武占斌
摘要:高考試題,立足教材,能力立意;數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),發(fā)展思維,終身受益。數(shù)學(xué)是一種追求思維深度的藝術(shù),寧靜方能致遠(yuǎn)!探究要有深度、厚度、廣度,需要我們教師適時(shí)引領(lǐng)。本文以阿波尼斯圓為切入點(diǎn)展開了探究。
關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)教學(xué);阿伯尼斯園;教師;學(xué)生
中圖分類號(hào):G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A 文章編號(hào):1992-7711(2017)09-0127
已知平面上兩點(diǎn)A、B,則所有滿足PA/PB=k且不等于1的點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓。
這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn),故稱阿波羅尼斯圓,簡(jiǎn)稱阿氏圓。它的證明可用坐標(biāo)法實(shí)現(xiàn),也可用三角形的內(nèi)外角平分線(逆)定理——幾何法實(shí)現(xiàn)(如圖)。
由∵∠1=∠2∴■=■由∵∠3=∠4∴■=■
可見∠2+∠3=■ ■=■=■∴PM⊥PN故P點(diǎn)的軌跡是以MN為直徑的圓。M、N分別是線段AB的內(nèi)分點(diǎn)與外分點(diǎn)。
阿氏圓在現(xiàn)行教材人教社A版《必修二》第四章出現(xiàn)了三處之多,P134 B組3題,P139用《幾何畫板》探究點(diǎn)的軌跡:圓,P144B組2題。如此高頻率的出現(xiàn),編者難道是無心插柳?事實(shí)上真可謂重要的事情說三遍!編者在P141寫到:“類似地,用《幾何畫板》可以探究許多軌跡方面的問題,《幾何畫板》為我們提供了一個(gè)實(shí)驗(yàn)、發(fā)現(xiàn)、猜想的環(huán)境,這種環(huán)境可以啟發(fā)我們用數(shù)學(xué)思想方法驗(yàn)證我們的猜想”試著想下去,阿氏圓是到兩定點(diǎn)的距離之比為定值,那么到兩定點(diǎn)的距離之和、差、積為定值?不得不說是暗暗為圓錐曲線的學(xué)習(xí)埋下了伏筆。
在教學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中,筆者以三處問題為載體,有機(jī)融合為一體,引入阿波羅尼斯圓,倡導(dǎo)學(xué)生勇于探索,大膽嘗試,積極尋求有效的問題解決方法,學(xué)生能夠批判質(zhì)疑,辯證地分析問題,做出選擇與決定。教師經(jīng)常這樣不斷的引領(lǐng),讓學(xué)生勤于反思,學(xué)會(huì)學(xué)習(xí),才會(huì)具有終身學(xué)習(xí)的意識(shí)和能力,高考中才會(huì)立于不敗之地。
與阿波羅尼斯圓有關(guān)的高考試題近些年屢見不鮮,下面筆者縱向深入,以一個(gè)省份——江蘇高考與阿波羅尼斯圓的關(guān)系見證。
例1. (2008年江蘇)若AB=2,AC=■BC,則S△ABC的最大值——
分析:本題以求由初中知識(shí)三角形的面積切入,也可以由正余弦定理、三角形面積公式切入,還可以由海倫公式切入,都不及用以阿波羅尼斯圓半徑為高,面積最大,簡(jiǎn)潔方便。本題以三角形面積為載體,巧妙將高中數(shù)學(xué)的主干知識(shí)與數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法交匯一體,真不失為一道看似淡雅,實(shí)則內(nèi)涵濃深的好題!
例2. (2013年江蘇 14分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A(0,3),直線l:y=2x-4。
設(shè)圓C的半徑為1,圓心在l上。
(1)若圓心C也在直線上y=x-1,過點(diǎn)A作圓C的切線,求切線的方程;
(2)若圓C上存在點(diǎn)M,使MA=2MO,求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍。
分析:第一問簡(jiǎn)單。第二問如果能透過現(xiàn)象揭示本質(zhì),認(rèn)清楚命題意圖是想考察阿波羅尼斯圓與圓C的位置關(guān)系,將會(huì)迎刃而解。
解:(1)聯(lián)立:y=x-1y=2x-4,得圓心為:C(3,2).
當(dāng)k存在,設(shè)切線為:y=kx+3,
d=■=r=1,得:k=0 or k=-■a.
故所求切線為:y=0 or k=-■x+3.
(2)設(shè)點(diǎn)M(x,y),由MA=2MO,知:■=2■
化簡(jiǎn)得:x2+(y+1)2=4,
即:點(diǎn)M的軌跡為以(0,1)為圓心,2為半徑的圓,可記為圓D.
又因?yàn)辄c(diǎn)在圓上,故圓C圓D的關(guān)系為相交或相切.
故:1≤|CD|≤3,其中|CD|=■
解之得:0≤a≤■
高考試題,立足教材,能力立意;數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),發(fā)展思維,終身受益。數(shù)學(xué)是一種追求思維深度的藝術(shù),寧靜方能致遠(yuǎn)!探究要有深度、厚度、廣度,需要我們教師適時(shí)引領(lǐng)。
(作者單位:山西省大同市第一中學(xué)校 037000)endprint