2013～2018年高考數學全國卷“概率與統(tǒng)計”專題分析

☉內江師范學院數學與信息科學學院 余小芬 蒲葭露 劉成龍

多數高考試題立意深刻、構思巧妙、設計新穎，直接體現了高考命題理念、命題原則、命題思路.研究高考試題，對把握試題特點、知識考點、難易程度有益；對把握高考命題動態(tài)、領會命題精神有利；對提高復習的針對性、減少復習盲目性有效.本文以2013～2018年高考數學全國卷中“概率與統(tǒng)計”試題為研究對象，從試題特點、考查要點、教學建議進行分析，以饗讀者.

一、2013～2018年全國卷 “概率與統(tǒng)計”試題特點

1.命題背景

概率與統(tǒng)計是高考數學中考查實際應用能力和數學建模能力的一個重要載體，也是考查必然與或然數學思想的重要內容.全國卷概率與統(tǒng)計命題取材貼近生產、生活，比如，概率部分常以抽簽選號、比賽得分、電路流通、質量抽檢等角度命題，考查各類隨機事件的概率；統(tǒng)計部分常從成本控制、利潤獲取、方案決策、數據預測等角度命題，考查利用樣本數據估計總體特征，利用均值、方差等對實際問題作出評價或判斷.特別指出，2018年高考重視數學文化考查，比如2018年全國Ⅰ卷理科第10題以古希臘數學家希波克拉底研究的直角三角形外接半圓圖形為載體考查幾何概型，2018年全國Ⅱ卷理科第8題以哥德巴赫猜想為背景考查古典概型等等.

2.知識考查

近年全國卷中概率與統(tǒng)計部分主要考查抽樣方法（以分層抽樣為主）、統(tǒng)計圖（表）的應用（識圖、作圖、用圖）、系數的相關性（獨立性檢驗思想、回歸思想的運用）、隨機事件（互斥事件、獨立事件、獨立重復試驗、等可能事件）的概率、離散型隨機變量的分布列、期望、方差、正態(tài)分布.

概率與統(tǒng)計命題中呈現一定的交匯性.首先，概率與統(tǒng)計知識交織緊密，尤其以統(tǒng)計圖（表）為載體，結合圖（表）中數據，運用頻率估計概率思想，考查古典概型、互斥事件的概率加法公式、對立事件的概率乘法公式等.其次，在分析生產、銷售中的成本、利潤問題時，概率統(tǒng)計與分段函數、函數最值相結合是歷年考查的熱點.

3.能力考查

《普通高中數學課程標準（2017年版）》（下文簡稱《標準》）指出數學學科核心素養(yǎng)包括：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析.其中，數據分析是指針對研究對象獲取數據，運用數學方法對數據進行整理、分析和推斷，形成關于研究對象知識的素養(yǎng).概率與統(tǒng)計部分教學的主要目的是使學生體會統(tǒng)計與概率的基本思想，處理數據、制定決策，培養(yǎng)學生“用數據說話”的理性思維.全國卷概率與統(tǒng)計部分對學生能力的考查呈現6大特點：淡化解題技巧，重視通性通法；減少運算速度要求，強調運算思路本身；重視形成科學正確的隨機觀念認識隨機現象；重視培養(yǎng)對信息的閱讀、篩選、分析能力；重視培養(yǎng)解決實際問題中的估算、判斷、決策能力；重視必然與或然、分類與整合、化歸與轉化等數學思想在解題中的運用.

4.命題規(guī)律

（1）客觀題的命題規(guī)律

2013～2014年全國卷客觀題主要考查概率知識，尤其古典概型在歷年試題中均有涉及.從2015年開始，客觀題重視考查統(tǒng)計知識，以對統(tǒng)計圖的認識為主要考查形式.同時，幾何概型成為概率部分的“新興”考點，尤其在2016、2017、2018年考查題數最多，主要涉及線段、面積模型.此外，抽樣方法、樣本數據特征、二項分布、正態(tài)分布等知識點隔年交替考查，主要考查基本概念、公式等規(guī)則的運用.

（2）解答題的命題規(guī)律

2010年前，全國卷考查核心為隨機事件的概率，重視邏輯推理，強調排列組合問題解答的技巧性，但在合情推理和應用意識方面考查較少.從2011年開始，增加考查頻率分布表、頻率分布直方圖的應用，通過利用圖（表）中數據，利用頻率估計概率的思想解決問題.2013～2016年，又增加對莖葉圖、散點圖、折線圖的應用考查，增加考查繪制（或完善）莖葉圖、頻率分布直方圖，增加回歸分析統(tǒng)計案例，重視結合實際生活經驗對問題進行判斷、評價、預測處理.2017年獨立性檢驗在?？?年后“重登舞臺”，并且2018年依然“隆重登場”；正態(tài)分布在?？?后，2017年“再現身影”.尤其是正態(tài)分布試題具有鮮明的特點：從以往考查“已知規(guī)則、簡單套用”過渡到考查“理解原理、回歸運算”.（裴光亞語）總的來看，盡管解答題煥然一新，但對中位數、均值、標準差等數據的計算仍為考查重點，頻率估計概率、樣本估計總體仍是問題解決的核心思想.

二、2010～2018年全國卷 “概率與統(tǒng)計”試題分類評析

為進一步把握命題方向，下面對近八年全國卷概率與統(tǒng)計試題分類評析.

1.統(tǒng)計部分

（1）抽樣方法

在統(tǒng)計的教學中，應引導學生根據實際問題的需求，選擇不同的抽樣方法獲取數據，理解數據蘊含的信息.常見抽樣方法有簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣.近年全國卷中，抽樣方法主要涉及分層抽樣.例如2018年全國Ⅰ卷文科第18題、2018年全國Ⅲ卷文科第14題、2013年全國Ⅰ卷理科第3題.

（2）統(tǒng)計圖表的應用

統(tǒng)計圖表具有直觀、實用的特性.《標準》指出：根據數據分析的需求，選擇適當的統(tǒng)計圖表描述和表達數據，并從樣本數據中提取需要的數字特征，估計總體的統(tǒng)計規(guī)律，解決相應的實際問題.高考對統(tǒng)計的考查也常以統(tǒng)計圖表為信息載體，從多角度、多層次命制試題，充分考查學生識圖、作圖、用圖的能力.

（?。┖唵巫R圖應用

近年，全國卷立足生產、生活熱點，設計出很多可讀性強、圖文新穎、貼近生活的統(tǒng)計圖.比如2016年全國Ⅲ卷理科第4題介紹一年中各月平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達圖、2017年全國Ⅲ卷理科第3題考查了以“旅游”為背景的折線統(tǒng)計圖、2018年全國Ⅰ卷理科第3題呈現了關于新農村建設的農村經濟收入變化餅狀圖.

（ⅱ）用樣本的數字特征估計總體特征

“以數據進行推斷的思考方式已成為現代社會普遍應用的思維模式，以樣本估計總體是統(tǒng)計學最核心的思想方法”.歷年全國卷中，不乏用樣本估計總體的試題，這類題考查學生畫（或完善）頻率分布直方圖、莖葉圖等，并從樣本中提取或計算重要數據，如“三數”、標準差等，進而要求對總體進行合理的解釋或評價的能力.

例如2018年全國Ⅰ卷文科第19題，該題堅持了高考“立德樹人”的基本導向，通過對比某家庭使用節(jié)水龍頭前后的用水量，讓學生樹立保護水資源的可持續(xù)發(fā)展意識，培養(yǎng)節(jié)約用水的良好品行.第1問考查頻數分布表、頻率分布直方圖，強調學生的作圖能力；第2問考查利用樣本數據特征估計總體特征、古典概型等基本知識，考查學生的估算意識以及計算能力；第3問涉及對節(jié)水前后用水量的對比，考查學生對頻數分布表的理解和應用.近年全國卷同類型考題還有：2017年全國Ⅰ卷文科第2題；2015年全國Ⅱ卷文（理）科第18題等.可見，樣本估計總體是歷年全國卷文科數學的高頻考點.

（ⅲ）統(tǒng)計圖（表）的綜合應用

在工農業(yè)生產與經濟生活中，質量控制、成本控制、風險控制以及產品庫存等問題是經常要面對并需解決的問題，而這些問題中普遍受到隨機因素或不確定性變量的影響，自然地需要建立隨機模型，需要搜集、整理和處理數據，需要應用統(tǒng)計或概率的知識和方法并最終作出決策.高考命題常以上述實際問題為背景，以統(tǒng)計圖（表）為載體，考查頻率與概率、隨機變量分布列、期望的計算及應用等知識，考查學生的建模、數據處理等綜合能力.

例如2016年全國Ⅰ卷理科第19題，該題以實際生產中成本控制為命題背景，考查柱狀圖的應用.第1問根據柱狀圖及頻率估計概率的基本思想，考查分布列的求解.在計算X所對應的各個概率時，涉及分類討論思想，將問題轉化為互斥事件的和以及獨立事件的積進行處理；第2問在第1問分布列的基礎上，考查互斥事件的概率加法公式；第3問以費用期望值的最小化為決策依據確定購買量.事實上，為確定最優(yōu)購買量，應逐一計算n=16，17，…，22時所對應的期望值，通過比較得出最小期望值所對應的n值即為最優(yōu)購買量.但為降低運算量，減少重復表示，命題者只要求考生計算并對比n=19與n=20所對應的期望值，這也體現了試題設問方式和能力考查方向的新變化.近年全國卷同類型考題還有：2017年全國Ⅲ卷文（理）科第18題；2016年全國Ⅰ卷文科第19題等.

（3）變量的相關性

2017年《考試大綱》對“變量的相關性”和“統(tǒng)計案例”的要求是：兩個“會”——會作兩個有關聯變量的數據的散點圖，會利用散點圖認識變量間的相關關系.三個“了解”——了解最小二乘法的思想，了解獨立性檢驗（只要求2×2列聯表）的基本思想、了解回歸分析的基本思想.兩個“能”——能根據給出的線性回歸方程系數公式建立線性回歸方程；能應用一些常見的統(tǒng)計方法解決一些實際問題.特別指出，在教學中，不要求學生記憶線性回歸方程、獨立性檢驗中的相關公式或取值，能利用已知公式代值計算、并利用所得結果對問題進行判斷或預測即可.重點考查統(tǒng)計思想的運用.局比賽的結果相互獨立，第1局甲當裁判.（Ⅰ）求第4局甲當裁判的概率；

（Ⅱ）求前4局中乙恰好當1次裁判的概率.

評析：本例考查相互獨立事件、互斥事件、對立事件概率的求法.（Ⅰ）問考查學生的邏輯推理能力.由于第1局甲當裁判，所以“第4局甲當裁判”必推出“第2局比賽結果為甲勝”（這樣甲才能進入第三局比賽）且“第三局比賽結果為甲負”.進而利用相互獨立事件同時發(fā)生的概率乘法公式解決問題.（Ⅱ）問考查分類討論、化歸與轉化的數學思想.解題關鍵是分析出“前4局中乙恰好當1次裁判”的三種具體賽況：（乙負，乙裁，乙勝，乙賽），（乙勝，乙勝，乙負，乙裁），（乙勝，乙負，乙裁，乙賽）.近年全國卷同類型考題還有：2014年大綱卷文科第20題.

特別指出，在隨機事件的概率部分，除了事件的關系和運算是考查的重點，古典概型、幾何概型、條件概率

（ⅰ）獨立性檢驗思想的應用

獨立性檢驗可謂是逐步登上高考舞臺的新生花旦.獨立性檢驗試題首次出現在2009年遼寧省卷中，由此拉開了對獨立性檢驗考查的序幕.近年全國卷獨立性檢驗的試題有：2018年全國Ⅲ卷文（理）科第19題，2017年全國Ⅱ卷文（理）科第19題.鑒于獨立性檢驗在實際問題中的應用廣泛，其極有可能成為新的熱門考點，復習備考中應引起重視.

以2018年全國Ⅲ卷文（理）科第19題為例，該題第2問考查學生對獨立性檢驗思想的應用.首先根據中位數m完善兩種生產方式下工人完成工作情況的列聯表，進而利用公式得出隨機變量K2的觀測值，最后與臨界值比較得出結論.

（ⅱ）回歸思想的應用

回歸思想是統(tǒng)計學的重要思想.高考試題對回歸思想的應用往往從畫散點圖，理解相關系數的意義，利用最小二乘法求回歸方程，預測等角度設置問題.

以2018年全國Ⅱ卷文（理）科第18題為例，該題考查折線圖，變量間的相關關系.第1問直接利用題中所給兩模型的回歸方程，不難得出該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值；該題考查了對利用回歸方程進行數據計算、模型擬合的回歸思想的應用.近年全國卷同類型考題還有：2016年全國Ⅲ卷文（理）科第18題，2015年全國Ⅰ卷文（理）科第19題等.

2.概率部分

（1）隨機事件的概率

例1 （2013年大綱卷·文20）甲、乙、丙三人進行羽毛球練習賽，其中兩人比賽，另一人當裁判，每局比賽結束時，負的一方在下一局當裁判，設各局雙方獲勝的概也是近年考查的熱點.例如古典概型的考題有：2018年全國Ⅱ卷文科第5題、理科第8題，2017年全國Ⅱ卷文科第11題等；幾何概型的考題有：2018年全國Ⅰ卷文科第9題、理科第10題，2017年全國Ⅰ卷文科第4題、理科第2題等；條件概率的考題有：2018年全國Ⅲ卷文科第5題、2016年全國Ⅱ卷文（理）科第18題（Ⅱ）問等.

（2）離散型隨機變量的分布列、均值與方差

均值和方差（或標準差）是統(tǒng)計學的重要概念.均值反映了隨機變量取值的平均水平，方差（或標準差）刻畫隨機變量的分散程度，它們都是解決實際問題的重要理論依據.高考對離散型隨機變量的分布列、均值、方差的常見考查方式有兩種：一是利用隨機事件的概率性質或公式求解分布列，再求期望、方差.這是2014年前大綱卷理科數學解答題的高頻考點.二是結合統(tǒng)計圖（表）考查，利用分布列、均值、方差等對實際問題作出判斷、決策等，這是歷年新課標卷解答題的考查重點、熱點.

例2（2018年全國Ⅰ卷·理20）某工廠的某種產品成箱包裝，每箱200件，每一箱產品在交付用戶之前要對產品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品.檢驗時，先從這箱產品中任取20件作檢驗，再根據檢驗結果決定是否對余下的所有產品作檢驗.設每件產品為不合格品的概率都為p（0＜p＜1），且各件產品是否為不合格品相互獨立.

（Ⅰ）記20件產品中恰有2件不合格品的概率為f（p），求f（p）的最大值點p0.

（Ⅱ）現對一箱產品檢驗了20件，結果恰有2件不合格品，以（1）中確定的p0作為p的值.已知每件產品的檢驗費用為2元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用.

（i）若不對該箱余下的產品作檢驗，這一箱產品的檢驗費用與賠償費用的和記為X，求EX；

（ii）以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據，是否該對這箱余下的所有產品作檢驗？

評析：在效益與質量并存的市場環(huán)境下，對產品合格率提出了更高的要求.因此，肩負著產品質量控制的檢驗環(huán)節(jié)在整個生產過程中起到舉足輕重的作用.本題以抽檢產品為背景，貼近生活實際，聚焦生活熱點.不僅考查了n次獨立重復試驗的概率、二項分布等基礎知識，也考查了閱讀理解能力、知識應用能力.

（Ⅰ）問根據二項分布概率公式即可表示恰有2件不合格品的概率，再通過求導得出f（p）的最大值點p0，體現了概率與函數的知識交會應用.

（3）正態(tài)分布

《標準》對正態(tài)分布要求為：通過誤差模型，了解服從正態(tài)分布的隨機變量.通過具體實例、借助頻率直方圖的幾何直觀，了解正態(tài)分布的特征；了解正態(tài)分布的均值、方差及其含義.由此可見，《標準》對正態(tài)分布的要求不高.2017年前以及2018年全國卷對正態(tài)分布的考查無非是對符號本身的認識以及圖像的了解.但2017年全國Ⅰ卷理科第19題首次對正態(tài)分布的考查由規(guī)則運用轉移為原理理解，這樣的“首發(fā)效應”造成了學生的不適應.

以2017年全國Ⅰ卷·理19為例，該題主要考查服從正態(tài)分布、二項分布的隨機變量的概率與期望、均值及標準差等知識.對第1問，需要考生理解3σ原則，即服從于正態(tài)分布N（μ，σ2）的隨機變量通常只?。é?3σ，μ+3σ）之間的值.只有理解這一原則，才能分析出題中X服從二項分布X～B（16，0.002 6），從而利用二項分布的概率、期望公式求解問題；第2問的第1小問根據概率判斷監(jiān)控生產過程方法的合理性，考查對數據的分析、判斷能力.第2問的第2小問考查對數據的對比和篩選.通過剔除值，考查對均值、方差的簡便運算，求解過程體現了整體思想、估算思想.

三、教學建議

1.心理疏導

理查森和蘇恩將數學焦慮界定為：“在各種各樣的一般生活和學習環(huán)境中，阻礙數字操作和數學問題解決的緊張和焦慮感.”盡管概率與統(tǒng)計試題難度不大，但題目中包含的信息多、閱讀量大等因素容易讓部分考生產生焦慮情緒.研究表明，焦慮情緒與取得的成績成負相關.因此，概率與統(tǒng)計教學中，要疏導學生的焦慮情緒，樹立積極健康的學習、考試心態(tài).

2.重視基本概念和思想方法的教學

許多概率試題情境新穎、內涵豐富、應用靈活，即便是一些中檔試題，如果對題意理解不透，對基本概念把握不準，解題時也常常會出現錯誤.李邦河院士認為：“數學根本上是玩概念的，不是玩技巧.”因此，在實際教學中，應重視對一些形同質異概念的辨識，如：概率與頻率、互斥，對立與獨立事件、事件A發(fā)生k次與事件A第k次發(fā)生、概率為0的事件與不可能事件、概率為1的事件與必然事件、積事件概率P（AB）與條件概率P（B|A）、P（A|B）等.同時，加強對平均數、中位數、眾數、標準差、方差、極差等數據特征的認識，加深對二項分布、超幾何分布、正態(tài)分布等不同模型的辨識與理解.

數學思想方法是知識應用的精髓和靈魂，承載著知識發(fā)生、發(fā)展以及應用的全過程.教學中，應逐步形成學生的隨機觀念，讓學生學會用隨機變量思想描述隨機現象，能結合具體問題運用樣本估計整體、頻率估計概率思想.通過典型案例，了解獨立性檢驗思想、回歸思想的應用，區(qū)別統(tǒng)計思維與確定性思維的差異、歸納推斷與演繹證明的差異，體會如必然與或然、逆向思維、分類討論、化歸與轉化等數學思想在解決實際問題中的應用.

3.重視應用意識和應用能力培養(yǎng)

概率與統(tǒng)計部分試題密切聯系生產、生活實際.教學中應重視現實取材，讓學生經歷模型的構建、應用過程，培養(yǎng)對數據的搜集、分析、處理、計算能力，能科學合理地利用數據進行實際問題的判斷、預測、決策等，從而提升數據分析、數學建模、邏輯推理和數學運算素養(yǎng).特別指出，近八年概率與統(tǒng)計試題關注生活背景、社會現實，但較少涉及科技發(fā)展、前沿技術等方面.因此，在“貼近生活，背景公平，控制難度”的原則下，可以以此為背景改編、創(chuàng)造一些優(yōu)秀概率與統(tǒng)計案例，凸顯知識應用領域的廣泛性和前沿性，開闊學生視野，擴大知識面，提高學生的學習興趣.

4.重視對高考試題的研究

多數高考試題是教學、研究的良好素材.以優(yōu)秀高考試題作為研究素材，領悟試題背景、命題意圖、命題規(guī)律能提高復習備考的有效性.因此，筆者認為高考試題是指導教學、復習備考的最佳素材，尤其建議高三復習應以歷年高考試題為藍本展開.