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    自主變式創(chuàng)編新題,提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維力

    2018-02-05 04:39:37吳森雄
    師道·教研 2018年1期
    關(guān)鍵詞:解題思維學(xué)生

    吳森雄

    “課標(biāo)”指出“有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不能單純地模仿和記憶”“學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)應(yīng)當(dāng)是一個(gè)生動(dòng)活潑的、主動(dòng)的和富有個(gè)性的過(guò)程”。這個(gè)過(guò)程是數(shù)學(xué)思維不斷拓寬,不斷加深,且多維交織,高速運(yùn)行的過(guò)程。無(wú)論是新課講學(xué),還是練習(xí)復(fù)習(xí),教師都應(yīng)以格外重視思維的訓(xùn)練,以思維能力為導(dǎo)向,避免知識(shí)的機(jī)械填鴨。中考復(fù)習(xí)時(shí)間緊,任務(wù)重,題目千變?nèi)f化,題海戰(zhàn)術(shù)要不得,那么,如何有效地提升學(xué)生的思維力呢?自主變式,創(chuàng)編新題,是一種有效的復(fù)習(xí)講評(píng)策略。下文將結(jié)合《幾何變換——旋轉(zhuǎn)》這節(jié)課的具體過(guò)程而談,與讀者分享。

    一、出示典例,建構(gòu)思維起點(diǎn)

    典型例題蘊(yùn)藏著典型的數(shù)學(xué)思想與方法。掌握典型例題的特點(diǎn)與解題方法,有助于學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的構(gòu)建。教學(xué)中要善于挖掘這類例習(xí)題,巧妙改編,即通過(guò)一個(gè)典型的例題,最大可能的覆蓋知識(shí)點(diǎn),把分散的知識(shí)點(diǎn)串成一條線,往往會(huì)起到意想不到的效果,有利于知識(shí)的建構(gòu)。

    教學(xué)片斷:

    如圖,點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上,∠EAF=45°,連接EF,則EF=BE+DF,說(shuō)明理由。

    生1:因?yàn)锽E、DF不在同一條直線上,根據(jù)“截長(zhǎng)補(bǔ)短”原理,通過(guò)旋轉(zhuǎn)則可以實(shí)現(xiàn)BE、DF在同一直線上。

    師:很好,“截長(zhǎng)補(bǔ)短”是解決“線段和差”問(wèn)題的主要方法。

    這道題難度不大,接近學(xué)生的最近發(fā)展區(qū),大部分同學(xué)能夠自主完成。

    解:∵正方形ABCD中,AB=AD,∠BAD=∠ADC=∠B=90°,∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADE′,點(diǎn)F、D、E′在一條直線上。

    ∴∠E′AF=90°-45°=45°=∠EAF.

    又∵AE′=AE,AF=AF,∴△AE′F≌△AEF(SAS),∴EF=E′F=DE′+DF=BE+DF.

    教師引導(dǎo)學(xué)生逐句分析題設(shè)中所給出的各個(gè)條件,明確其在解題過(guò)程中所起到的作用,形成方法技能;接著引導(dǎo)學(xué)生得到本題的4個(gè)關(guān)鍵性條件:①ABCD是四邊形,點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上;②AB=AD;③∠B=∠D=90°;④∠EAF=■∠BAD。結(jié)論是求EF=BE+DF(為接下來(lái)的例題改編做準(zhǔn)備)。

    師:有一種不需“刷題”也能提高復(fù)習(xí)效率和成績(jī)的方法,那就是創(chuàng)編題目進(jìn)行變式,今天我們一起來(lái)體驗(yàn)改編試題變式的魔力。

    師:所謂變式,就是改變?cè)}條件和結(jié)論,或把條件和結(jié)論互換位置,或轉(zhuǎn)換問(wèn)題的內(nèi)容和形式,從而變成一道新題。如剛才的題目有4個(gè)條件:①ABCD是四邊形,點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上;②AB=AD;③∠B=∠D=90°;④∠EAF=■∠BAD;結(jié)論是求EF=BE+DF。請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)變式方法對(duì)題目進(jìn)行改編。

    二、逆轉(zhuǎn)變式,翻轉(zhuǎn)思維緯度

    逆轉(zhuǎn)變式是題目結(jié)構(gòu)的變式,是指變換題目的條件或結(jié)論,而題目的實(shí)質(zhì)不變,以便從不同角度,不同方面揭示題目本質(zhì)的一種思維策略。

    教學(xué)片斷:

    生3:根據(jù)圖形,我把題目的題設(shè)條件∠EAF=■∠BAD和結(jié)論EF=BE+DF互換位置,改成:

    如圖,點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上,連接EF,EF=BE+DF,則∠EAF=45°,說(shuō)明理由。

    師:生3認(rèn)真觀察圖形特征,把圖形語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言,為大家做出了很好的示范,題目關(guān)鍵性條件和結(jié)論互換位置,改編成一道新題,其實(shí)是一道曾經(jīng)的中考舊題。大家試試看,能不能給出答案。

    學(xué)生驚訝地看著生3,議論紛紛,原來(lái)中考題目離他們那么近。他們對(duì)這道題興趣盎然,都想成為下一道中考題目的命題人。

    在例題的引領(lǐng)下,學(xué)生很快給出解題過(guò)程(解題過(guò)程略)。

    三、拓展變式,拓寬思維深度

    牛頓說(shuō)過(guò):“沒(méi)有大膽的猜想就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)?!敝袑W(xué)生的想象力豐富,因此,可以通過(guò)例題所提供的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),鼓勵(lì)、引導(dǎo)學(xué)生大膽地進(jìn)行拓展變式創(chuàng)編新題,拓寬思維深度,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維和發(fā)散性思維。

    教學(xué)片斷:

    生4:我想把題目條件拓展一下,其中條件③∠B=∠D=90°等于90°去掉,即③∠B=∠D,題目變式為在四邊形ABCD中,點(diǎn)E、F分別在BC、CD上,當(dāng)AB=AD,∠B=∠D, ∠EAF=■∠BAD時(shí),還有EF=BE+DF嗎?不過(guò)這只是我的猜想。

    師:有創(chuàng)意,很多命題都經(jīng)歷先猜想后證明的過(guò)程,我們一起來(lái)幫助他證明這個(gè)命題能否成立吧。

    小組討論過(guò)程中,同學(xué)們遇到一個(gè)棘手問(wèn)題,由于題目條件的改變導(dǎo)致圖形的變化,那怎么畫圖呢?沒(méi)圖形便談不上分析和解答了。

    師:研究一個(gè)問(wèn)題,常從特例入手,同學(xué)們可把圖中的正方形改成菱形。

    生5:如圖,在菱形ABCD中,點(diǎn)E、F分別在BC、CD上,當(dāng)∠BAD=120°,∠EAF=60°時(shí),還有EF=BE+DF嗎?(學(xué)生把符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為圖形語(yǔ)言,利用幾何畫板很快畫好圖。)

    師:符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為圖形語(yǔ)言是題目改編的關(guān)鍵,同學(xué)們一起思考這道題。

    在例題的引領(lǐng)下,學(xué)生很快給出解題過(guò)程。但有同學(xué)懷疑自己的解題過(guò)程和結(jié)論,因與預(yù)設(shè)結(jié)果不一致。

    生6:把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°至△ADE′,如圖(2),連結(jié)E′F,根據(jù)菱形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AE=AE′,∠EAF=∠E′AF,利用“SAS”證明△AEF≌△AE′F,得到EF=E′F;由于∠ADE′+∠ADC=120°,則點(diǎn)F、D、E′不共線,所以DE′+DF>EF,即BE+DF>EF。

    師:思路清晰,有根有據(jù)。

    生7:這道題不完美,能否把題設(shè)條件改編一下,使結(jié)果EF=BE+DF成立呢?

    小組討論2分鐘后——

    生8:我觀察到“由于∠ADE′+∠ADC=120°,則點(diǎn)F、D、E′不共線,所以根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊即可得DE′+DF>EF”,如果旋轉(zhuǎn)后F、D、E′ 共線,應(yīng)該就有EF=BE+DF。endprint

    師:觀察細(xì)致入微,根據(jù)思路先把題目改編一下。

    生9:在四邊形ABCD中,點(diǎn)E、F分別在BC、CD上,當(dāng)AB=AD,∠B+∠D=180,∠EAF=■∠BAD時(shí),EF=BE+DF嗎?

    符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為圖形語(yǔ)言是這道題的關(guān)鍵,學(xué)生根據(jù)題目條件不斷調(diào)整草圖,最后利用幾何畫板很快畫好圖。

    在例題的引領(lǐng)下,學(xué)生很快給出解題過(guò)程。

    學(xué)生10板書如下:

    當(dāng)AB=AD,∠B+∠D=180°,∠EAF=■∠BAD時(shí),EF=BE+DF成立.

    生11:能得到這樣的一個(gè)命題嗎?“在四邊形ABCD中,點(diǎn)E、F分別在BC、CD上,當(dāng)AB=AD,∠B+∠D=180°,∠EAF=■∠BAD時(shí),EF=BE+DF.”

    師:命題 成立,大家回去證明。這是中考題目中的“半角模型”。改編題目進(jìn)行變式讓我們了解了中考命題的奧秘。請(qǐng)同學(xué)們對(duì)這道題充分思考并進(jìn)行改編,找到更多的變式。老師給同學(xué)們一點(diǎn)提示,可連接BD,交AE、AF于點(diǎn)M、N,研究BM、MN、DN三者關(guān)系?也可以對(duì)正方形的邊進(jìn)行賦值,計(jì)算其他邊長(zhǎng)或圖形面積等。

    拓展變式,得出新題。讓學(xué)生對(duì)教師提供的材料,利用自己已有的知識(shí)去探索、猜想、建構(gòu),解決最近發(fā)展區(qū)的問(wèn)題,這是培養(yǎng)學(xué)生思維創(chuàng)造性的一種有效途徑。

    課后再三思——

    反思一:尊重學(xué)生的思維主體。以往的數(shù)學(xué)課,都是由教師對(duì)題目改編進(jìn)行變式,同學(xué)解決教師提出的問(wèn)題,最后總結(jié)歸納這一類題的解決辦法。長(zhǎng)此以往,學(xué)生就缺乏了主觀能動(dòng)性,造成“老師讓我做什么就做什么”的懶惰思維。尊重學(xué)生的思維主體性,讓學(xué)生主動(dòng)對(duì)題目經(jīng)行再創(chuàng)造,再加工,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣,降低對(duì)幾何學(xué)習(xí)的恐懼?!拔业恼n堂我做主”,學(xué)生主動(dòng)投入到數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中,思維的發(fā)展,能力的增長(zhǎng),都變成了主動(dòng)生長(zhǎng)的過(guò)程。

    反思二:促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展。題目的每一次創(chuàng)編變式都需要大量的縝密思考,創(chuàng)編變式不可能一蹴而就,曲折的過(guò)程更能暴露學(xué)生思維的痛點(diǎn),及時(shí)修正才能通往正確的方向。因此,要不斷增強(qiáng)課堂的開放程度,抓住思維的起點(diǎn)、過(guò)程和誘因,創(chuàng)造廣闊的思維空間,為學(xué)生提供觀察、思考、交流、表現(xiàn)的機(jī)會(huì),養(yǎng)成多思的習(xí)慣,讓學(xué)生在開放的思維活動(dòng)中獲取知識(shí),提升思維能力,提升思維品質(zhì)。

    反思三:激發(fā)學(xué)生的思維創(chuàng)造性。每一次創(chuàng)編題目都需要學(xué)生根據(jù)已有知識(shí)進(jìn)行大膽的猜想。沒(méi)有大膽的猜想,就沒(méi)有偉大的創(chuàng)造。在數(shù)學(xué)教學(xué)中,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行積極、大膽地進(jìn)行猜想和變式,讓學(xué)生在猜想和變式過(guò)程中更好建構(gòu)知識(shí),并運(yùn)用變式對(duì)知識(shí)進(jìn)行再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造,能有效地提高學(xué)生的創(chuàng)新能力。【本文為廣東省教育研究院教育研究課題《基于“快樂(lè)和能力導(dǎo)向”的初中學(xué)科三年一體化建設(shè)的策略研究》(GDJY-2015-A-b069)研究成果之一】

    責(zé)任編輯徐國(guó)堅(jiān)endprint

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