數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)中的應(yīng)用

崔麗華

（甘肅省臨夏回民中學(xué)，甘肅 臨夏）

在函數(shù)問(wèn)題的解題過(guò)程中，通過(guò)數(shù)解形以及形助數(shù)的數(shù)形結(jié)合思想方法的運(yùn)用，達(dá)到了最佳的解題效果。數(shù)形結(jié)合不僅是一種重要的思想，同時(shí)也是解決函數(shù)數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要方法。通過(guò)數(shù)形結(jié)合思想的有效運(yùn)用，實(shí)現(xiàn)了形象圖形與數(shù)學(xué)語(yǔ)言的充分融合，在解題過(guò)程中形象圖形發(fā)揮了重要的輔助作用，能夠?qū)⒊橄蟮闹R(shí)形象化、具體化，降低了解題的難度。對(duì)于學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想意識(shí)的形成，以及其認(rèn)知結(jié)構(gòu)中根扎數(shù)形結(jié)合思想觀念，將其當(dāng)成一種運(yùn)用自如的思維工具，對(duì)函數(shù)問(wèn)題的空間想象能力不斷提升與完善有著重要的促進(jìn)作用，使學(xué)生真正達(dá)到了數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)學(xué)表達(dá)式和圖形之間的互譯，形成了良好的解題習(xí)慣。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中必須要對(duì)數(shù)形結(jié)合給予足夠的重視，并讓學(xué)生巧妙地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想對(duì)函數(shù)問(wèn)題進(jìn)行有效解答。

一、以形示數(shù)

二次函數(shù)中的概念是對(duì)某種數(shù)量關(guān)系的反映，通常采用符號(hào)或者文字的形式來(lái)表示這種數(shù)量關(guān)系。而圖形作為重要的語(yǔ)言，具有文字表述所不具有的直觀展現(xiàn)特點(diǎn)，其精練性更加突出，利用圖形的這一特點(diǎn)就可充分解釋文字語(yǔ)言，讓學(xué)生形成良好的數(shù)形結(jié)合思想，更促進(jìn)了學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解。例如：頂點(diǎn)以及最值這些二次函數(shù)中的重要概念，在教學(xué)二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）性質(zhì)時(shí)，通過(guò)圖象的形式對(duì)其進(jìn)行描述：當(dāng)a＞0時(shí)，圖像有最低點(diǎn)，則函數(shù)有最小值，即當(dāng) a＜0時(shí)，圖象有最高點(diǎn)，則函數(shù)有最大值，即通過(guò)圖象的描述，學(xué)生對(duì)圖象頂點(diǎn)坐標(biāo)知識(shí)有了更深的了解，并且將函數(shù)的最值情況進(jìn)行充分的反映，加深了學(xué)生對(duì)此類知識(shí)的理解，明白了二者之間存在的聯(lián)系。

又如例題：函數(shù)f（x）=sinx+2sinx，x∈［0，2π］的圖象與直線y=k有且僅有2個(gè)不同的交點(diǎn)，則k的取值范圍是（ ）。

分析：本題根據(jù)函數(shù)解析式，畫(huà)出圖象，可以直觀而簡(jiǎn)明地得出答案，大大地節(jié)約了時(shí)間，提高了解題的效率。

二、以數(shù)助形

在對(duì)函數(shù)問(wèn)題進(jìn)行解答的過(guò)程中，讓學(xué)生利用各種解析式對(duì)應(yīng)地將圖形示意圖畫(huà)出，并將其性質(zhì)表示出來(lái)，存在很大難度。教學(xué)實(shí)施過(guò)程中應(yīng)當(dāng)遵循循序漸進(jìn)的原則，利用示意圖來(lái)對(duì)其相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行表示，并在教學(xué)過(guò)程中反復(fù)讓學(xué)生對(duì)以前學(xué)過(guò)的二次函數(shù)的關(guān)系式、圖象和性質(zhì)等進(jìn)行有效的復(fù)習(xí)。這樣遵循循序漸進(jìn)的原則，學(xué)生在對(duì)二次函數(shù)的解析式、圖象和性質(zhì)進(jìn)行學(xué)習(xí)時(shí)，已經(jīng)具備全面與完善的知識(shí)脈絡(luò)，解題將更加順利。

如求方程lgx-sinx=0的解的個(gè)數(shù)。

分析：此方程解的個(gè)數(shù)為y=lgx的圖象與y=sinx的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。

因?yàn)閟inx≤1，lgx≤1，所以0在平面直角坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的圖像，在圖形中覓數(shù)，可直觀地看出兩曲線有3個(gè)交點(diǎn)。

三、加強(qiáng)作圖訓(xùn)練

在對(duì)函數(shù)圖進(jìn)行制作的過(guò)程中通過(guò)描點(diǎn)法進(jìn)行作圖訓(xùn)練，提高制圖的準(zhǔn)確性與熟練性，對(duì)于函數(shù)的學(xué)習(xí)將起到巨大的促進(jìn)作用，通過(guò)有效的作圖訓(xùn)練更能讓學(xué)生對(duì)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行把握。具體教學(xué)實(shí)施階段，讓學(xué)生依照函數(shù)的性質(zhì)反復(fù)地進(jìn)行函數(shù)圖的制作，避免了死記硬背對(duì)知識(shí)掌握的不牢固與不能靈活的運(yùn)用。如此一來(lái)，學(xué)生的函數(shù)作圖能力得到了進(jìn)一步加強(qiáng)，同時(shí)學(xué)生的知識(shí)記憶也越深刻。并且，學(xué)生在作圖的過(guò)程中能夠更加充分掌握函數(shù)的性質(zhì)，變枯燥繁瑣為具體形象，在函數(shù)知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，頭腦中時(shí)刻顯現(xiàn)著鮮活的圖形，使得數(shù)形結(jié)合的思想在學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中逐漸根深蒂固。

四、加強(qiáng)識(shí)圖訓(xùn)練

1.“讀懂圖”是函數(shù)學(xué)習(xí)的前提，也是建構(gòu)問(wèn)題時(shí)數(shù)形結(jié)合思想運(yùn)用的具體體現(xiàn)，在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，二次函數(shù)與圖象性質(zhì)是其中的重要內(nèi)容，同時(shí)也是其中的教學(xué)難點(diǎn)。必須要不斷地提升學(xué)生表述符號(hào)語(yǔ)言、圖像語(yǔ)言和文字語(yǔ)言的能力，通過(guò)訓(xùn)練促進(jìn)學(xué)生理解力的不斷提升，能夠很好地識(shí)別圖形、認(rèn)識(shí)圖形，利用圖形對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行解答，建構(gòu)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)能夠很好地運(yùn)用圖形及其關(guān)系式，實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的全面融合，促進(jìn)函數(shù)教學(xué)效益的不斷提升。

2.“選擇載體”在利用數(shù)形結(jié)合思想對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析與解答中起著非常關(guān)鍵的作用。通過(guò)數(shù)、形二者間橋梁關(guān)系的建立，更加充分體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想。必須要在一定的條件下對(duì)相關(guān)的載體進(jìn)行有效的選擇，靈活地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，這對(duì)全面地認(rèn)識(shí)和理解函數(shù)概念具有非常重要的意義，能夠極大地提升函數(shù)解題效果。

通過(guò)數(shù)形結(jié)合的思想對(duì)函數(shù)問(wèn)題進(jìn)行分析與解答，使學(xué)生在解題過(guò)程中形成數(shù)形結(jié)合的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣，促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)效益的不斷提升。