解決橢圓問(wèn)題的新方向

孫世旭

我們經(jīng)常遇到一些數(shù)學(xué)問(wèn)題計(jì)算量較大、且條件復(fù)雜，將這些復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要思想.比如，數(shù)學(xué)人教版選修3-5中提到，可通過(guò)拉伸或壓縮橢圓，將其轉(zhuǎn)化為圓.焦點(diǎn)在x軸上的橢圓可以縱向拉伸或橫向壓縮成圓，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓可以橫向拉伸或縱向壓縮成圓.

1.拉伸、壓縮圖象的基本原理（縱向拉伸或壓縮至原來(lái)的n倍）

因?yàn)椴粌H橢圓，所有的點(diǎn)、線、圖形都要等倍壓縮或拉伸，所以可以理解為整個(gè)坐標(biāo)系平面的壓縮、拉伸或是坐標(biāo)軸的拉伸或壓縮.由簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)證明，可以得到一些壓縮、拉伸圖象的基本原理.①所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的n倍.②壓縮、拉伸前后，點(diǎn)與點(diǎn)（是否重合）、點(diǎn)與直線（點(diǎn)是否在直線上）、點(diǎn)與圖形（是否在圖形內(nèi)、上、外）、直線與圖形（是否相交、相切、相離）、圖形與圖形（是否包含、內(nèi)切、相交、外切、相離）的位置關(guān)系不變.③圖形面積變?yōu)樵瓉?lái)的n倍.④壓縮、拉伸前后向量合成、分解關(guān)系不變.⑤斜率存在的直線斜率變?yōu)樵瓉?lái)的n倍.⑥直線的平行關(guān)系不變，而斜率存在的直線的垂直關(guān)系改變.⑦平行的兩線段壓縮或拉伸前后長(zhǎng)度之比不變.

2.拉伸、壓縮研究橢圓問(wèn)題的原因

因?yàn)閳A形比橢圓規(guī)則，而且圓有一些橢圓沒(méi)有的性質(zhì)，這就是將橢圓轉(zhuǎn)化為圓來(lái)解決橢圓問(wèn)題簡(jiǎn)單的原因.①圓有垂徑定理（垂直于弦的半徑過(guò)弦中點(diǎn)，過(guò)弦中點(diǎn)的半徑垂直于弦），而橢圓沒(méi)有.②圓上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離均相等，始終等于半徑，而橢圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離不同.③圓的切線與過(guò)切點(diǎn)的半徑有不變的垂直關(guān)系，而橢圓的切線與切點(diǎn)和原點(diǎn)的連線沒(méi)有明確的關(guān)系.

點(diǎn)評(píng)：此題的一般解法較多，但按照常規(guī)解法則比較煩瑣.上述解法利用仿射變換把橢圓變換為圓后，由于圓中三角形面積的計(jì)算比較簡(jiǎn)便，故使本題的解答過(guò)程大大簡(jiǎn)化.endprint