生人數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)。Chen等[3]提出聚類算法，根據(jù)對(duì)樣本數(shù)據(jù)的聚類結(jié)果確定各子區(qū)間的劃分。Emrah[4]基于聚類分析建立模糊時(shí)間序列模型，以二變量C-均值聚類模型對(duì)租船費(fèi)率做預(yù)測(cè)，以衡量模型精度的均方根誤差顯示該模型比傳統(tǒng)模糊時(shí)間序列模型優(yōu)越。Rubio等[5]根據(jù)與原始模糊邏輯關(guān)系相關(guān)的時(shí)間順序，在模糊時(shí)間序列中使用新的加權(quán)算子來(lái)提高預(yù)測(cè)精度。Avazbeigi等[6]為預(yù)測(cè)伊朗公司的汽車(chē)工業(yè)產(chǎn)量，利用禁忌搜索算法構(gòu)建了多元高階模糊時(shí)間序列模型。邱望仁等[7]基于證據(jù)理論選取開(kāi)盤(pán)價(jià)、最高價(jià)及最低價(jià)的243個(gè)日交易數(shù)據(jù)對(duì)滬市股指預(yù)測(cè)，并得出多變量模糊時(shí)間序列模型的預(yù)測(cè)精度高于單變量模型的結(jié)論。

綜上所述，目前對(duì)于模糊時(shí)間序列模型的研究主要集中在大樣本多變量或僅是單變量的的情況，但事實(shí)上大多是受多個(gè)變量影響且小樣本的情況。鑒于此，本文結(jié)合信息擴(kuò)散理論可以充分提取樣本數(shù)據(jù)的信息，彌補(bǔ)樣本不足的缺陷，構(gòu)建一個(gè)正態(tài)擴(kuò)散多變量模糊時(shí)間序列模型。

1 信息擴(kuò)散

1.1 信息擴(kuò)散基本原理

設(shè)X是給定樣本，U是論域V的一個(gè)子集。從X×U到[0，1]上的一個(gè)映射，即：

則稱X在U上的一個(gè)信息擴(kuò)散。

如果μ(x，u)是遞減的，即若，那么μ稱為一個(gè)擴(kuò)散函數(shù)，U稱為一個(gè)監(jiān)控空間。

?g∈G，假定Xg的選定監(jiān)控空間為是一個(gè)有序等距分割集合ugj所組成的集合，即為Ugj的區(qū)間長(zhǎng)度。

1.2 多變量正態(tài)擴(kuò)散函數(shù)

根據(jù)中心極限定理和大數(shù)定律，目前的經(jīng)濟(jì)行為和經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象一般近似服從正態(tài)分布，因此，本文選取正態(tài)信息擴(kuò)散函數(shù)[8]。

設(shè)?xi∈X是一個(gè)r變量向量，即且令：，為X的選定監(jiān)控空間。U中有個(gè)元素。令μ(g)為Xg在Ug上的一個(gè)擴(kuò)散函數(shù)，記作

其中，hg稱作第g個(gè)擴(kuò)散系數(shù)。

注：對(duì)于每一個(gè)Xg，都有一個(gè)正態(tài)擴(kuò)散函數(shù)的模糊集Fg與之對(duì)應(yīng)，這一過(guò)程稱為時(shí)間序列的模糊化。模糊集Fg不唯一，隨著區(qū)間長(zhǎng)度Δ與擴(kuò)散系數(shù)h的變化而變化。

1.3 正態(tài)擴(kuò)散系數(shù)確定方法

正態(tài)擴(kuò)散系數(shù)h的選擇直接影響著擴(kuò)散函數(shù)的預(yù)測(cè)結(jié)果，若h越小，則函數(shù)結(jié)果就越不穩(wěn)定；若h越大，則函數(shù)結(jié)果的分辨率就越低。因此針對(duì)小樣本而言，h的確定顯得尤為重要。目前應(yīng)用最廣泛的確定信息擴(kuò)散系數(shù)的方法有兩種：

（1）基于兩點(diǎn)擇近原則確定

（2）基于積分均方誤差（MISE）最小原則確定

其中σ為樣本觀測(cè)值的標(biāo)準(zhǔn)差。

2 多變量模糊時(shí)間序列預(yù)測(cè)模型的建立

多變量模糊時(shí)間序列模型的構(gòu)建主要步驟包括：（1）利用多變量正態(tài)信息擴(kuò)散構(gòu)造模糊信息矩陣；（2）運(yùn)用模糊集理論構(gòu)建模糊關(guān)系矩陣；（3）基于模糊近似推理方法建構(gòu)多變量模糊時(shí)間序列預(yù)測(cè)模型。

2.1 模糊信息矩陣的建立

即：

于是W在上的模糊信息矩陣為：

2.2 模糊關(guān)系矩陣的建立

依據(jù)模糊集理論，將式（7）轉(zhuǎn)化為模糊關(guān)系矩陣式（9），具體計(jì)算如下：

則模糊關(guān)系矩陣為:

2.3 多變量模糊時(shí)間序列模型的建立

利用模糊近似推理方法建構(gòu)多變量模糊時(shí)間序列預(yù)測(cè)模型：

考慮到模型的復(fù)雜度與模型精度，將“?”選為“∨-*”，則正態(tài)擴(kuò)散多變量模糊時(shí)間序列模型（NDMFTSM）：

注：（1）R隨著hx、hy和hz的變化而變化。即，只要確定了hx、hy和hz，模糊關(guān)系矩陣R也隨之確定。（2）基于正態(tài)信息擴(kuò)散方法構(gòu)建模糊關(guān)系矩陣的操作簡(jiǎn)單易行，可以避免大量復(fù)雜計(jì)算。

3 中國(guó)SO2排放量的預(yù)測(cè)

造成大氣污染的重要因素之一SO2的過(guò)量排放不僅對(duì)人們生活質(zhì)量及國(guó)家經(jīng)濟(jì)可持續(xù)發(fā)展存在著顯著的負(fù)面影響，而且SO2與能源消耗、經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)密切相關(guān)，因此本文選取度量能源消耗的能源消費(fèi)總量（TEC）、度量經(jīng)濟(jì)總量的人均GDP（PCGDP）兩個(gè)指標(biāo)來(lái)預(yù)測(cè)二氧化硫排放量（ESO2）。

3.1 數(shù)據(jù)來(lái)源及預(yù)處理

本文選取的是2006—2016年TEC、PCGDF、ESO2的時(shí)間序列數(shù)據(jù)（見(jiàn)表1），數(shù)據(jù)均來(lái)自2007—2017年《中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒》。

表1 TEC、PCGDF、ESO2的時(shí)間序列數(shù)據(jù)

為了減少分散程度和提高預(yù)測(cè)精度，將表1中數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)數(shù)預(yù)處理，即Y=ln(ESO2)，見(jiàn)表2所示：

表2 ln(T EC)、ln(P CGDF)、ln(E SO2)的時(shí)間序列數(shù)據(jù)

3.2 二氧化硫排放量的預(yù)測(cè)

3.2.1 NDMFTSM模型的預(yù)測(cè)

由表2樣本數(shù)據(jù)可得：ax=12.985，bx=12.565；代入公式（3）可得選取論域：由式（5）至式（7）計(jì)算得到模糊信息矩陣：

由式（8）及式（9）可得模糊關(guān)系矩陣：

將模糊關(guān)系矩陣R25×5和信息擴(kuò)散矩陣P，代入式（11）得到2007—2016年二氧化硫排放量的預(yù)測(cè)值F?t，見(jiàn)表3：

表3 NDMFTSMh0的預(yù)測(cè)結(jié)果

為了與馬爾可夫模型的預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行比較，利用式（12）對(duì)表3結(jié)果計(jì)算模糊集重心GCt，另外，為了更清楚地顯現(xiàn)不同模型預(yù)測(cè)結(jié)果的變化情況，進(jìn)一步對(duì)GCt進(jìn)行對(duì)數(shù)逆變換指數(shù)運(yùn)算結(jié)果見(jiàn)表4第5列。

此外，進(jìn)一步討論信息擴(kuò)散系數(shù)對(duì)模型預(yù)測(cè)精度的影響，將表2數(shù)據(jù)代入式（4）得到，再由式（5）至式（12）得到SO2排放量預(yù)測(cè)值見(jiàn)表4第6列。

表4 不同h情況下NDMFTSM對(duì)SO2排放量的預(yù)測(cè)值及誤差

由表4可知，與NDMFTSMh0相比較而言，NDMFTSMhMISE的絕對(duì)誤差較大，在2007年、2010年、2011年、2013—2016年的預(yù)測(cè)值與實(shí)際值的偏離較遠(yuǎn)。此外，表4第12行的MAE，32.741＜51.433；表4第13行的MAPE，0.016＜0.024，表明信息擴(kuò)散系數(shù)對(duì)NDMFTSM的預(yù)測(cè)精度有影響，且小樣本時(shí)，NDMFTSMh0的預(yù)測(cè)效果較好，即比較理想地反映了實(shí)際值的變動(dòng)趨勢(shì)，而NDMFTSMhMISE預(yù)測(cè)值的曲線波動(dòng)較大，如圖1所示。

圖1 不同的信息擴(kuò)散系數(shù)對(duì)模型精度的影響

3.2.2 Markov模型的預(yù)測(cè)

為了與NDMFTSM進(jìn)行比較，選取一階Markov模型[9]對(duì)2007—2016年中國(guó)二氧化硫排放量進(jìn)行預(yù)測(cè)。設(shè)只受的影響，并且選取與NDMFTSM模型相同的論域U、U′與V。則：

其中，RM為模糊馬爾可夫相關(guān)矩陣，且：

基于matlab7.0計(jì)算得到RM：

將表2數(shù)據(jù)以及RM代入式（13）得到二氧化硫排放量的預(yù)測(cè)值，具體結(jié)果見(jiàn)表5第4列。

表5 Markov對(duì)SO2排放量的預(yù)測(cè)值及誤差

3.3 結(jié)果比較分析

依據(jù)表4和表5可知，NDMFTSMh0與NDMFTSMhMISE的預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)際值的偏差均小于Markov模型，又因?yàn)?2.741＜51.433＜81.984，0.016＜0.024＜0.040，所 以 NDMFTSM的預(yù)測(cè)誤差較小，即模型精度較高，其中NDMFTSMh0的預(yù)測(cè)最優(yōu)。相對(duì)而言，NDMFTSMh0較好地反映了實(shí)際值的變動(dòng)趨勢(shì)，NDMFTSMhMISE與Markov模型在預(yù)測(cè)期初以及期末都出現(xiàn)了不同程度的偏離，曲線波動(dòng)比較大，如下頁(yè)圖2所示。主要原因在于Markov及NDMFTSM模型中的模糊關(guān)系矩陣R的建立方式不同，前者依據(jù)變量當(dāng)期及滯后一期的時(shí)間序列F(Xt)及F(Xt-1)定義的“×”運(yùn)算取得模糊關(guān)系矩陣RM，當(dāng)變量個(gè)數(shù)增加或樣本容量增大時(shí)，RM不僅可能出現(xiàn)模糊關(guān)系爆炸的現(xiàn)象，還需大量的運(yùn)算時(shí)間；而NDMFTSM模型在小樣本或信息不充分、不完備的情況下，仍可提取樣本中更多的有用信息以彌補(bǔ)樣本不足的缺陷，進(jìn)一步提高模型的精度。對(duì)所建模型值得一提的是：隨著樣本容量的增大，模糊關(guān)系矩陣的計(jì)算難度不會(huì)增加反而還提高了模型的預(yù)測(cè)精度。

圖2 實(shí)際值和NDMFTSM及Markov模型的預(yù)測(cè)結(jié)果

4 結(jié)論

本文利用正態(tài)信息擴(kuò)散技術(shù)構(gòu)建了一個(gè)多變量模糊時(shí)間序列模型，并討論h0與hMISE對(duì)NDMFTSM的影響，進(jìn)而與一階Markov模型結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析。結(jié)果表明：（1）信息不完備或小樣本問(wèn)題情況下，NDMFTSM利用正態(tài)信息擴(kuò)散技術(shù)提高了模型的預(yù)測(cè)精度；（2）h影響NDMFTSM的預(yù)測(cè)精度；小樣本時(shí)，NDMFTSMh0的預(yù)測(cè)精度更高；（3）在預(yù)測(cè)二氧化硫排放量時(shí)，NDMFTSM比Markov模型的預(yù)測(cè)效果好且計(jì)算過(guò)程方便簡(jiǎn)潔。需要指出的是，本文僅選取了兩種比較常用的信息擴(kuò)散系數(shù)的確定方法，雖然結(jié)果比較理想，但還是具有一定的局限性，下一步將對(duì)h的確定方法做深入研究。