淺析函數(shù)與方程思想在初中數(shù)學教學中的滲透

函數(shù)與方程思想是學生學習數(shù)學知識和解決數(shù)學問題的一種重要思想，在初中數(shù)學教學中，不斷提升學生的函數(shù)與方程思想，對于培養(yǎng)學生數(shù)學知識學習能力與解決問題的能力具有積極的意義。因此，初中數(shù)學教師在展開數(shù)學教學的過程中，要有目的、有意識地將函數(shù)與方程思想滲透到課堂教學中。通過結合數(shù)學教材和教學任務，啟發(fā)學生對問題進行深度的思考，提升學生運用函數(shù)與方程思想解決問題的能力，讓函數(shù)與方程思想貫穿于學生整個數(shù)學學習過程中，以指導學生更好地學習數(shù)學。

一、立足教材，挖掘函數(shù)與方程思想的教學內容

當前的初中數(shù)學課程內容中，主要包含了數(shù)與代數(shù)、幾何、函數(shù)、統(tǒng)計與概率等知識，而其中函數(shù)與方程則占據(jù)了很大部分，是整個初中數(shù)學教學中的核心與重點。因此，教師要想將函數(shù)與方程思想有效地滲透到初中數(shù)學教學中，首先就需要從初中數(shù)學教材出發(fā)，認真研讀教材，挖掘函數(shù)與方程相關的內容，并在這些內容的教學中向學生滲透函數(shù)與方程思想。

例如，教師在對“二次函數(shù)”進行教學時，首先需要對這一知識點進行深入分析，確定學生在該知識點的學習中需要掌握的重點，即二次函數(shù)的概念。一般我們將具有這樣形式y(tǒng)=ax2+bx+c（a、b、c皆為常數(shù)，且a≠0）的式子稱為二次函數(shù)。此時，教師可以引導學生解讀這個式子的數(shù)學概念，結合以往所學過的一元二次方程的相關知識，通過對比分析，找到二次函數(shù)與一元二次方程兩者之間的聯(lián)系。教師可以在列出二次函數(shù)的一般式后，將一元二次方程的一般式“ax2+bx+c=0（a、b、c皆為常數(shù)，且a≠0）”一并列出來。引導學生通過對比分析后發(fā)現(xiàn)，當二次函數(shù)的“y=0”時，二次函數(shù)就變成了一元一次方程式。上述的教學內容很好地體現(xiàn)出了函數(shù)與方程思想，引導學生在學習二次函數(shù)的知識時，通過轉換思想，讓學生學會利用方程的知識來解決函數(shù)問題。所以，通過在數(shù)學教材中挖掘跟函數(shù)與方程相關的知識點，并對學生進行有目的的數(shù)學思想滲透，有助于優(yōu)化教學質量與提升學生的學習效果。

二、啟發(fā)思考，實現(xiàn)函數(shù)與方程思想的轉化

所謂的函數(shù)與方程思想，實際上就是借助函數(shù)模型將一些較難處理、較難解決的方程問題轉化為函數(shù)，而后運用函數(shù)知識解決方程問題；或是通過分析一些難以解決的函數(shù)問題，尋找到與之等量的關系以建立方程，利用方程的相關知識解決函數(shù)問題。所以，函數(shù)與方程思想在很大程度上體現(xiàn)了學生的邏輯思維能力和思維的靈活性。故而，在初中數(shù)學教學中，教師需要啟發(fā)學生對問題進行深度的思考，使其能夠靈活掌握并很好地運用函數(shù)與方程知識，讓學生在知識的轉化中形成函數(shù)與方程思想。

例如，在教學“二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a、b、c皆為常數(shù)，且a≠0）的圖像和性質”時，教師要想在這一節(jié)內容中向學生滲透函數(shù)與方程思想，可以通過為學生設置問題情境的方式，啟發(fā)學生進行深度的思考。比如，教師可以設置這樣一個問題，以引導學生發(fā)現(xiàn)并掌握二次函數(shù)與一元二次方程的關系。問題：二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a、b、c皆為常數(shù)，且a≠0）的圖像，與X軸交點坐標跟一元二次方程ax2+bx+c=0的解具有什么樣的一種關系？在設置這個問題時，同時還需要給予學生一點提示：要考慮到二次函數(shù)圖像與X軸相交時可能存在的幾種情況，如兩者相交沒有交點、只有一個交點或是有兩個不同的交點。此時，學生通過對教師提出的問題進行思考并結合教師所給出的提示，能夠得到以下結論：當函數(shù)y=ax2+bx+c（a、b、c皆為常數(shù)，且a≠0）與X軸并無交點時，方程ax2+bx+c=0無實數(shù)根；當函數(shù)y=ax2+bx+c圖像與X軸相交且僅有一個交點時，方程ax2+bx+c=0有兩個相等的實數(shù)根；如函數(shù)y=ax2+bx+c圖像與X軸相交存在兩個不同的交點，那么方程ax2+bx+c=0則有兩個不相等的實數(shù)根。通過設置問題啟發(fā)學生進一步思考二次函數(shù)與一元二次方程的關系，以增強學生對函數(shù)與方程思想的感知，促進數(shù)學思想的形成。

三、結合問題，增強函數(shù)與方程思想的應用體驗

在初中數(shù)學的學習中，很多數(shù)學問題甚至是生活中的問題，都需要運用函數(shù)與方程進行解決，通過建立函數(shù)、方程模型，從而將抽象的問題變得具體化，使答案顯而易見。因此，教師在向學生滲透函數(shù)與方程思想時，可以結合實際數(shù)學問題，引導學生運用函數(shù)與方程思想去解決數(shù)學問題，以增強學生應用函數(shù)與方程思想的體驗。

例如，教師在教學“一元二次方程與二次函數(shù)”的相關知識內容后，可以給學生布置這樣一道習題：已知方程x2-3x+k=0的兩個根取值范圍分別為大于1的數(shù)和小于1的數(shù)，那么請問“k”的取值范圍是？在布置這個題目后，讓學生分析二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系，利用二次函數(shù)的知識解答問題。通過教師的指導，學生的分析如下：由該方程可以知道，方程的兩個根為一個取值范圍，也就是不確定的數(shù)值，因此該方程不能夠用方程的知識進行解答。通過分析二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系，將這一方程轉化為函數(shù)問題，可以把x2-3x+k=0看為一個二次函數(shù)，方程兩個不同的根則為二次函數(shù)自變量x的值；根據(jù)函數(shù)的圖像與性質，知道這是一個圖像呈開口向上的拋物線函數(shù)，而當y=0則為這個方程的解。回頭看題目所給的已知條件“兩個根分別為大于1和小于1的實數(shù)”，故而，推斷出：當x=1時，y＜0，將x=1帶入方程，能夠得到k值小于2。通過引導學生結合實際問題，學會應用函數(shù)與方程思想解決問題，從而加深學生對這一種數(shù)學思想的體驗與理解，使其能夠更好地運用這種思想。

四、引導回顧，推進函數(shù)與方程思想的內化

學生能夠簡單、機械地記憶函數(shù)與方程思想，是這種數(shù)學思想在初中數(shù)學教學中滲透的最低層次，也是學生掌握這種思想的基礎。而只有學生在學習數(shù)學知識、解決數(shù)學問題的過程中，能夠不由自主地重構這種數(shù)學思想，使這一思想內化為學生大腦知識結構中的一部分，才能說明學生真正地掌握了這種思想。所以，在學生應用函數(shù)與方程思想解決數(shù)學問題的過程中，教師要善于引導學生對解題過程、應用過程進行回顧，通過回顧分析，理清應用數(shù)學思想解題的思路，并對解題過程中函數(shù)與方程思想的應用進行反思，使學生在應用——反思——應用的過程中，將這種數(shù)學思想內化為自身的思維方法，進而在數(shù)學學習中，能夠自覺、自然而然地應用這種思想指導學習并解決數(shù)學問題。

例如，在上文提到的“x2-3x+k=0”這一道題的解答中，教師在引導學生應用函數(shù)與方程思想解決這道數(shù)學問題后，應該及時引導學生對解題的過程進行回顧、反思。讓學生在反思中學會梳理解題思路，明確這一道題是在運用一元二次方程知識無法解決后，將其轉化為二次函數(shù)，利用函數(shù)圖像與性質解答的。教師引導學生共同對解題過程進行回顧：首先，在理解題意、分析題目后，明確該方程不能用方程知識解答；其次，通過分析二次函數(shù)與一元二次方程的關系，將方程轉化為函數(shù)；最后，借助函數(shù)的圖像與性質對方程進行解答。在這樣一個回顧、反思過程中，學生不僅對函數(shù)、方程知識進行了復習和鞏固，同時還對函數(shù)與方程思想有了進一步的理解與認識，這對于函數(shù)與方程思想的內化具有積極的作用。

函數(shù)與方程思想是初中階段的重要數(shù)學思想之一，加強在初中數(shù)學教學中函數(shù)與方程思想的滲透，能夠讓學生掌握并學會應用這一種思想，這對于促進學生數(shù)學知識水平的提升和發(fā)散思維、邏輯思維能力的培養(yǎng)，以及綜合素養(yǎng)的提升具有重要意義。