數(shù)學(xué)建模思想融入高等數(shù)學(xué)課程的研究

潘璐+杜勇

摘 要：微元法是一類(lèi)重要的數(shù)學(xué)模型和工具，有著廣泛的應(yīng)用。如何靈活有效的運(yùn)用微元法去解決實(shí)際問(wèn)題，是微積分教學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)。本文通過(guò)舉例分析總結(jié)，將微元法的應(yīng)用步驟和過(guò)程歸納為：①建立適當(dāng)坐標(biāo)系；②選變量，定范圍；③找元素；④求總量。并結(jié)合實(shí)際例子的不同求解方法過(guò)程進(jìn)行比較說(shuō)明。

關(guān)鍵詞：微元法；數(shù)學(xué)建模；轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；做功

一、 序言

高等數(shù)學(xué)是大學(xué)中一門(mén)重要的公共基礎(chǔ)課程，它在物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)及工程技術(shù)等領(lǐng)域中有著廣泛而重要的應(yīng)用，而數(shù)學(xué)建模思想方法是學(xué)習(xí)理解掌握和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)有效的重要途徑。數(shù)學(xué)建模是聯(lián)系現(xiàn)實(shí)世界與數(shù)學(xué)世界的橋梁，整個(gè)數(shù)學(xué)建模過(guò)程就是發(fā)現(xiàn)和分析問(wèn)題，創(chuàng)造性地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的系統(tǒng)過(guò)程。高等數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容中有許多重要的數(shù)學(xué)模型，比如函數(shù)模型、導(dǎo)數(shù)模型、微分模型、積分模型、微分方程模型等，它們大多都是為了解決實(shí)際問(wèn)題而建立起來(lái)的數(shù)學(xué)模型。其中微元法就是解決求總體量的一類(lèi)重要數(shù)學(xué)模型。微元法也稱(chēng)為元素法，是微積分學(xué)的重要思想方法之一。微元法不僅成功地解決了諸如不規(guī)則平面圖形的面積、曲線(xiàn)弧的長(zhǎng)度、旋轉(zhuǎn)體的體積等初等數(shù)學(xué)難以處理的幾何問(wèn)題，而且也廣泛應(yīng)用于力學(xué)、電磁學(xué)以及其他的工程技術(shù)領(lǐng)域中。

如何靈活有效的運(yùn)用微元法去解決實(shí)際問(wèn)題，是微積分教學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)。

二、 微元法的原理及應(yīng)用步驟

牛頓—萊布尼茲公式可理解或解釋為：一個(gè)量的局部微小改變量在整體范圍每一點(diǎn)的無(wú)限累積結(jié)果，就是這個(gè)量在整體范圍的總改變量（或總量）?；蛞粋€(gè)量在整體范圍的總改變量（或總量），就是由這個(gè)量的局部微小改變量在整體范圍上每一點(diǎn)的無(wú)限累積而成。這就是微元法的思想和原理。

（一） 微元法的應(yīng)用條件

如果一個(gè)量Q的總改變量（或總量）滿(mǎn)足算術(shù)相加性（即整體量是部分量的簡(jiǎn)單相加），

則可考慮用微元法求總體量。一般的標(biāo)量都具有此特點(diǎn)，如長(zhǎng)度、面積、體積、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、質(zhì)量、功等等。如果Q是一個(gè)向量，如引力、場(chǎng)強(qiáng)等。則向量之和不滿(mǎn)足簡(jiǎn)單的算術(shù)相加性，但它在某一固定方向上的分量滿(mǎn)足算術(shù)相加性。所以，可以對(duì)向量在某一固定方向上用微元法求其分量之和，然后再按向量合成方法求得總向量。

（二） 微元法的應(yīng)用步驟

微元法的應(yīng)用過(guò)程可歸納為下列幾個(gè)步驟：①建立適當(dāng)坐標(biāo)系；②選變量，定范圍Ω；③找元素dQ；④求總量Q=∫QdQ。其中，坐標(biāo)系的選擇，一般有數(shù)軸、直角坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系、球面坐標(biāo)系等，要根據(jù)所求量的分布范圍特征（比如對(duì)稱(chēng)性等）去選擇。變量的選擇，一般根據(jù)選定的坐標(biāo)系和問(wèn)題的特點(diǎn)去選擇。若所求量分布在線(xiàn)上，則一般選一個(gè)變量；若分布在面上，則一般選兩個(gè)變量；若分布在立體上，則一般選三個(gè)變量。應(yīng)根據(jù)所求量分布的范圍特點(diǎn)，以選擇較少的變量并使計(jì)算總量的積分過(guò)程簡(jiǎn)單容易為原則。范圍Ω的確定，一般就是把研究對(duì)象向變量所在的坐標(biāo)系投影而得到的區(qū)域范圍。元素dQ的尋找，一般是對(duì)選定的變量都給以增量，在對(duì)應(yīng)的局部微小范圍內(nèi)，尋找Q的部分量的近似值而得到元素dQ（局部以不變近似代替變化）。找元素是比較困難的一步，也是最重要的一步?？偭康挠?jì)算，Q=∫QdQ就是無(wú)限累積的結(jié)果，也就是把找到的元素在確定的范圍上積分的過(guò)程。根據(jù)所選變量的個(gè)數(shù)分別為一重積分、二重積分和三重積分等。

三、 微元法的應(yīng)用舉例

（一） 求質(zhì)量。不同幾何體的質(zhì)量計(jì)算公式為m=∫Qdm，其中ds、dS、dV分別表示弧長(zhǎng)元素、面積元素和體積元素，ρ為密度函數(shù)。上述公式中，當(dāng)密度ρ=1時(shí)，總質(zhì)量公式就變成對(duì)應(yīng)的曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)、曲面的面積和立體的體積公式了。

下面對(duì)立體質(zhì)量的計(jì)算過(guò)程作一說(shuō)明：

1. 在直角坐標(biāo)系下

以上6種解法中，解法1、2、3選取變量較少，具有一定的特殊性；解法4、5、6選取變量較多，具有一般性。具體求解時(shí)應(yīng)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題靈活運(yùn)用。

四、 結(jié)語(yǔ)

微元法是微積分學(xué)的重要思想方法之一，也是一類(lèi)重要的數(shù)學(xué)模型，它在眾多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。應(yīng)用微元法的關(guān)鍵是選取適當(dāng)?shù)淖兞亢蛯ふ以?。變量的選擇應(yīng)使元素好找，并且總量積分好算。應(yīng)根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)靈活地建立坐標(biāo)系并選取變量，一般盡量選取比較少的變量，并使問(wèn)題簡(jiǎn)化，容易求解。尋找元素時(shí)，一般是通過(guò)在局部以不變近似代替變化而得到部分量的近似值，即為所求的元素。但要注意近似代替后的誤差是自變量改變量的高階無(wú)窮小。

參考文獻(xiàn)：

[1] “高等數(shù)學(xué)”第五版[G].同濟(jì)大學(xué)出版社.

[2] “大學(xué)物理”[G].人民郵電出版社.

[3] 關(guān)于微元法的一個(gè)注記[G].方濤上海工程技術(shù)大學(xué)學(xué)報(bào)，2015，6.

作者簡(jiǎn)介：潘璐，杜勇，甘肅省蘭州市，蘭州交通大學(xué)博文學(xué)院。endprint