計(jì)數(shù)方法薈萃

☉江蘇省白蒲高級(jí)中學(xué) 楊雪梅

計(jì)數(shù)問題是高考中的必考題，雖然在高考試題中所占比例不重，且基本為填空題，但它常常與實(shí)際問題聯(lián)系在一起，題目背景往往生動(dòng)有趣，解題思路非常靈活，不大容易掌握，極易出錯(cuò).在實(shí)際解答時(shí)，可以考慮根據(jù)不同的題型、不同的特點(diǎn)采取不同的方法來處理，對(duì)于同一個(gè)問題也可以從不同的角度出發(fā)，采取迥然不同的解答方法.下面結(jié)合一些比較常見的題型，就計(jì)數(shù)問題的幾種常見解題技巧方法加以實(shí)例剖析.

一、合理分類

合理地對(duì)計(jì)數(shù)問題加以正確分類，保證各類中對(duì)應(yīng)方法均可完成任務(wù)，且類與類之間不重復(fù)，有時(shí)也在具體各類的計(jì)數(shù)中滲透排列或組合方法來綜合計(jì)數(shù).

例1 定義“規(guī)范01數(shù)列”{an}如下：{an}共有2m項(xiàng)，其中m項(xiàng)為0，m項(xiàng)為1，且對(duì)任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù).若m=4，則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有（ ）.

A.12個(gè) B.13個(gè) C.14個(gè) D.15個(gè)

分析：根據(jù)數(shù)列新概念，先確定數(shù)列的首項(xiàng)與末項(xiàng)，再利用中間項(xiàng)的特征，通過合理分類，結(jié)合分類加法計(jì)數(shù)原理來確定.

解：根據(jù)定義，{an}的首項(xiàng)必為0，末項(xiàng)必為1，若前4項(xiàng)全為0，則后4項(xiàng)一定全為1，有1個(gè)這樣的數(shù)列；若前4項(xiàng)有3個(gè)為0，則前4項(xiàng)的排列有3種情況，后4項(xiàng)的排列也有3種情況，有3×3=9（個(gè)）這樣的數(shù)列；若前4項(xiàng)有2個(gè)為0，則前4項(xiàng)的排列有2種情況，后4項(xiàng)的排列也有2種情況，有2×2=4（個(gè)）這樣的數(shù)列.所以不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有1+9+4=14（個(gè)）.

點(diǎn)評(píng)：通過數(shù)列創(chuàng)新概念來確定數(shù)列中相關(guān)項(xiàng)的性質(zhì)，進(jìn)而為數(shù)列的不同個(gè)數(shù)的判斷指明方向.合理分類是計(jì)數(shù)時(shí)經(jīng)常用到的一種重要的技巧方法，當(dāng)問題不能一概而論時(shí)，常常需要分類討論.

二、恰當(dāng)分步

恰當(dāng)?shù)貙?duì)計(jì)數(shù)問題加以正確分步，保證完成對(duì)應(yīng)步驟后即可完成任務(wù)，且步與步之間不交叉，有時(shí)也在具體各步的計(jì)數(shù)中滲透排列或組合方法來綜合計(jì)數(shù).

例2 安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成，則不同的安排方式共有（ ）.

A.24種 B.36種 C.48種 D.56種

分析：根據(jù)題目條件，通過恰當(dāng)分步，利用先分組再分配的不同步驟來解決相應(yīng)的志愿者完成工作的不同的安排方式問題，結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理來確定.

解：不同的安排方式可以分兩步完成：

第一步，把4項(xiàng)工作分為三組，設(shè)4項(xiàng)工作分別為A、B、C、D，那么不同的分組為：（AB，C，D），（AC，B，D），（AD，B，C），（BC，A，D），（BD，A，C），（CD，A，B），共有6種不同的分組方式；

第二步，把對(duì)應(yīng)的三組按順序分配給3名志愿者完成，不同的完成方式有3×2×1=6（種）.

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得不同的安排方式共有6×6=36（種）.

點(diǎn)評(píng)：解決此類問題往往通過具體問題的分步加以計(jì)數(shù)，解題時(shí)注意分步討論要做到不重不漏.當(dāng)然解決本題也可結(jié)合排列與組合方法來處理.

三、特殊優(yōu)先

計(jì)數(shù)中常會(huì)出現(xiàn)某個(gè)（或某些）元素要求排在指定位置的問題，可先排這個(gè)（或這幾個(gè)）元素，再排其他元素.當(dāng)然，有時(shí)也會(huì)出現(xiàn)某個(gè)（或某些）位置要求排在指定元素的問題，可先排這個(gè)（或這幾個(gè)）位置，再排其他位置.此類問題直接考慮特殊優(yōu)先法處理.

例3 用數(shù)字1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為（ ）.

A.36 B.48 C.56 D.72

分析：首先明確本題中的數(shù)字問題是排列問題，考慮個(gè)位上排的數(shù)字的限制進(jìn)而優(yōu)先考慮，再結(jié)合分步計(jì)數(shù)原理進(jìn)行分析與解決.

解：由題可知，五位數(shù)要為奇數(shù)，則個(gè)位數(shù)只能是1，3，5中的一個(gè)，可分為兩步：先從1，3，5三個(gè)數(shù)中選一個(gè)作為個(gè)位數(shù)有種，再將剩下的4個(gè)數(shù)字排列得到種，則滿足條件的五位奇數(shù)有=72（個(gè)）.

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于題目中對(duì)一些元素或位置的限制條件，往往可以直接先考慮某個(gè)（或某些）元素.對(duì)于奇數(shù)問題，可以優(yōu)先考慮個(gè)位數(shù)是奇數(shù)的情況，接著再考慮其他位數(shù)的情況，從而得以正確處理與解答.

四、整體捆綁

對(duì)于要求某些元素必須在一起的集團(tuán)問題，可采取暫時(shí)將這些元素組成一個(gè)整體當(dāng)作一個(gè)元素來處理.此類方法經(jīng)常稱為捆綁法.這類問題解題的常用方法是：先將這些特殊元素捆綁成一個(gè)整體，即視為一個(gè)元素，與其余元素進(jìn)行排列或者組合，再考慮所捆綁的元素，從而達(dá)到求解的目的.

例4 記者要為5名志愿者和他們幫助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相鄰但不排在兩端，不同的排法共有（ ）.

A.480種 B.560種 C.720種 D.960種

分析：要求2位老人相鄰，可以把這兩個(gè)元素作為一個(gè)整體加以集團(tuán)化，利用捆綁法來處理即可.

解：先排兩端，從5名志愿者中選取2人排在兩端，有種；再把2位老人看作一個(gè)整體，與剩下的3名志愿者排在中間部分，有種；最后再排2名老人的位置，有種；根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，不同的排法共有960（種）.

點(diǎn)評(píng)：關(guān)鍵是根據(jù)題目條件合理處理相關(guān)的整體性問題，同時(shí)還要對(duì)集團(tuán)內(nèi)的元素進(jìn)行合理的排列與組合的處理.

五、相離插空

對(duì)于要求某些元素不能相鄰的相離問題，可先把其余元素排成一排，再把規(guī)定相離的幾個(gè)元素插入上述幾個(gè)元素間的空位和兩端.此類方法經(jīng)常稱為插空法.

例5 在數(shù)字1，2，3與符號(hào)“＋”，“-”五個(gè)元素的所有全排列中，任意兩個(gè)數(shù)字都不相鄰的全排列的個(gè)數(shù)是＿＿＿＿個(gè).

分析：根據(jù)題目條件，由于任意兩個(gè)數(shù)字都不相鄰，可以先排兩個(gè)符號(hào)，再把3個(gè)數(shù)字相離插入到對(duì)應(yīng)的3個(gè)空檔中即可完成任務(wù).

解：由題意得到：先把兩個(gè)符號(hào)的全排列有種方法，再在形成的3個(gè)空檔中全排列3個(gè)數(shù)字有種方法，即任意兩個(gè)數(shù)字都不相鄰的全排列有=12（種）方法，正確答案為：12.

點(diǎn)評(píng)：在討論問題時(shí)可以排除都不相鄰的數(shù)字，先排符號(hào)，再根據(jù)符號(hào)之間的空檔插入互不相鄰的數(shù)字.關(guān)鍵是準(zhǔn)確找對(duì)插空處理前后的對(duì)應(yīng)元素與對(duì)應(yīng)空檔位置之間的關(guān)系，從而得以正確解答.

六、分組分配

分組分配問題是計(jì)數(shù)中的一個(gè)重點(diǎn)與難點(diǎn)，包括整體均分問題、部分均分問題、不等分問題，同時(shí)又涉及分組后是否有序.解決此類分組分配問題，抓住分組特征，掌握相應(yīng)的計(jì)數(shù)規(guī)律與計(jì)數(shù)公式來轉(zhuǎn)化與應(yīng)用即可.

例6 國家教育部為了發(fā)展貧困地區(qū)的教育，在全國重點(diǎn)師范大學(xué)免費(fèi)培養(yǎng)教育專業(yè)師范生，畢業(yè)后要分到相應(yīng)的地區(qū)任教.現(xiàn)有6個(gè)免費(fèi)培養(yǎng)的教育專業(yè)師范畢業(yè)生要平均分到3所不同的學(xué)校去任教，則有______種不同的分派方法.

分析：根據(jù)題目分析，本題是整體均分問題，把6個(gè)畢業(yè)生平均分成3組，每組2人，再將3組畢業(yè)生分到3所不同學(xué)校，先利用組合中的整體均分，再利用排列計(jì)算.

解：先把6個(gè)畢業(yè)生平均分成3組，有再將3組畢業(yè)生分到3所不同的學(xué)校，有A33種方法，故6個(gè)畢業(yè)生平均分到3所不同的學(xué)校，共有分派方法.

點(diǎn)評(píng)：其實(shí)，解決本題可以直接采用：6個(gè)人分成3組，分配到3個(gè)不同的地方，實(shí)質(zhì)上就是6個(gè)人平均分成三個(gè)不同的小組，故有=90（種）分派方法.

對(duì)于整體均分，將一組n個(gè)不同元素平均分給A、B、C等不同的單位，每個(gè)單位m個(gè)，可先從n個(gè)中選取m個(gè)給A，再從剩下的n-m個(gè)中選取m個(gè)給B，…，依次類推，不同方法種數(shù)為…個(gè)；將一組n個(gè)不同元素平均分成k組，每組m個(gè)，由于某m個(gè)元素先選和后選分組結(jié)果是一樣的，故不同分組方法數(shù)為.解題時(shí)要注意分組后，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以平均分組后一定要除以n為均分的組數(shù)），避免重復(fù)計(jì)數(shù).

對(duì)于計(jì)數(shù)問題，除了以上幾類常見的類型，還有其他一些相關(guān)的類型，解決問題時(shí)要結(jié)合具體的問題加以剖析，掌握相應(yīng)的計(jì)數(shù)規(guī)律與計(jì)數(shù)公式，就能順利解決任意問題，進(jìn)而還能將一些其他的計(jì)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的類型來分析與求解，達(dá)到做一題通一類，掌握一類通一片的目的.F