為何是“最困難的一次”？

于嵐

復(fù)數(shù)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)江蘇高考一般只考查一個(gè)5分的填空題，很多教師往往只看到5分的價(jià)值，對(duì)復(fù)數(shù)章節(jié)了解研究不深，例如在概念課“數(shù)系的擴(kuò)充”教學(xué)中，簡(jiǎn)單照搬教材內(nèi)容，很快地提出概念、形成規(guī)則，然后留出大量時(shí)間訓(xùn)練解題，其實(shí)，在數(shù)學(xué)史中，復(fù)數(shù)的產(chǎn)生其實(shí)是一個(gè)曲折又漫長(zhǎng)的過(guò)程，很多數(shù)學(xué)家起初都無(wú)法突破根深蒂固的認(rèn)知障礙，覺(jué)得虛數(shù)是“虛幻”的，由萌芽階段直到最終為人們普遍接受和承認(rèn)，經(jīng)歷了兩百多年的時(shí)間，是數(shù)系擴(kuò)充史上“最困難的一次”，所以筆者認(rèn)為，應(yīng)該認(rèn)真學(xué)習(xí)研究和思考，“最困難”體現(xiàn)在哪些方面？如何設(shè)置情境和問(wèn)題進(jìn)行解決？如何充分利用克服困難的過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過(guò)程的必要性和合理性，認(rèn)清概念本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生理性思維？

教師在課堂上講什么當(dāng)然是重要的，然而學(xué)生想的是什么，卻更是千百倍地重要，學(xué)生已有牢固的觀(guān)點(diǎn)：解方程時(shí)遇到負(fù)數(shù)開(kāi)平方，無(wú)實(shí)數(shù)解，

難點(diǎn)1方程x²+1=0為什么非要有解呢？

1情境設(shè)置

師：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的初始，小學(xué)剛開(kāi)始學(xué)習(xí)的是什么數(shù)？數(shù)的運(yùn)算呢？

生1：0、1、2、3這些數(shù)…也就是自然數(shù)、運(yùn)算是加減法，

師：第一次遇到題目1-3=？當(dāng)時(shí)的你有何想法？怎么解決的？

生2：第一次啊…覺(jué)得沒(méi)法做，很困惑，后來(lái)學(xué)了新的數(shù)：負(fù)整數(shù)，問(wèn)題就解決了，

師：哦，是引入了新的數(shù)來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題的，后來(lái)，數(shù)的運(yùn)算增加了乘除法，第一次遇到題目2÷3=？當(dāng)時(shí)的你有何想法？怎么解決的？

生2：覺(jué)得沒(méi)法做，很困惑，引入新數(shù)：分?jǐn)?shù)，問(wèn)題解決，

師：再后來(lái)開(kāi)始學(xué)習(xí)方程，第一次遇到題目解方程x²-2=0？當(dāng)時(shí)的你有何想法？怎么解決的？

生2：還是覺(jué)得沒(méi)法做，很困惑，引入新數(shù)：無(wú)理數(shù)，問(wèn)題解決.

（全班氣氛熱烈，覺(jué)得真是好相似的“心路歷程”）

師：中國(guó)古代為大家思想家老子的哲學(xué)主張之一，就是“無(wú)中生有”，天下萬(wàn)物，起始于無(wú)，我們所見(jiàn)的一切存在，都是從無(wú)開(kāi)始，從“沒(méi)有”到“有”就是自然發(fā)展的規(guī)律，

設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生體會(huì)從不可能變?yōu)榭赡艿霓q證思想，并為理清數(shù)集擴(kuò)充的主線(xiàn)做好鋪墊.

2數(shù)學(xué)建構(gòu)

師：作為高中生，見(jiàn)多識(shí)廣，已經(jīng)見(jiàn)識(shí)過(guò)各種各樣的數(shù)以及它們所構(gòu)成的數(shù)集，回憶一下，學(xué)習(xí)過(guò)哪些數(shù)集？它們之間的關(guān)系？

生3：自然數(shù)集N，整數(shù)集Z，有理數(shù)集Q，實(shí)數(shù)集R. N?Z?Q?R.

師：可見(jiàn)，數(shù)集是在一步步不斷擴(kuò)充的，第一步，自然數(shù)集N為什么要擴(kuò)充到整數(shù)集Z？怎么擴(kuò)充的？

生4：在自然數(shù)集內(nèi)，減法運(yùn)算，小數(shù)減大數(shù)受到限制（結(jié)果未必是自然數(shù)）.

師：如果從“解方程”角度看呢？

生4：方程x+2=0，在自然數(shù)集中無(wú)解，

師：所以，需要引入什么樣的新數(shù)呢？

生4：負(fù)整數(shù)，

師：引入負(fù)整數(shù)后，數(shù)集從自然數(shù)集N擴(kuò)充到整數(shù)集Z.

師：數(shù)集為什么要繼續(xù)擴(kuò)充？怎么擴(kuò)充的？

生4：（有了前面的經(jīng)驗(yàn)，侃侃而談）在整數(shù)集內(nèi)，除法運(yùn)算（不能整除的情況）受到限制，方程3x-2=0在在整數(shù)集中無(wú)解，引入分?jǐn)?shù)，數(shù)集從整數(shù)集Z擴(kuò)充到有理數(shù)集Q.在有理數(shù)集內(nèi)，正數(shù)開(kāi)平方開(kāi)不盡，方程x²-2=0在有理數(shù)集中無(wú)解，引入無(wú)理數(shù)，數(shù)集從有理集Q擴(kuò)充到實(shí)數(shù)集R.

師：生4說(shuō)得非常好，那么數(shù)集擴(kuò)充的方法和原則是什么呢？

生4：（自告奮勇），老師，我來(lái)回答，我認(rèn)為數(shù)集擴(kuò)充的方法是就引入新的數(shù)，

師：這個(gè)新的數(shù)是隨便引入的嗎？引入時(shí)有什么原則嗎？

生4：原有的運(yùn)算律和運(yùn)算法則仍然成立，還要解決有些運(yùn)算在原數(shù)集中不能進(jìn)行的問(wèn)題，

師：大家為生4鼓掌，他為我們總結(jié)了數(shù)集擴(kuò)充的一般規(guī)律！

師：方程x²+1=0在實(shí)數(shù)集內(nèi)無(wú)解，我們可以想辦法讓它有解嗎？

全班（異口同聲）：可以，引入新數(shù).（難點(diǎn)一圓滿(mǎn)解決）

設(shè)計(jì)意圖每次數(shù)集擴(kuò)充對(duì)我們的啟示是什么？數(shù)的發(fā)展的真正阻力在于突破根深蒂固的認(rèn)知障礙，應(yīng)通過(guò)師生討論、交流或教師點(diǎn)撥，使學(xué)生明確：（1）世上本沒(méi)有數(shù)，數(shù)是人類(lèi)偉大的創(chuàng)造；（2）人們遇到需要時(shí)，不斷創(chuàng)造新的數(shù)，以解決原先無(wú)法解決的問(wèn)題，歸納數(shù)系擴(kuò)充的一般規(guī)律和方法，使學(xué)生充分理解其必要性和合理性，感悟“可能”與“不可能”之間的辯證唯物關(guān)系，體會(huì)“特殊”到“一般”的數(shù)學(xué)思想.[1]

難點(diǎn)2引入什么新數(shù)呢？

師：引入負(fù)整數(shù)、分?jǐn)?shù)、無(wú)理數(shù)時(shí)，新數(shù)的形式？

生5：分別有負(fù)號(hào)、分?jǐn)?shù)線(xiàn)和根號(hào)這些符號(hào)，

師：都有標(biāo)志性的符號(hào)，因此引入的新數(shù)也應(yīng)該有一個(gè)標(biāo)志性的統(tǒng)一的“符號(hào)”，而且要解決平方等于負(fù)數(shù)這個(gè)問(wèn)題，那么，引入什么樣的新數(shù)呢？

（全班安靜，學(xué)生應(yīng)該一時(shí)難以回答）

師：引入的新數(shù)是不是實(shí)數(shù)？

全班：不是，

師：“實(shí)”的反義詞是虛，那就叫“虛數(shù)”吧，虛數(shù)英文單詞的首字母是i，我們就用i來(lái)表示虛數(shù)吧，那么i要滿(mǎn)足什么呢？

生6：i2為負(fù)數(shù)，

師：i2可以為任意負(fù)數(shù)？

全班同學(xué)議論，很多同學(xué)認(rèn)為肯定不行，肯定要規(guī)定i2到底等于那個(gè)負(fù)數(shù)，

師：好吧，你們覺(jué)得應(yīng)該規(guī)定i2_？

生7：應(yīng)該規(guī)定：i2=一1，因?yàn)槿魏我粋€(gè)負(fù)數(shù)，都可以寫(xiě)成-a=a×（-1）（a>0）的形式，所以只要找到平方等于-1的數(shù)即可，

師：你們覺(jué)得他說(shuō)得有道理嗎？全班同學(xué)表示認(rèn)可，

師：謝謝生7幫我們解決了這個(gè)問(wèn)題，小結(jié)一下，我們引入了一個(gè)新數(shù)i，準(zhǔn)確地說(shuō)它叫虛數(shù)單位（“單位”在哪，生7其實(shí)已經(jīng)回答了）.并規(guī)定：（1）i2=-1；（2）實(shí)數(shù)可以與它進(jìn)行四則運(yùn)算，進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí)，原有加、乘運(yùn)算律仍然成立，endprint

設(shè)計(jì)意圖虛數(shù)單位i的單位性往往被忽視、略過(guò)，其實(shí)意義重大，平方等于負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)本有無(wú)窮多，但只引入一個(gè)平方等于-1的數(shù)，就可以不變應(yīng)萬(wàn)變，

難點(diǎn)3復(fù)數(shù)的代數(shù)一般形式

師：現(xiàn)在你們能寫(xiě)出方程x²+1=0解嗎？方程x²+x+l=0的解呢？你還能寫(xiě)一些類(lèi)似的數(shù)嗎？這些數(shù)的共同形式？

生8：方程x²+1=0的解為x=i或x=-i；方程x²+x+1=0的解為x=-1/2+√3/2i或x=-1/2-√3/2i.這些數(shù)形式相同，都可以寫(xiě)成形如a+bi.

生9：就寫(xiě)成a+bi（a，b∈R）就行了，因?yàn)闇p法是加法的逆運(yùn)算，可以轉(zhuǎn)化為加法，

師：既然實(shí)數(shù)可以與虛數(shù)單位i進(jìn)行四則運(yùn)算，原有加、乘運(yùn)算律仍然成立，這些數(shù)形式相同，都可以寫(xiě)成形如a+bi（a，b∈R）的數(shù)，我們把它們叫做復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)通常用字母z表示，其中a，b分別叫做復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部，

設(shè)計(jì)意圖學(xué)生可以自己歸納得出復(fù)數(shù)的代數(shù)一般形式，但是為什么復(fù)數(shù)的代數(shù)形式中只出現(xiàn)了加號(hào)和乘號(hào)？因?yàn)闇p法和除法是加法和乘法的逆運(yùn)算，可以轉(zhuǎn)化為加法和乘法，

難點(diǎn)4復(fù)數(shù)有什么特征？與實(shí)數(shù)的區(qū)別聯(lián)系？

師：兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的條件？

生10：兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件是它們的實(shí)部和虛部分別相等，

師：試比較復(fù)數(shù)1+ 2i和2+i的大小，

全班討論，得出結(jié)論，無(wú)法比較，復(fù)數(shù)由實(shí)部和虛部共同確定，

師：復(fù)數(shù)如何分類(lèi)？

生11：當(dāng)且僅當(dāng)b=0時(shí)，復(fù)數(shù)z就是實(shí)數(shù)a；當(dāng)b≠0時(shí)，復(fù)數(shù)z叫做虛數(shù)；當(dāng)a=0且b≠0時(shí)，復(fù)數(shù)z=bi叫做純虛數(shù)，

師：實(shí)數(shù)是特殊的復(fù)數(shù)，對(duì)于數(shù)的分類(lèi)，其實(shí)每一次數(shù)系擴(kuò)充時(shí)，都有所體現(xiàn)，類(lèi)比、分類(lèi)、系統(tǒng)化，數(shù)學(xué)思想一脈相承，融會(huì)貫通，

師：復(fù)數(shù)能構(gòu)成數(shù)集嗎？

生12：每個(gè)復(fù)數(shù)都是由有序?qū)崝?shù)對(duì)（a，b）唯一確定的，滿(mǎn)足集合定義，構(gòu)成復(fù)數(shù)集，

師：復(fù)數(shù)集用字母C表示，

師：復(fù)數(shù)集與其它數(shù)集之間的關(guān)系？

生12： N￠2￠Q￠R￠C.

設(shè)計(jì)意圖從復(fù)數(shù)形式、復(fù)數(shù)相等、復(fù)數(shù)能否比大小，復(fù)數(shù)分類(lèi)，等方面來(lái)體會(huì)復(fù)數(shù)的“二元特征”，“復(fù)數(shù)”的“復(fù)”正體現(xiàn)在此，復(fù)數(shù)對(duì)實(shí)數(shù)而言，是一次很大的“跨越”，從“一元數(shù)”變?yōu)椤岸獢?shù)”.

3數(shù)學(xué)應(yīng)用

例1寫(xiě)出復(fù)數(shù)4，2-31，0，-1/2+4/3i，5+2i，6i的實(shí)部與虛部，并指出哪些是實(shí)數(shù)，哪些是虛數(shù)，哪些是純虛數(shù)？

不能因?yàn)槔}的簡(jiǎn)單，就一帶而過(guò)，要體現(xiàn)在具體情境下加深對(duì)復(fù)數(shù)概念的理解的價(jià)值，

例2實(shí)數(shù)m取什么數(shù)值時(shí)，復(fù)數(shù)z=m（m-1）+（m-l）i是：

（1）實(shí)數(shù)？

（2）虛數(shù)？

（3）純虛數(shù)？

注意例題的規(guī)范性、示范性，

例3已知（x+y）+（x-2yi=（2x-5）+（3x+y）i，其中x，y∈R，求x與y，

加深對(duì)復(fù)數(shù)“二元數(shù)”特征的理解.

4課堂小結(jié)

從實(shí)數(shù)集擴(kuò)充到復(fù)數(shù)集，我們遇到了那些困難如何解決的？

5深化與拓展

（學(xué)生課后查閱相關(guān)資料，思考，交流）

（1）教材中為什么是“數(shù)系”的擴(kuò)充，而不是“數(shù)集”的擴(kuò)充？

完整的數(shù)的體系應(yīng)該是指：數(shù)+運(yùn)算，數(shù)系除了研究數(shù)集，還要研究相應(yīng)的運(yùn)算，運(yùn)算法則和運(yùn)算律才是數(shù)的本質(zhì)所在，為什么要解方程？為什么方程無(wú)解需要引入新數(shù)？其實(shí)解方程的本質(zhì)就是數(shù)的運(yùn)算，所以不僅要注意數(shù)的擴(kuò)充，還要從“運(yùn)算”的角度進(jìn)行強(qiáng)調(diào)，不僅研究復(fù)數(shù)集，還要研究復(fù)數(shù)運(yùn)算.

（2） 21和i可以比大小嗎？

再次深化理解復(fù)數(shù)的“二元數(shù)”特點(diǎn)，也為復(fù)數(shù)的幾何意義做好鋪墊.

（3）虛數(shù)是“虛構(gòu)”嗎？虛數(shù)客觀(guān)存在嗎？

這應(yīng)該是本節(jié)內(nèi)容學(xué)生最難克服的的認(rèn)知障礙，數(shù)學(xué)來(lái)源生活，負(fù)數(shù)、分?jǐn)?shù)、無(wú)理數(shù)（如：√2是邊長(zhǎng)為1的正方形對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)度）在現(xiàn)實(shí)生活中都能找到，引入時(shí)學(xué)生很容易體會(huì)，這些新的數(shù)都不是隨便虛構(gòu)的，而是真實(shí)客觀(guān)存在的，但虛數(shù)是否真的存在，是數(shù)學(xué)家們虛構(gòu)出來(lái)的嗎？復(fù)數(shù)在平時(shí)生活中很難找到模型，很難直接感知，復(fù)數(shù)其實(shí)有著重要的物理背景，早在18世紀(jì)，就有人把復(fù)數(shù)應(yīng)用于流體動(dòng)力學(xué)以及制作地圖，到了20世紀(jì)，復(fù)數(shù)在物理學(xué)上的應(yīng)用越加廣泛，電工學(xué)利用復(fù)數(shù)表示交流電，量子力學(xué)中用復(fù)數(shù)表示波函數(shù)，此外，在空氣動(dòng)力學(xué)、彈性理論、位勢(shì)理論、熱流、靜電通量、周期現(xiàn)象等方面都用到復(fù)數(shù)，但對(duì)于高中生來(lái)講，非常深?yuàn)W困難，對(duì)于有興趣的學(xué)生，可以上網(wǎng)查閱提供相關(guān)資料，教師給予一定幫助.

（4）對(duì)于本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，還有哪些疑問(wèn)和想法？

例如：①實(shí)數(shù)集擴(kuò)展到復(fù)數(shù)集后，很多函數(shù)的定義域是否也可以由實(shí)數(shù)集擴(kuò)展到復(fù)數(shù)集？如y= sin（i），是否有意義？②復(fù)數(shù)集能否繼續(xù)擴(kuò)充？是否存在“三元數(shù)”？

課后反思一些問(wèn)題可以不用每個(gè)學(xué)生都思考，也許只有極少數(shù)學(xué)生去思考，甚至沒(méi)有學(xué)生思考，但是教師應(yīng)該比學(xué)生想得多、想得深，高瞻遠(yuǎn)矚，深思熟慮，做學(xué)生的引路人，

波利亞總結(jié)的“教師十誡”中提到：教師要對(duì)自己講的課題有興趣；要懂得自己講的課題，[2]如果教師沒(méi)有仔細(xì)研究過(guò)復(fù)數(shù)的歷史和研究?jī)r(jià)值，沒(méi)有弄清復(fù)數(shù)的來(lái)龍去脈和復(fù)數(shù)的本質(zhì)，把教材中的“引入”和“規(guī)定”，看作像公理一樣毋庸置疑，整個(gè)教學(xué)過(guò)程就會(huì)不可避免地帶著“不求甚解”的意味，很大地制約了教師對(duì)新課標(biāo)要求的把握和對(duì)教材內(nèi)容的優(yōu)化組織，所以一線(xiàn)數(shù)學(xué)教師應(yīng)不斷努力提高自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，用適當(dāng)?shù)牟牧线M(jìn)行充分地準(zhǔn)備，備好概念課的“難點(diǎn)”，引導(dǎo)學(xué)生抓住概念本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生理性嚴(yán)謹(jǐn)深度的思維.

參考文獻(xiàn)

[1]李昌官.布盧姆認(rèn)知目標(biāo)新分類(lèi)指導(dǎo)下的數(shù)學(xué)一數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的概念教學(xué)設(shè)計(jì)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2012，3（21）： 67-71

[2]喬治.波利亞.數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)——對(duì)解題的理解、研究和講授[M].北京：科學(xué)出版社， 2006endprint