從阿波尼斯圓談起

武占斌

摘要：高考試題，立足教材，能力立意；數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，發(fā)展思維，終身受益。數(shù)學(xué)是一種追求思維深度的藝術(shù)，寧靜方能致遠(yuǎn)！探究要有深度、厚度、廣度，需要我們教師適時(shí)引領(lǐng)。本文以阿波尼斯圓為切入點(diǎn)展開了探究。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)；阿伯尼斯園；教師；學(xué)生

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2017）09-0127

已知平面上兩點(diǎn)A、B，則所有滿足PA/PB=k且不等于1的點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓。

這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓。它的證明可用坐標(biāo)法實(shí)現(xiàn)，也可用三角形的內(nèi)外角平分線（逆）定理——幾何法實(shí)現(xiàn)（如圖）。

由∵∠1=∠2∴■=■由∵∠3=∠4∴■=■

可見∠2+∠3=■ ■=■=■∴PM⊥PN故P點(diǎn)的軌跡是以MN為直徑的圓。M、N分別是線段AB的內(nèi)分點(diǎn)與外分點(diǎn)。

阿氏圓在現(xiàn)行教材人教社A版《必修二》第四章出現(xiàn)了三處之多，P134 B組3題，P139用《幾何畫板》探究點(diǎn)的軌跡：圓，P144B組2題。如此高頻率的出現(xiàn)，編者難道是無心插柳？事實(shí)上真可謂重要的事情說三遍！編者在P141寫到：“類似地，用《幾何畫板》可以探究許多軌跡方面的問題，《幾何畫板》為我們提供了一個(gè)實(shí)驗(yàn)、發(fā)現(xiàn)、猜想的環(huán)境，這種環(huán)境可以啟發(fā)我們用數(shù)學(xué)思想方法驗(yàn)證我們的猜想”試著想下去，阿氏圓是到兩定點(diǎn)的距離之比為定值，那么到兩定點(diǎn)的距離之和、差、積為定值？不得不說是暗暗為圓錐曲線的學(xué)習(xí)埋下了伏筆。

在教學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中，筆者以三處問題為載體，有機(jī)融合為一體，引入阿波羅尼斯圓，倡導(dǎo)學(xué)生勇于探索，大膽嘗試，積極尋求有效的問題解決方法，學(xué)生能夠批判質(zhì)疑，辯證地分析問題，做出選擇與決定。教師經(jīng)常這樣不斷的引領(lǐng)，讓學(xué)生勤于反思，學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，才會(huì)具有終身學(xué)習(xí)的意識(shí)和能力，高考中才會(huì)立于不敗之地。

與阿波羅尼斯圓有關(guān)的高考試題近些年屢見不鮮，下面筆者縱向深入，以一個(gè)省份——江蘇高考與阿波羅尼斯圓的關(guān)系見證。

例1. （2008年江蘇）若AB=2，AC=■BC，則S△ABC的最大值——

分析：本題以求由初中知識(shí)三角形的面積切入，也可以由正余弦定理、三角形面積公式切入，還可以由海倫公式切入，都不及用以阿波羅尼斯圓半徑為高，面積最大，簡(jiǎn)潔方便。本題以三角形面積為載體，巧妙將高中數(shù)學(xué)的主干知識(shí)與數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法交匯一體，真不失為一道看似淡雅，實(shí)則內(nèi)涵濃深的好題！

例2. （2013年江蘇 14分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（0，3），直線l：y=2x-4。

設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上。

（1）若圓心C也在直線上y=x-1，過點(diǎn)A作圓C的切線，求切線的方程；

（2）若圓C上存在點(diǎn)M，使MA=2MO，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍。

分析：第一問簡(jiǎn)單。第二問如果能透過現(xiàn)象揭示本質(zhì)，認(rèn)清楚命題意圖是想考察阿波羅尼斯圓與圓C的位置關(guān)系，將會(huì)迎刃而解。

解：（1）聯(lián)立：y=x-1y=2x-4，得圓心為：C（3，2）.

當(dāng)k存在，設(shè)切線為：y=kx+3，

d=■=r=1，得：k=0 or k=-■a.

故所求切線為：y=0 or k=-■x+3.

（2）設(shè)點(diǎn)M（x，y），由MA=2MO，知：■=2■

化簡(jiǎn)得：x2+（y+1）2=4，

即：點(diǎn)M的軌跡為以（0，1）為圓心，2為半徑的圓，可記為圓D.

又因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，故圓C圓D的關(guān)系為相交或相切.

故：1≤|CD|≤3，其中|CD|=■

解之得：0≤a≤■

高考試題，立足教材，能力立意；數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，發(fā)展思維，終身受益。數(shù)學(xué)是一種追求思維深度的藝術(shù)，寧靜方能致遠(yuǎn)！探究要有深度、厚度、廣度，需要我們教師適時(shí)引領(lǐng)。

（作者單位：山西省大同市第一中學(xué)校 037000）endprint