新的三維混沌動力系統(tǒng)及數(shù)字圖像加密方法

孫廣明 黃金杰 張宇

摘?要：針對數(shù)字圖像的信息安全問題，提出了一個新的三維自治混沌系統(tǒng)，通過對其基本動力學特性的幾個方面進行深入研究并仿真，證實該系統(tǒng)具有混沌特征。并基于該混沌系統(tǒng)，建立一種新的數(shù)字圖像加密方法，并給出仿真分析，實驗結果證明使用該方法加密的圖像對于多種密文攻擊方式具有較好的抵抗能力。

關鍵詞：混沌;混沌同步;混沌吸引子;自治系統(tǒng)

DOI：10.15938/j.jhust.2018.06.019

中圖分類號： TP309.7

文獻標志碼： A

文章編號： 1007-2683（2018）06-0105-05

Abstract：Aiming at the problem of information security of digital image?this paper proposes a new three-dimensional autonomous chaotic system?in-depth research and Simulation on its dynamic characteristics through several basic aspects?confirmed that the system has the feature of chaos.?Based on the chaotic system?the establishment of a new digital image encryption method?and the simulation analysis?experimental results show that the image encryption using the method has good ability to resist various attacks for the cipher text.

Keywords：chaos; chaos synchronization; chaotic attractor; autonomous system

0?引?言

混沌現(xiàn)象是確定性系統(tǒng)中的一種運動軌跡貌似隨機的現(xiàn)象，是非線性動力系統(tǒng)的一種特有的運動形式，廣泛存在于自然科學的各個領域。Lorenz發(fā)現(xiàn)第一個混沌系統(tǒng)[1]以來，各國學者不斷的研究、發(fā)現(xiàn)新的混沌系統(tǒng)。陳關榮在研究Lorenz混沌反控制過程中，發(fā)現(xiàn)“Chen混沌系統(tǒng)”[2-3]，呂金虎等人發(fā)現(xiàn)“L混沌系統(tǒng)”[4]。隨著研究的深入人們不斷發(fā)現(xiàn)新的混沌系統(tǒng)[5-7]。近年來，混沌與應用學科的研究的開展，由形成新的研究方向，圖像混沌加密[8-11]成為混沌與應用學科的交叉熱點之一。文[10]研究了基于可 Markov 分割混沌系統(tǒng)的圖像加密算法，通過控制混沌系統(tǒng)的參數(shù)，設計了一個混沌密鑰流發(fā)生器;通過選擇不同群中的加法混合運算，兩輪迭代完成了圖像加密過程。文[11]針對當前的一類具有置亂—擴散結構的混沌圖像加密算法存在的缺陷問題，設計了一種能抵抗選擇明（密）文攻擊的混沌圖像加密算法。文[12]提出一種基于超混沌系統(tǒng)優(yōu)化序列并結合密文交錯擴散的并行圖像加密方法。對超混沌序列改造產生與明文相關的密鑰序列，圖像被分成兩個子塊，以并行方式對子塊進行兩輪像素加密，并引入密文交錯擴散技術，完成圖像加密。

本文提出了一種新的三維自治混沌系統(tǒng)，對新的混沌系統(tǒng)進行了動力學分析和數(shù)值仿真，研究了該混沌系統(tǒng)平衡點的穩(wěn)定性，Lyapunov指數(shù)和Lyapunov維數(shù)，以及時間域分析等。同時，對該混沌系統(tǒng)進行了應用型圖像加密研究，構建了基于該混沌系統(tǒng)的數(shù)字圖像加密方法，并給出了相關實驗及分析。

1?新的三維自治混沌系統(tǒng)系統(tǒng)模型

新的三維自治混沌系統(tǒng)的數(shù)學模型描述為：

系統(tǒng)（1）的動力學軌跡如圖1所示。

2?新混沌系統(tǒng)基本動力學特征分析

2.1?耗散性和混沌吸引子的存在分析

由于散度

2.2?系統(tǒng)平衡點的穩(wěn)定性

考慮如下方程組：

同理，P1、P2均為不穩(wěn)定鞍焦點。綜上，系統(tǒng)（1）的3個平衡點均為不穩(wěn)定平衡點，所以系統(tǒng)（1）可能為混沌。

2.3?Lyapunov指數(shù)和Lyapunov維數(shù)

圖2為系統(tǒng)（1）的Lyapunov指數(shù)譜曲線，系統(tǒng)（1）的Lyapunov指數(shù)隨著時間的變化逐漸趨于平穩(wěn)。其中λ1>0，λ2>0，λ3<0，說明系統(tǒng)（1）為混沌系統(tǒng)，且存在吸引子為奇異吸引子。

3?混沌系統(tǒng)的數(shù)字圖像加密研究

混沌系統(tǒng)（1），對于給定一組初始值，隨著時間的增量，演化產生x、y、z三個軸向的無序實數(shù)序列。對于原始的混沌系統(tǒng)并不能直接用于密碼系統(tǒng)，進行混沌系統(tǒng)離散化后，產生離散化混沌序列，可應用于密碼系統(tǒng)。

3.1?圖像加密實現(xiàn)

根據(jù)數(shù)字圖像像素的特點，采用像素替換和全局位置變換交替使用的方式來實現(xiàn)數(shù)字圖像的加密。

3.1.1?像素替代

假定存在大小為M×N的數(shù)字圖像I（M為數(shù)字圖像的像素行數(shù)，N為數(shù)字圖像的像素列數(shù)），令L（i，j）表示數(shù)字圖像（i，j）坐標處的圖像像素值。

解密步驟：

3.1.2?全局位置變換

考慮數(shù)字圖像的特點，相鄰像素具有相關性，采用調整原有數(shù)字圖像的像素的位置，以打破原有圖像的元素相關性。

解密步驟：

由于全局位置變換過程可逆，全局位置變換后圖像B，按全局位置變換的逆過程即可恢復源圖像I。

4?試驗結果及算法性能分析

選取尺寸大小為256*256圖像進行試驗，選取像素映射加密初始密鑰：[x（0），y（0），z（0）]=[1，1，1]，U=10，V=20，W=20。采用先像素映射加密后位置變換形式為一輪加密，實驗結果如圖3所示。從試驗結果看，密文圖像完全掩蓋了原圖的內容，難以分辨源圖像所含的信息內容，達到了數(shù)字圖像加密的目的。該算法可多次使用，并無周期性。

4.1?統(tǒng)計特性分析

圖3（e）和4（f）分別為原始圖像和密文圖像的直方圖。密文圖像的直方圖呈均勻分布，完全掩蓋了源圖像的像素分布，打破了明文圖像的統(tǒng)計特性完全被打破，降低了明文與密文的相關性，隱藏了圖像的統(tǒng)計特性

4.2?密鑰敏感性分析

由于混沌系統(tǒng)對于初始參數(shù)具有敏感特性，本文方法由混沌系統(tǒng)數(shù)字化而來，所以對初始狀態(tài)的變化具有敏感性，及時初始密鑰很小的變化，得到的解密圖像也是錯誤的。試驗結果如圖5所示。即使密鑰增加0.000 000 000 000 001，得到的解密結果也是錯誤的。

4.3?抗干擾測試

本文圖像加密算法較好的抗干擾性能，由于圖像傳輸過程中可能引起的圖像損失，使得圖像數(shù)據(jù)引起一定的失真，本文算法均能正確解密，恢復原圖像。圖（5-d）為加密圖像受到隨機噪聲污染后加密圖像恢復的圖像，從實驗結果看，本文算法具有較好的抗干擾效果。

5?結?語

本文提出了一種新的三維自治混沌系統(tǒng)，并對此新的三維自治混沌系統(tǒng)的基本動力學特性進行了研究，分析了新混沌系統(tǒng)的吸引子，平衡點的穩(wěn)定性，指出該系統(tǒng)具有三個不穩(wěn)定的平衡點，對提出的新的三維自治混沌系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)和Lyapunov維數(shù)等進行了仿真。通過理論分析，驗證了系統(tǒng)的混沌性質。同時對該混沌系統(tǒng)離散化，進行了數(shù)字圖像加密的應用性研究，提出了一種基于該混沌系統(tǒng)的數(shù)字圖像加密算法，并給與了仿真及分析。

參 考 文 獻：

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（編輯：王?萍）