基礎(chǔ)與能力并舉，文化與素養(yǎng)齊飛*——2018高考數(shù)學(xué)北京卷試題評析與思考

☉北京市通州區(qū)潞河中學(xué) 白志峰

☉北京市通州區(qū)教師研修中心 王學(xué)一

一、試題概述

2018年高考數(shù)學(xué)北京卷繼續(xù)保持多年來形成的格局.文、理試題適度區(qū)別，既保持相對穩(wěn)定，又進(jìn)行適度創(chuàng)新，難度較去年有所提升.試卷堅(jiān)持了北京卷“簡潔、清晰、親切、嚴(yán)謹(jǐn)”的風(fēng)格，避免了“偏題、怪題、難題”，客觀題難度適中、主觀題層次分明.入口低、坡度緩、梯次遞進(jìn)、步步深入，切合北京市的實(shí)際情況.同時關(guān)注新高考的改革趨勢，堅(jiān)持立德樹人的價值導(dǎo)向，既體現(xiàn)了高考的選拔功能，又在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的導(dǎo)向方面進(jìn)行了有益的探索.

二、試題的主要亮點(diǎn)

1.立足基礎(chǔ)，注重本質(zhì)理解

北京高考數(shù)學(xué)試題十分重視對基礎(chǔ)知識和基本技能的考查，充分關(guān)注未來社會對公民所要求的共同的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，充分關(guān)注基礎(chǔ)知識在能力形成過程中的作用.縱觀今年文理試卷，不難看出，試題不追求特殊技巧，注重通法通性，倡導(dǎo)對數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)理解和感悟.試卷整體上保持較大比例的基礎(chǔ)題和中檔題.選擇題和填空題大多以考查基礎(chǔ)知識為主，檢測學(xué)生對一些數(shù)學(xué)核心概念和基本性質(zhì)的理解和掌握情況.例如，文科第7題，在平面直角坐標(biāo)中給出單位圓上的四段弧和tanα，cosα，sinα的大小關(guān)系，要求判斷P點(diǎn)的位置.該題設(shè)置巧妙，用一道題考查了三種三角函數(shù)的定義，如果考生對定義有本質(zhì)理解，結(jié)合三角函數(shù)線可直接得出結(jié)論，無需計算論證.又如理科14題，考查的是橢圓雙曲線的定義、方程、性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，但解答時需要考生對于相關(guān)知識有融會貫通的、本質(zhì)的理解，需要的是感悟與升華，靠簡單的重復(fù)訓(xùn)練是不可以的.

2.突出主干，注重數(shù)學(xué)思想

試卷以《考試說明》為依據(jù)，圍繞函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、立體幾何、解析幾何、統(tǒng)計與概率、導(dǎo)數(shù)等支撐學(xué)科知識體系的主干部分設(shè)置試題，解答題不刻意追求知識的覆蓋面.既注重主干知識的交匯，又注重對數(shù)學(xué)思想的考查，并將多樣的數(shù)學(xué)思想方法，置于“平凡”的數(shù)學(xué)問題之中，體現(xiàn)了“數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識的精髓，是知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁”這樣的認(rèn)識高度.

例如，文科19題、理科18題的第2問，需要對參數(shù)進(jìn)行分類討論；借助文科第13題、理科7、12題考查數(shù)形結(jié)合思想；借助文理第8題考查轉(zhuǎn)化與劃歸思想；借助文科20題，理科19題綜合考查函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想，等等.解答時需要考生對各部分知識的通法通性有較深刻的感悟，需要考生具備較強(qiáng)的學(xué)科能力.

3.關(guān)注文化，注重價值取向

數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵是多方面的.文［1］提到：“數(shù)學(xué)文化表現(xiàn)為在數(shù)學(xué)的起源、發(fā)展、完善和應(yīng)用的過程中體現(xiàn)出來的對于人類發(fā)展具有重大影響的方面，它既包括對于人的觀念、思想和思維方式的一種潛移默化的作用，對于人的思維訓(xùn)練功能和發(fā)展人的創(chuàng)造性思維的功能，也包括在人類認(rèn)識和發(fā)展數(shù)學(xué)的過程中體現(xiàn)出來的探索和進(jìn)取的精神等.”由此可見數(shù)學(xué)文化中包含了數(shù)學(xué)在育人過程中體現(xiàn)出來的獨(dú)特作用：培養(yǎng)人鍥而不舍的意志品質(zhì)，敢于質(zhì)疑批判的創(chuàng)新意識.其價值取向是立德樹人.

理科第4題（文科第5題），選取我國“明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法求出半音比例”這樣的優(yōu)秀傳統(tǒng)文化題材，和數(shù)列知識相結(jié)合設(shè)置試題，一方面從數(shù)學(xué)的視角欣賞和理解優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，另一方面讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)在其他學(xué)科中的應(yīng)用價值，和在人類文明中的貢獻(xiàn)，從而增加文化自信，增強(qiáng)民族自豪感.

文科11題以不等式為載體，理科13題以函數(shù)的單調(diào)性為載體，設(shè)置開放性試題，引導(dǎo)學(xué)生開放性思考，要求學(xué)生能通過構(gòu)造反例證明一個假命題，考查學(xué)生是否具有嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)態(tài)度以及批判質(zhì)疑的創(chuàng)新意識.

數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分，高考對數(shù)學(xué)文化的滲透必將開拓廣泛的領(lǐng)域，從而對中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)產(chǎn)生巨大影響.

4.聚焦素養(yǎng)，注重理性精神

提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)是新課標(biāo)理念下數(shù)學(xué)教育的根本目標(biāo).北京高考試題密切關(guān)注對六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界，用數(shù)學(xué)的語言描述世界，注重數(shù)學(xué)的理性精神.

例如，理科5題和16題，文科6題和18題考查學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)；理科20題以抽象的符號語言為題干，考查學(xué)生能否正確理解抽象的數(shù)學(xué)概念，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行符號化的數(shù)學(xué)表征和邏輯推理.要求考生具有較高的分析問題、解決問題的能力，綜合衡量學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等素養(yǎng)；具體體現(xiàn)在文科20、理科19題中代數(shù)證明問題，用以考查學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng).

多角度、多層次考查數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).解答題中，三角函數(shù)、立體幾何、圓錐曲線、導(dǎo)數(shù)等試題里，涉及到眾多的運(yùn)算，沒有高難度的繁雜的數(shù)值計算，而是站在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的高度，考查學(xué)生是否能夠快速明確運(yùn)算對象，準(zhǔn)確選擇運(yùn)算方法，合理確定運(yùn)算程序和獲取運(yùn)算結(jié)果，同時考查學(xué)生在實(shí)施運(yùn)算過程中遇到運(yùn)算障礙會調(diào)整運(yùn)算的理性思維能力，以此增加區(qū)分度.

文、理科17題給出了“電影公司收集的2000部各類電影的有關(guān)好評率”的一組數(shù)據(jù)，試題背景相同，文理設(shè)問各有側(cè)重.試題展現(xiàn)的是大數(shù)據(jù)時代下，讀圖、讀表、數(shù)據(jù)處理的統(tǒng)計分析方法.考生需要閱讀理解、提取信息，考查學(xué)生應(yīng)用所學(xué)的統(tǒng)計知識進(jìn)行數(shù)據(jù)分析和構(gòu)建模型等素養(yǎng).其中理科第3問要求對六類電影的喜歡程度的方差做出比較，既可以用方差的計算公式得到結(jié)論，也可以用方差的實(shí)際意義得到結(jié)論.不同的做法所耗費(fèi)的時間大不相同，可以甄別考生理性思維的水平.

三、試題對教學(xué)的導(dǎo)向

鑒于新課標(biāo)的實(shí)施和高考的改革，高考試題對此進(jìn)行了有益的探索，這無疑對教學(xué)產(chǎn)生了積極的導(dǎo)向作用.啟示我們要關(guān)注如下兩個轉(zhuǎn)變：

1.從文理分卷到文理合卷

從2017年高考開始，文理試題趨同趨勢增大，為2020年實(shí)現(xiàn)文理同卷的高考改革探路.我們看到2018年文理相同題目達(dá)9道（含2道姊妹題）.其中作為基礎(chǔ)題的選擇題1至5題，填空題中的9至11題，以文科為起點(diǎn)，難度顯然有所降低.作為傳統(tǒng)的創(chuàng)新題之一，文理第8題相同，比較2016年以前的高考第8題，對于文科生來講難度增大了，對于理科生來講，難度有所降低.這是近兩年的最大改變.我們可以預(yù)想：將來必然是“文科為起點(diǎn)，理科為落點(diǎn)”的命題方式，在這樣的大背景下，我們的教學(xué)應(yīng)該怎么做，需要思考，需要實(shí)踐.

2.從能力立意到素養(yǎng)導(dǎo)向

隨著新課標(biāo)的實(shí)施，高考命題的理念已經(jīng)從能力立意轉(zhuǎn)向素養(yǎng)導(dǎo)向.任子朝先生在文［2］指出：“素養(yǎng)導(dǎo)向的高考命題注重基礎(chǔ)知識的理解與鞏固，注重科學(xué)素養(yǎng)的提升，科學(xué)思維方法的掌握，科學(xué)態(tài)度的形成，注重解決生活中的實(shí)際問題.素養(yǎng)導(dǎo)向的高考命題引導(dǎo)中學(xué)教學(xué)尊重學(xué)生的主體地位，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主觀能動性，幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，從而為國家培養(yǎng)全面而有個性的社會主義建設(shè)人才.”

所以教學(xué)實(shí)踐中應(yīng)該注重學(xué)生科學(xué)思維的養(yǎng)成，培養(yǎng)學(xué)生用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)思維、嚴(yán)肅的科學(xué)態(tài)度去思考問題；要注重培養(yǎng)學(xué)生的探究能力，利用探究型、開放型的問題拓展學(xué)生的思維空間.數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要關(guān)注知識的掌握和能力的形成，而且要關(guān)注“人的發(fā)展”.教師要不斷加強(qiáng)學(xué)習(xí)、提高認(rèn)識，重新審視自己是否理解數(shù)學(xué)，是否理解數(shù)學(xué)教學(xué)，是否理解高三復(fù)習(xí)的育人高度和價值追求.唯有如此，教師才能把握好自己的教育教學(xué).

四、對高考復(fù)習(xí)的幾點(diǎn)思考

1.夯實(shí)“四基”，以不變應(yīng)萬變

一方面，文理試題將走向統(tǒng)一，基礎(chǔ)題的份量勢必增大；另一方面，北京高考試題通過“深化概念、規(guī)避題型、創(chuàng)新設(shè)計”等手段來增加區(qū)分度.所以高考復(fù)習(xí)務(wù)必注重基礎(chǔ)，這里的基礎(chǔ)是指：基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗(yàn).

比如數(shù)學(xué)概念的復(fù)習(xí)，絕不能簡單采取“羅列概念—幾點(diǎn)注意—例題選講”的形式，而要重新審視概念的形成過程，強(qiáng)化對概念的本質(zhì)理解，以問題驅(qū)動提升學(xué)生對概念的理解層次，在解決問題中獲取對概念的感悟與升華；要以結(jié)構(gòu)化、邏輯化的原則構(gòu)建概念間的聯(lián)系，因?yàn)楣铝⒌闹R點(diǎn)不易理解、不易記憶，也不能形成有效的技能.比如斜率的概念，要深度思考斜率概念的形成過程，深度思考為什么用傾斜角的正切值來定義斜率，而不用正弦值？也要建立斜率與函數(shù)的單調(diào)性的聯(lián)系，斜率與導(dǎo)數(shù)的聯(lián)系，還要引導(dǎo)學(xué)生搞清楚斜率在物理、化學(xué)中有哪些體現(xiàn)？這樣的復(fù)習(xí)才是有效的，才可以達(dá)到以不變應(yīng)萬變的效果.

2.關(guān)注思維，實(shí)現(xiàn)解題教學(xué)的最大效益

高考試題的設(shè)計是以數(shù)學(xué)知識為載體，從學(xué)科的整體意義和思想價值高度來立意的，進(jìn)而考查學(xué)生對數(shù)學(xué)思想和方法的理解程度，以及理性思維的水平.

高三的大量課堂是在進(jìn)行解題教學(xué).存在的最大問題是“題型覆蓋”和“解法羅列”，大容量的數(shù)學(xué)習(xí)題擠占了落實(shí)數(shù)學(xué)思維的空間，容易形成模式化、程序化的定勢思維.教學(xué)實(shí)踐表明，高考成績與做題多少不成正比.所以解題教學(xué)的根本之道是幫助學(xué)生提高思維水平.為此應(yīng)該做到如下幾點(diǎn)：（1）要準(zhǔn)確把握學(xué)生的思維習(xí)慣、認(rèn)知基礎(chǔ)，并以此作為解題策略的生成點(diǎn)；（2）要回避“告訴式”的教學(xué)方式，要善于引導(dǎo)學(xué)生形成有效的解題思路和進(jìn)行有效的變通；（3）要鼓勵學(xué)生敢于質(zhì)疑，大膽嘗試，教師要善于挖掘?qū)W生觀點(diǎn)中的合理成分，順勢而為，自然和諧地生成學(xué)生的解法.正所謂“教之道在于度，學(xué)之道在于悟”.

3.正視運(yùn)算，讓學(xué)生想得出來、算得出來

北京高考試題的特點(diǎn)是題干簡練，背景公平.考題沒有晦澀難懂的語言敘述，大多數(shù)考生在審題這一環(huán)節(jié)上基本不存在障礙，這樣有利于減緩考生的心理壓力.考生容易下手解題，大多數(shù)題目關(guān)鍵在于運(yùn)算.

數(shù)學(xué)解題離不開運(yùn)算，但目前不可回避的一個問題是學(xué)生的運(yùn)算能力普遍有所降低.運(yùn)算能力包括分析運(yùn)算條件、探究運(yùn)算方向、選擇運(yùn)算方法、確定運(yùn)算程序等一系列過程中的思維能力，也包括在實(shí)施運(yùn)算過程中遇到運(yùn)算障礙而調(diào)整運(yùn)算的能力.課堂教學(xué)要把運(yùn)算落到實(shí)處，要讓學(xué)生想得出來并且算得出來.比如，高考解析幾何試題，對于運(yùn)算量的大小、運(yùn)算長度的設(shè)置、運(yùn)算障礙的設(shè)置都是經(jīng)過慎重考慮的，在整個試卷里是合理配套的，因而也是考生應(yīng)該具備的，不可回避的.所以平時的訓(xùn)練要到位，要落到實(shí)處，教師不能一味引導(dǎo)學(xué)生規(guī)避運(yùn)算，要鼓勵學(xué)生敢于運(yùn)算、善于運(yùn)算，提高克服障礙的勇氣和信心，要樹立運(yùn)算是演繹推理的觀念.