“函數(shù)的極值”的教學(xué)案例反思

連超先

摘要：本文探究了“函數(shù)的極值”的教學(xué)案例反思，希望能給我們的數(shù)學(xué)教學(xué)帶來幫助。

關(guān)鍵詞：“函數(shù)的極值”；教學(xué)案例；反思

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1992-7711（2017）09-0123

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是其他知識的工具，函數(shù)貫穿于高中數(shù)學(xué)的始終，函數(shù)的極值是高考的熱門考點(diǎn)之一。

案例描述及分析：

課前準(zhǔn)備：備課內(nèi)容，教學(xué)素材，導(dǎo)學(xué)案或者課件等。

要求學(xué)生結(jié)合以下問題閱讀課本完成預(yù)習(xí)：1. 極大（?。┲凳欠駷榻o定區(qū)間內(nèi)的最大（?。┲担?. 極值點(diǎn)是函數(shù)定義域內(nèi)的點(diǎn)，函數(shù)定義域內(nèi)的端點(diǎn)可否為極值點(diǎn)？3. 在定義域區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)有極值點(diǎn)嗎？4. 極大值一定大于極小值嗎？5. 在給定的區(qū)間內(nèi)是否一定有極值點(diǎn)？若有，它的分布有規(guī)律嗎？唯一嗎？6. “極值點(diǎn)一定使導(dǎo)數(shù)為0，導(dǎo)數(shù)為0點(diǎn)一定是極值點(diǎn)”，對嗎？7. 可導(dǎo)函數(shù)y=f（x）在x=x0處取得極值的充要條件是什么？

課堂中：按照既定的教學(xué)流程或?qū)W(xué)案講解，解決預(yù)習(xí)時(shí)留給的問題

問題的解答及反思：根據(jù)課本給出的概念，預(yù)習(xí)預(yù)留問題的答案，基本按照課本概念回答完成。

問題1：極大值是否為給定區(qū)間內(nèi)的最大值？極小值是否為給定區(qū)間的最小值？

學(xué)生回答：不一定是。

反思：大部分的學(xué)生都能給出正確答案，還有個(gè)別同學(xué)也提出了一些問題。后期反思這個(gè)問題的設(shè)計(jì)，筆者認(rèn)為這個(gè)問題的設(shè)計(jì)有兩點(diǎn)不足：（1）問題設(shè)計(jì)的不夠嚴(yán)謹(jǐn)，要說明給定的是閉區(qū)間還是開區(qū)間。（2）這個(gè)問題出現(xiàn)的過早，更適合留在下一節(jié)函數(shù)的最值中提問，學(xué)生雖然初中有接觸，但沒有系統(tǒng)的學(xué)習(xí)過最值，所以介紹完最值的概念再回答這個(gè)問題可有對比性，學(xué)生更能區(qū)分兩者，加深對極值概念的理解。

問題2：極值點(diǎn)是函數(shù)定義域內(nèi)的點(diǎn)，函數(shù)定義域內(nèi)的端點(diǎn)可否為極值點(diǎn)？

學(xué)生回答這個(gè)問題稍有些困難。引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用概念進(jìn)行判斷。

問題3：在定義域區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)有極值點(diǎn)嗎？

學(xué)生回答：沒有。

反思：這個(gè)問題設(shè)計(jì)的位置不是很好，問題不夠嚴(yán)密。

問題4：極大值一定大于極小值嗎？

學(xué)生的回答不統(tǒng)一。課上請回答正確的同學(xué)講解，他們借助課本上給出的圖象進(jìn)行分析講解。

反思：每個(gè)學(xué)生閱讀課本的效果是不一樣的，這樣的話，老師可以在學(xué)案上有階梯性、針對性的對學(xué)生進(jìn)行提問，如可將其改為：一個(gè)函數(shù)的極大值一定大于極小值嗎？請畫圖說明。這樣可以使不同層次的學(xué)生從不同的途徑探究問題。

問題5：在給定的區(qū)間內(nèi)是否一定有極值點(diǎn)？若有，它的分布有規(guī)律嗎？唯一嗎？

學(xué)生可以根據(jù)上幾個(gè)問題的答案及圖像很容易找出問題的答案。

反思：這個(gè)問題學(xué)生回答的特別輕松，有的學(xué)生表情反映出他認(rèn)為該問題太簡單。這個(gè)問題的前半部分與問題3有重復(fù)的部分，后半部分問題可以在問題4所做出的圖象中當(dāng)堂提問，不必再寫在導(dǎo)學(xué)案中。問題的設(shè)計(jì)要精煉，盡量不要重復(fù)，做無用功，雖然是課前預(yù)習(xí)，但課上也要與學(xué)生共同整理答案，時(shí)間是寶貴的。

問題6：“極值點(diǎn)一定使導(dǎo)數(shù)為0，導(dǎo)數(shù)為0點(diǎn)一定是極值點(diǎn)”，對嗎？

學(xué)生回答的效果不是很好，有很多同學(xué)只能判斷出前一部分。

反思：一部分學(xué)生在運(yùn)用導(dǎo)學(xué)案時(shí)，像這樣的問題只會(huì)考慮從概念中找，但是這個(gè)問題可以和例題相結(jié)合，在應(yīng)用中進(jìn)行判斷也是很好的。所以，這個(gè)問題也可以提示學(xué)生在做例題時(shí)找尋答案。例1變式就可以解決這樣的問題。

問題7：可導(dǎo)函數(shù)y=f（x）在x=x0在處取得極值的充要條件是什么？

學(xué)生在上一個(gè)題目的基礎(chǔ)上回答得較好，課堂上提示學(xué)生求極值點(diǎn)及極值時(shí)要多想想這句話。

根據(jù)學(xué)生回答，我們將問題總結(jié)、探究講解，如下：

<問題探究一>：閱讀課本P26-P27，通過思考下列問題進(jìn)一步加深對極值概念的理解。

1. 在高中知識的基礎(chǔ)上，閱讀了極值點(diǎn)、極值的探究過程，你認(rèn)為極值點(diǎn)在函數(shù)中起到一個(gè)什么樣的作用？在定義域內(nèi)單調(diào)函數(shù)是否有極值點(diǎn)？

2. 一個(gè)函數(shù)是否一定有極值？若有，則極大值和極小值是否唯一？

3. 一個(gè)函數(shù)的極大值是否一定大于極小值？請畫圖說明。若無法判斷，請參考課本P27圖1.3-11解答。

4. 函數(shù)的極值點(diǎn)是否會(huì)出現(xiàn)在區(qū)間的端點(diǎn)處？

<知識點(diǎn)一>：函數(shù)極值的定義

已知函數(shù)y=f（x），其導(dǎo)函數(shù)為y=f ′（x）。

1. 若f ′（a）=0且在x=a附近左側(cè)f ′（a）>0，右側(cè)f ′（a）<0，則點(diǎn)a是函數(shù)y=f（x）的 ，f （a）叫做函數(shù)y=f（x）的 。

2. 若f ′（b）=0且x=b在附近左側(cè) ，右側(cè) ，則點(diǎn)b是y=f（x）函數(shù)的極小值點(diǎn)，f （b）叫做函數(shù)y=f（x）的 。

3. 極小值點(diǎn)、極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為 ， 統(tǒng)稱為極值。

<問題探究二>：

1. “極值點(diǎn)一定是導(dǎo)數(shù)為0，導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)一定是極值點(diǎn)?！睂幔?/p>

2. 可導(dǎo)函數(shù)y=f（x）在x=x0處取得極值的充要條件是什么？

<知識點(diǎn)二>：求函數(shù)極值的步驟（閱讀課本例題后完成）

（1）已知函數(shù)y=f（x），其導(dǎo)函數(shù)為y=f ′（x）。

（2）確定函數(shù)的定義域，求出函數(shù)y=f（x）的 ；

（3）求解方程 的根（注：在定義域內(nèi)）；

（4）分析f ′（x）在方程 的每一個(gè)解x0兩側(cè)的符號（或者f（x）在x0兩側(cè)的單調(diào)性），確定極值點(diǎn)，并求出極值。

①若f ′（x）在x0兩側(cè)符號為 ，x0為極大值點(diǎn)；endprint

②若f ′（x）在x0兩側(cè)符號為 ，x0為極小值點(diǎn)；

③若f ′（x）在x0兩側(cè)符號相同， 。

學(xué)習(xí)小結(jié)：

課堂上處理這部分是在問題解決完后統(tǒng)一和學(xué)生對了一下答案，但感覺有些內(nèi)容和前面有重復(fù)，而且認(rèn)真閱讀課本的同學(xué)都不難在課本上找見，但從后面例題完成情況來看，還是有同學(xué)出現(xiàn)了問題，說明只是把課本的內(nèi)容摘抄了下來，但是并沒有真正的理解消化，尤其是<知識點(diǎn)二>的內(nèi)容。

反思：這部分內(nèi)容可以結(jié)合它的難易度安排順序，可在前面思考問題中穿插進(jìn)去這樣也可以節(jié)省時(shí)間，銜接的很好，也不會(huì)覺得講解知識時(shí)重復(fù)。<知識點(diǎn)二>可以放在處理完題型一后讓學(xué)生來根據(jù)求解過程進(jìn)行總結(jié)，這樣就不會(huì)純粹的抄課本。修改如上所給出內(nèi)容。

【典例分析】：

題型一：利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的極值

下圖是導(dǎo)函數(shù)y=f ′（x）的圖像，試找出函數(shù)y=f（x）的極值點(diǎn)，并指出哪些是極大值點(diǎn)，哪些是極小值點(diǎn)。

[指導(dǎo)分析]：根據(jù)極值點(diǎn)的概念進(jìn)行判斷。

[完成后思考]：極值點(diǎn)的分布有怎樣的規(guī)律？

例1. 求函數(shù)f（x）=x4-4x3+1的極值.

[指導(dǎo)分析]：根據(jù)求極值的步驟求函數(shù)的極值，注意使導(dǎo)數(shù)為0點(diǎn)是否一定是極值點(diǎn)。

練習(xí)：已知函數(shù)f（x）=■+lnx，求f（x）的極值.

題型二：函數(shù)極值應(yīng)用的逆向問題

[探究]：若已知函數(shù)的極值，如何求解函數(shù)中參數(shù)的值？

例1. 已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+a2.在x=1時(shí)有極值10. 求a，b的值.

[指導(dǎo)分析]：如果要求解參數(shù)的值，需聯(lián)立方程組，那么通過極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，可得到哪些等量關(guān)系？

變式：已知函數(shù)f（x）=-x3+2cx2-c2x+1.在x=2在處有極大值，求c實(shí)數(shù)的值.

題型三：函數(shù)極值的綜合應(yīng)用

[探究]：利用導(dǎo)函數(shù)可以研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，通過單調(diào)性可以研究函數(shù)圖象的變化趨勢，通過極值可以研究函數(shù)圖象的什么特征？

例1. 已知函數(shù)f（x）=-x3+3x+a（a∈R）

（1）求函數(shù)f（x）的極值；（2）當(dāng)a為何值時(shí)，方程f（x）=0恰有2個(gè)零點(diǎn).

[指導(dǎo)分析]：（2）中如果能確定函數(shù)的圖象及在平面直角坐標(biāo)系中的大致位置就容易判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)了，那么需要確定函數(shù)的哪些性質(zhì)、函數(shù)中的哪些量？

[完成后思考]：該函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)還可以有哪些情況，并找出每種情況成立時(shí)的取值范圍。

變式：若函數(shù)f（x）=ax3-bx+4，當(dāng)是x=2，函數(shù)f（x）有極值-■.

（1）求函數(shù)f（x）的解析式；（2）若函數(shù)f（x）=k有3個(gè)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

總結(jié)：

本節(jié)內(nèi)容整節(jié)課講完后總結(jié)出以下幾點(diǎn)不足：（1）問題設(shè)計(jì)的順序不是很合理，稍有些亂，只限于提出了問題，但并沒有考慮到在學(xué)生閱讀課本學(xué)習(xí)時(shí)，他們思維的過程。（2）問題設(shè)計(jì)時(shí)不夠精煉，有重復(fù)。（3）問題設(shè)計(jì)可以結(jié)合課本標(biāo)明可以在閱讀或完成什么內(nèi)容時(shí)來思考。（4）問題設(shè)計(jì)必須考慮學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有知識經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上。（5）有效的提問，才能引導(dǎo)學(xué)生正確的分析問題，解決問題，達(dá)到預(yù)期效果。有效的課堂提問是師生之間進(jìn)行思維交流對話的過程，思維能力的發(fā)展是有效課堂提問的核心及宗旨?？傊行У恼n堂提問要深淺適宜、難易適度、靈活多變、準(zhǔn)確精煉。

（作者單位：山西省太原市第二十中學(xué)校 030000）endprint