例談三角函數(shù)值域（最值）的幾種求法

李春燕

【摘要】有關(guān)三角函數(shù)的值域（最值）的問題是各級各類考試考查的熱點之一，這類問題的解決涉及化歸、轉(zhuǎn)換、類比等重要的數(shù)學(xué)思想，采取的數(shù)學(xué)方法包括易元變換、問題轉(zhuǎn)換、等價化歸等常用方法.掌握這類問題的解法，不僅能加強知識的縱橫聯(lián)系，鞏固基礎(chǔ)知識和基本技能，還能提高數(shù)學(xué)思維能力和運算能力.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；三角函數(shù)的值域；幾種求法

一、合理轉(zhuǎn)化，利用有界性求值域

例1求函數(shù)的值域：

y=1+sinxcosx.

解析（1）根據(jù)|sinxcosx|≤12|sin2x|≤12，

可知：12≤y≤32.

二、單調(diào)性開路，定義回歸

例2求函數(shù)的值域：

y=cos（sinx）.

解析（2）由-1≤sinx≤1，

有cos1≤cos（sinx）≤1，∴cos1≤cos（sinx）≤1.

三、抓住結(jié)構(gòu)特征，巧用均值不等式

例3若0

解析由00，根據(jù)均值不等式：

f（x）=9xsinx+4xsinx≥29xsinx4xsinx=12.

當(dāng)9xsinx=4xsinx，即x2sin2x=49時，f（x）min=12.

例4已知sinβsinα=cos（α+β），其中α、β為銳角，求tanβ的最大值.

解析由sinβ=sin[（α+β）-α]=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα=sinαcos（α+β），

即sin（α+β）cosα=2sinαcos（α+β），

有tan（α+β）=2tanα.

于是：tanβ=tan[（α+β）-α]=tan（α+β）-tanα1+tanαtan（α+β）=tanα1+2tan2α=11tanα+2tanα≤24.

當(dāng)1tanα=2tanα即tan2α=12時，有（tanβ）max=24.

四、易元變換，整體思想求解

例5求函數(shù)y=sinx+cosx+sinxcosx的值域.

解法一設(shè)sinx+cosx=t，

則t=2sinx+π4∈[-2，2]，sinxcosx=t2-12，

∴y=t+t2-12=12（t+1）2-1，t∈[-2，2].

故當(dāng)t=2時，有ymax=2+12.

解法二構(gòu)造對偶式轉(zhuǎn)化為某一變量的二次函數(shù)在閉區(qū)間內(nèi)求最大值

設(shè)sinx=m+n，cosx=m-n，

則sinx+cosx=2m，sinxcosx=m2-n2.

由sin2x+cos2x=1，得m2+n2=12，m∈-22，22，

∴y=sinx+cosx+sinxcosx=2m+m2-n2=2m2+2m-12，m∈-22，22，

故當(dāng)m=22時，有ymax=12+2.

五、方程架橋，問題轉(zhuǎn)化

例6求函數(shù)y=（1+sinx）（3+sinx）2+sinx的最大值、最小值.

解析將問題轉(zhuǎn)化為求一元二次方程在閉區(qū)間上有解的充要條件：

原函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為：sin2x+（4-y）sinx+3-2y=0.

令t=sinx，則|t|≤1，

∴t2+（4-y）t+3-2y=0在[-1，1]上有解，故有：

Δ=（4-y）2-4（3-2y）≥0，

-1≤-4-y2≤1，

f（-1）≥0，f（1）≥0 或f（-1）f（1）≤0，

解得2≤y≤52.

六、運用模型、數(shù)形結(jié)合

例7求函數(shù)y=2-sinx2-cosx的值域.

解析函數(shù)的值域可看作求過點P（2，2）的單位圓的切線的斜率k的最大、最小值.

設(shè)切線PA的方程為：y-2=k（x-2），

即kx-y-2k+2=0.

設(shè)原點到切線的距離d，則d=1，

即d=|2k-2|1+k2=1，即3k2-8k+3=0，解得k=4±73，

故所求函數(shù)的值域為：4-73，4+73.