在數(shù)學活動中滲透分類思想的價值與策略

數(shù)學思想是人類對數(shù)學及其研究對象，對數(shù)學知識以及數(shù)學方法的本質(zhì)性的認識，是在數(shù)學的發(fā)展史上形成和發(fā)展的。它與具體的知識技能相比，具有潛隱性，如“分類”“一一對應”“轉(zhuǎn)化”“模型化”一些基本的數(shù)學思想方法貫穿于整個小學數(shù)學教學中，卻并未作為一個知識點專門教學，而是隱藏在學生的認知活動中，逐步滲透，直至學生感悟并能自覺運用。史寧中教授指出，在認識圖形的教學中，重要的是讓學生學會對圖形分類。本文以“圖形的認識”教學為例，探討如何在數(shù)學活動中深化學生的分類思想，感悟數(shù)學的理性思維。

一、數(shù)學活動中分類的價值

數(shù)學中的分類思想是指根據(jù)數(shù)學對象本質(zhì)屬性的相同點與不同點，將其分成不同種類的數(shù)學思想，是根據(jù)一定標準，對事物進行有序劃分和組織的過程。分類，作為一種基本的數(shù)學思想或數(shù)學思維方法，在數(shù)學活動中對促進學生思維發(fā)展、認知發(fā)展、提升數(shù)學素養(yǎng)有著重要的作用。同時，分類也可被看成一種基本的數(shù)學活動。

1.提供數(shù)學化的基礎。弗賴登塔爾認為，學生的學習活動，與其說是學習數(shù)學，倒不如說是學習“數(shù)學化”。數(shù)學化分為水平數(shù)學化和垂直數(shù)學化兩個層次。水平數(shù)學化是指由現(xiàn)實問題到數(shù)學問題的轉(zhuǎn)化，是從“生活”到“符號”的轉(zhuǎn)化。垂直數(shù)學化是從具體問題到抽象概念的轉(zhuǎn)化，是從“符號”到“概念”的轉(zhuǎn)化。分類活動中，需要學生對研究事物進行分析、比較，關注相同點與不同點，抽象出事物的一般特點與本質(zhì)屬性，建立概念。分類，作為數(shù)學化的前奏，為學生順利進行數(shù)學化提供了必要的研究基礎。

2.簡化思維的可能路徑。分類具有明確的目的性，一是歸類，二是區(qū)分類別，建立清晰的序。面對復雜的事物和現(xiàn)象時，歸類與區(qū)分類別都可以梳理復雜的現(xiàn)象，有序、有層次地呈現(xiàn)多種可能路徑，簡化問題的解決路徑，突出關鍵要素，讓學生在可能路徑中有條理地確定思路、優(yōu)化思路，逐漸推進問題的解決，接近概念的本質(zhì)。

3.豐富學生的組織策略。組織策略是整合所學新知識之間、新舊知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，形成新的知識結(jié)構(gòu)的策略。在學習分類的過程中，學生可以逐步清晰概念的外延與內(nèi)涵，也可以應用分類整理已有的知識網(wǎng)絡，深度加工已有經(jīng)驗，完善已有認知結(jié)構(gòu)。更為重要的是，學生可以將分類的方法遷移到其他學科的學習中去，潛移默化中受分類思想的影響，運用分類學習或解決生活中其他類似的問題。分類的經(jīng)歷，幫助學生豐富問題解決的組織策略，助推學生能力的增強。

二、數(shù)學活動中滲透分類思想的策略

1.分類探索新知，緊扣標準。在小學一年級會單獨安排課時教學分類，要求學生掌握分類時做到不重復不遺漏，理解不同的分類標準分得的結(jié)果會不相同。在后續(xù)的學習中，分類依然存在于各種活動中，但分類標準逐漸淡化。如《三角形的分類》教學中，教師會出示多種三角形（如圖1）讓學生分類，并填入設計好的表格中，然后觀察角的特點，形成共識：①和⑥一類，②和④一類，③和⑤一類，因為①和⑥都有一個直角，②和④都有三個銳角，③和⑤都有一個鈍角。在此基礎上，教師進行總結(jié)，像①和⑥這樣的三角形叫作直角三角形，像②和④這樣的三角形叫作銳角三角形，像③和⑤這樣的三角形叫作鈍角三角形。再觀察所填表格中銳角的個數(shù)，確定每個三角形至少有兩個銳角。

圖1

這是《三角形的分類》教學中常見的設計，學生對三角形內(nèi)角的情況進行記錄再分類，過程中學生并不清晰分類標準是什么。教師需要引導學生觀察表格，在都有銳角的情況下還有什么不同，確定最大角為分類的標準。當清晰分類的標準與最大角有關時，三角形中至少有兩個銳角就容易理解了，無需記憶和分辨。緊扣標準進行分類，不僅可以全面地考慮問題，也可深入理解概念的本質(zhì)。分類是活動中的一部分，緊扣分類標準，可以幫助學生逐漸學會制定分類標準，并遵循標準分類，聚焦關鍵問題，做到不重復、不遺漏，形成清晰的認知結(jié)構(gòu)。

2.分類解決問題，遷移經(jīng)驗。遷移是指一種學習對另一種學習的影響，或習得的經(jīng)驗對完成其他活動的影響。數(shù)學學習具有螺旋上升的特點，其中蘊含著如何發(fā)揮分類經(jīng)驗的遷移。首先，關注分類經(jīng)驗的積累。教學中，學生的分類訓練可以從質(zhì)性分類逐步走向量性分類、從局部找不同到整體分類，不同層次要求的分類可以幫助學生拓展分類的角度，獲取分類的經(jīng)驗。如在一年級圖形的認識中，可以讓學生找出圖2中哪個圖形與其他三種不一樣，找的過程就是訓練學生分析圖形特征的過程。其次，關注橫向遷移和縱向遷移。橫向遷移指先行學習內(nèi)容與后繼學習內(nèi)容在難度、復雜程度和概括層次上屬于同一水平的學習活動之間產(chǎn)生的影響?？v向遷移指先行學習內(nèi)容與后續(xù)學習內(nèi)容是不同水平的學習活動之間產(chǎn)生的影響。在圖形的認識中，有些分類的教學是相通的。如在研究長方形和正方形的特征后，引導學生分析正方形具有長方形所有的特征，所以正方形是特殊的長方形。在學習長方體和正方體時，可以將已有的分類經(jīng)驗進行遷移，正方體具有長方體所有的特征，正方體是特殊的長方體。

圖2

分類思想的滲透，分類經(jīng)驗的遷移可以幫助學生理清數(shù)學問題，概括并總結(jié)有規(guī)律性的數(shù)學問題，尋求解題的策略，提高學生數(shù)學思維的條理性。

3.分類表達關系，重視多元。數(shù)學是研究關系的一門學科，分類表達關系，可以幫助學生形成良好的認知結(jié)構(gòu)，接近數(shù)學的本質(zhì)。表達關系有多種形式，一般有表格式（圖3）、樹狀式（圖4）、韋恩圖（圖5）；表格式一般將圖形特征進行對比，描述具體，對比鮮明；樹狀式一般表示圖形之間的層次關系；韋恩圖一般表示集合和圖形關系。在實際運用中，只需根據(jù)學生理解的需要進行選擇。

圖3 線的分類

圖4 位置關系的分類

圖5 三角形的分類

在分類表達關系時，教師要保持開放的心態(tài)，鼓勵學生用多種方式自主表達，展現(xiàn)其對圖形本質(zhì)的理解。

4.分類整理知識，優(yōu)化思路。在“圖形的認識”教學中，學生需根據(jù)圖形的特征或相互間的關系進行分類整理，借助比較、對比、舉例等方法來突出圖形間的聯(lián)系與區(qū)別。如立體圖形可以按面是否是曲面進行分類，長方體與正方體為一類，圓柱與圓錐為一類；也可以按是否是直柱體分類，長方體、正方體和圓柱為一類，圓錐為一類。兩種分類都可以開展研究，但從知識的化歸角度分析，按是否是直柱體分類，研究圖形體積的計算公式時，可以發(fā)現(xiàn)側(cè)面積的計算公式是相通的，也可以歸納出直柱體的體積計算公式，底面積乘高等于體積，從而利于呈現(xiàn)數(shù)學內(nèi)部的和諧。

數(shù)學知識是一個有機整體，各個知識點之間存在包含、并列等關系，復習時可以將平時所學的孤立的、分散的知識作橫向、縱向或不同角度的分類，進行有序的整理，使其系統(tǒng)化，連成片，結(jié)成網(wǎng)，以便學生理解、記憶和應用。教師應引導學生按一定的標準把有關知識進行整理、分類、綜合，并針對學生的整理情況，幫助學生優(yōu)化分類的思路，完善知識結(jié)構(gòu)，形成知識網(wǎng)絡。

分類作為數(shù)學思想方法，其在教學中的運用還需遵循滲透性、反復性、明確性和實踐性的教學原理。分類的價值需在學生親歷的活動中體悟，讓學生進行實踐、探索，積累分類的經(jīng)驗，感悟分類的需要，形成對分類的個體感悟，領悟分類思想的價值所在，逐漸形成面對問題時能自覺分類的意識。