基本不等式與“對勾”函數(shù)

毛 銘

(張家口市第一中學(xué)，河北 張家口075000)

一、求最值

例1.已知a、b∈R+,a+b=4，求ab的最大值。

以上形式還可用于應(yīng)用題。

例2.用一塊長為20m的籬笆靠墻圍成一塊菜園(如圖所示)，問：長、寬各為多少m時(shí)，圍成的菜園面積最大？

解：該長為xm，0

此時(shí)S≤50

∴當(dāng)菜園長為10m，寬為5m時(shí)，菜園面積最大為50m2。

二、配湊法求最值

三、通過常值代換法求最值

解：因?yàn)榈谝幌笙薜狞c(diǎn)(a,b)在直線2x+3y-1=0上，所以2a+3b-1=0，a>0，b>0,即：2a+3b=1

四、通過消元法求最值

解:由函數(shù)f(x)=|lgx|,a>b>0，f(a)=f(b)可知

也可應(yīng)用于求一些分式型函數(shù)的值域。

解：∵x∈R,當(dāng)x=0時(shí)，f(x)=0

還可應(yīng)用于一些簡單不等式的證明。

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立。

基本不等式應(yīng)用廣泛，但求最值時(shí)一定要注意以下兩方面：

1．在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，要把握“一正二定三相等”，“一正”即各項(xiàng)都是正數(shù),“二定”即和或積為定值，“三相等”即等號(hào)能取得，這些條件缺一不可。

2．當(dāng)多次使用基本不等式時(shí)，一定要注意多次是否能保證等號(hào)成立，并且要注意等號(hào)的條件是否一致。在利用基本不等式處理問題時(shí)，列出等號(hào)成立的條件不僅是解題的必要步驟，而且也是檢驗(yàn)轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法。

若不注意等號(hào)成立條件是否滿足，容易犯錯(cuò)誤，導(dǎo)致求解結(jié)果錯(cuò)誤。

得f(x)的值域?yàn)閇2,+∞)

圖像：

我們看上例的解答：

又∵a=1 ∴f(x)在[2,+∞)上單調(diào)遞增。

總之，弄清基本不等式與“對勾”函數(shù)的關(guān)系有助于我們更靈活解題，能分清基本不等式的應(yīng)用條件，有助于理解函數(shù)的性質(zhì)。