淺談線性子空間的交與并

劉 敏

(忻州師范學院 五寨分院，山西 五寨 036200)

線性空間是高等代數(shù)里很重要的一章，線性子空間又是線性空間中一個重要概念。線性子空間中所涉及到的求W1∩W2，W1∪W2，W1+W2的基和維數(shù)是近年來高等代數(shù)和線性代數(shù)研究的主要對象。本文只對如果W1,W2是線性子空間，那么，W1∩W2，W1∪W2是否仍然是線性子空間做重要的闡述。

先給出線性子空間的定義：

設(shè)W是線性空間V的一個非空子集，P是數(shù)域，如果滿足：

(1)任取α，β∈W，都有α+β∈W成立 (W對加封閉)

(2)任取α∈W，k∈P，都有kα∈W成立 (W對數(shù)乘封閉)

則稱W是V的一個線性子空間 。

注：①證明W是線性子空間，就從W中取元素。

②取元素時要注意W中元素的性質(zhì)。

③證明W是線性子空間的充要條件W是非空，且對加和數(shù)乘封閉。

④證明W不是線性子空間只需說明W是空集，或W對加不封閉或W對數(shù)乘不封閉即可〔1〕。

1 兩個子空間之交是子空間

〔分析〕：要證明W1∩W2是線性子空間，先證明W1∩W2非空，然后從W1∩W2中任取兩個元素，證明W1∩W2對加和數(shù)乘封閉即可。

例1：設(shè)W1，W2是V的線性子空間，P是數(shù)域，證明W1∩W2是V的線性子空間。

證明：因為W1，W2是線性子空間，則0∈W1，0∈W2，所以0∈W1∩W2，所以W1∩W2非空。任取α，β∈W1∩W2，K∈P，則有α，β∈W1，且α，β∈W2。

(1)當α，β∈W1時，因為W1是線性子空間，所以α+β∈W1，Kα∈W1

(2)當α，β∈W2時，因為W2是線性子空間， 所以α+β∈W2，Kα∈W2

∴α+β∈W1∩W2，Kα∈W1∩W2。

所以W1∩W2是V的子空間。

2 兩個線性子空間之并不一定是線性子空間

〔分析〕：要證明W1∪W2不是線性子空間，只需證明W1∪W2非空,或者從W1∪W2中任取兩個元素證明對加封閉、對數(shù)乘不封閉即可〔2〕。

例2：設(shè)W1，W2是V的子空間，P是數(shù)域，證明W1∪W2不一定是V的線性子空間。

證明：(1)當W1，W2中有一個是V的平凡子空間，即W1或W2是零空間或V本身，則W1∪W2是V的子空間

(2)W1?W2或W2?W1時，即W1∪W2=W2或W1∪W2=W1

又因W1,W2都是V的線性子空間，∴W1∪W2是V的子空間

(3)W1?W2且W2?W1時(下證W1∪W2不是V的線性子空間)

假設(shè)W1∪W2是子空間，W1?W2，則總存在α∈W2，但α?W1，則α∈W1∪W2

W1?W1，則總存在β∈W1，但β?W2，則β∈W1∪W2

由假設(shè)知W1∪W2是線性子空間 ∴α+β∈W1∩W2即∴α+β∈W1或α+β∈W2

當α+β∈W2時，α∈W2，W2是線性子空間，則β=(α+β)-α∈W2與β?W2矛盾

當α+β∈W1時，β∈W1，W1是線性子空間，則α=(α+β)-β∈W1與α?W1矛盾

∴假設(shè)不成立∴W1∪W2不是V的線性子空間。

下面通過舉例來著重介紹一下為什么W1∪W2不一定是子空間。

〔反例1〕：對稱矩陣的集合與反對稱矩陣集合之并，不一定是Matn×n(P)的子空間。

證明：因為對稱矩陣和反對稱矩陣的集合都是非空的，并且對加和數(shù)乘封閉，所以它們都是線性子空間〔3〕。

設(shè)對稱矩陣的集合是子空間W1，反對稱矩陣的集合是子空間W2

任取A，B∈W1∪W2,K∈P

(1)當A∈W1，B∈W1時，此時W1∪W2是Matn×n(F)的線性子空間，這是因為W1∪W2對加和數(shù)乘封閉，即

(A+B)T=AT+BT=A+B ∴A+B∈W1，∴A+B∈W1∪W2

(KA)T=KTAT=KA ∴KA∈W1，∴KA+∈W1∪W2

(2)當A∈W2，B∈W2時，此時W1∪W2是Matn×n(F)的線性子空間，這是因為W1∪W2對加和數(shù)乘封閉，即

(A+B)T=-A-B=-(A+B) ∴A+B∈W2，∴A+B∈W1∪W2

(KA)T=KAT=-(KA) ∴KA∈W2，∴KA+∈W1∪W2

(3)當A∈W1，B∈W2時，此時W1∪W2不是Matn×n(F)的線性子空間，這是因為W1∪W2對加不封閉，即

(A+B)T=AT+BT=A-B ∴A+B?W1，A+B?W2∴A+B?W1∪W2

(4)A∈W2，B∈W1時，此時W1∪W2不是Matn×n(F)的線性子空間，這是因為W1∪W2對加不封閉，即

(A+B)T=-AT+BT=-A+B ∴A+B?W1，A+B?W2∴A+B?W1∪W2

〔反例2〕：是l1過原點的直線，l2是過原點與l1不重合的直線，則l1∪l2不是F2線性子空間。

證明：因為l1,l2是過原點的直線，所以它們都是F2的平凡子空間。

任取α∈l1，β∈l2，則α，β這兩向量或者在直線l1上，或者在直線l2上。

也就是任取α，β∈l1∪l2，設(shè)α+β=γ，

由平行四邊形法則知，γ既不在直l1線，也不在直線l2上 ∴α+β?l1∪l2

所以l1∪l2不是F2的子空間。

特別地：l1可取x軸，l2可取y軸。

〔反例3〕：V1={(x,y,0)|x,y∈P},V2={(0,y,z)|y,z∈P}，但V1∪V2不是F3子空間。 證明：因為0∈V1,0∈V2所以，V1,V2非空,

又因V1,V2對加和數(shù)乘封閉， 所以V1,V2是F3線隆子空間。

任取α=(1，1，0)∈V1，β=(0，1，1)∈V2

則α，β要么屬于V1，要么屬于V2， 即α，β∈V1∪V2。

也就是任取α，β∈V1∪V2，

但α+β=(1，2，1)?V1，且α+β=(1，2，1)?V2，即α+β既不屬于V1，也不屬于V2，

∴α+β=(1，2，1)?V1∪V2, 所以V1∪V2對加不封閉.

所以V1∪V2不是F3子空間。

〔1〕李師證.高等代數(shù)解題方法和與技巧〔M〕. 北京：高等教育出版社. 2004.

〔2〕毛綱源.經(jīng)濟數(shù)學解題方法技巧歸納 (第二版)〔M〕.武漢:華中科技大學出版社. 2000 .

〔3〕唐忠明，戴桂生.高等代數(shù)〔M〕. 南京: 南京大學出版社. 2000.