“數(shù)形結(jié)合”巧解題

楊泓軒

上課遇到數(shù)形結(jié)合的問題時，老師經(jīng)常會提到著名數(shù)學(xué)家華羅庚的名言，“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微.數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”.下面一道選擇題，我就是用先“形”后“數(shù)”來解決的.具體如下：

三角形的三條外角角平分線所在直線相交構(gòu)成的三角形（ ）.

A.一定是銳角三角形

B.一定是鈍角三角形

C.一定是直角三角形

D.無法確定

這類題目如果出現(xiàn)在考試卷上，一般都會放在選擇題的最后兩個題目中.這題沒有圖形，大多數(shù)人在考試時都會敗下陣來.有些同學(xué)可能確實不會，而有些同學(xué)可能有能力解決，但沒有畫圖的意識，往往成了解題的障礙！乍一看，題目確實無從下手.考試時，我遇到這道題也是這樣的感覺，但我沒放棄，而是結(jié)合題目的要求，在草稿紙上涂涂畫畫，一涂一畫，這道題的答案就慢慢清晰了，顯然，如圖1，△DEF應(yīng)該是銳角三角形，選答案A.

僅有一個圖形不嚴(yán)謹(jǐn)，因為從“角度”來說，可以將三角形分為三類.于是，我又畫出了直角三角形（如圖2）與鈍角三角形（如圖3）的情況.發(fā)現(xiàn)最后的三角形都是銳角三角形.也就是說，不論原△ABC是何種三角形，最后的△DEF都是銳角三角形.

圖形非常直觀，但僅有直觀的結(jié)論是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，還需要證明.可以從“數(shù)”的角度進(jìn)行證明，設(shè)∠BAC、∠ABC、∠BCA的度數(shù)分別為x、y、z，則∠DAB=[12]（y+z），∠DBA=[12]（x+z），所以∠D=180°-[12]（y+z）-[12]（x+z）=90°-[12z]<90°.同樣的道理，∠E=90°-[12y]<90°，∠F=90°-[12x]<90°.從而，得到△DEF是銳角三角形.

這道題發(fā)現(xiàn)結(jié)論、證明結(jié)論的過程充分體現(xiàn)了“數(shù)形結(jié)合”的好處.圖形的直觀幫我們找到答案與思路，但嚴(yán)謹(jǐn)性還需要結(jié)合圖形，運(yùn)用“數(shù)”來完成.