分類討論思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

摘 要：分類討論思想應(yīng)用在高中數(shù)學(xué)解題中能有效幫助學(xué)生找準(zhǔn)解題的關(guān)鍵點(diǎn)，對學(xué)生數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練有著非常重要的意義。近幾年來利用分類討論思想解題已經(jīng)成為高考的重點(diǎn)和難點(diǎn)，也是學(xué)生最容易丟分的地方。因此需要我們加深對分類討論思想的理解，明白其標(biāo)準(zhǔn)和原則，鍛煉學(xué)生的邏輯思維能力，更好地將其應(yīng)用到數(shù)學(xué)解題中。

關(guān)鍵詞：分類討論思想；高中數(shù)學(xué)；解題；應(yīng)用

在我國，對數(shù)學(xué)思想方法的研究起步較晚，進(jìn)入21世紀(jì)之后才逐漸展開了這方面的研究。雖說也涌現(xiàn)了一些較為新穎的研究成果，但總體的研究進(jìn)程仍較為緩慢。所以當(dāng)前對分類討論思想的研究仍未形成一個完整的理論體系，結(jié)合學(xué)生在高考中的表現(xiàn)分析，有關(guān)于這類題目學(xué)生的得分率較低。因此，推進(jìn)分類討論思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用已經(jīng)成為提高學(xué)生成績所必須要面對的問題。將分類討論思想應(yīng)用到高中數(shù)學(xué)的解題中去，不僅能夠把數(shù)學(xué)的解題過程化繁為簡，提高解題速度，還能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

一、 分類討論思想的基本概述

1. 分類討論的思想

分類討論思想在高中數(shù)學(xué)解題中經(jīng)常使用，在解答某一題目時，當(dāng)解答到某一步之后便不能再用固定的模式繼續(xù)解答，這是由于被研究的問題中會包含多種情況，這樣就必須在題目條件所限定的范圍內(nèi)劃分子區(qū)域，在子區(qū)域內(nèi)進(jìn)行求解，這就是分類討論思想的基本概念。更具體來說，分類討論思想是以概念的劃分以及集合的分類為基礎(chǔ)的思想方法。實際解題中應(yīng)用分類討論思想需要遵循由大劃小，由整體劃部分，由一般劃特殊的原則。雖說分類討論思想的重點(diǎn)在“分”，但是完成“分”之后，還應(yīng)該將其組合起來，由“合”到“分”再到“合”，便是分類討論思想的精髓。

2. 分類討論的標(biāo)準(zhǔn)

我們也可以把分類稱之為劃分，根據(jù)對象的相同點(diǎn)和差異點(diǎn)將其區(qū)分為不同種類的邏輯方法，而數(shù)學(xué)范疇的劃分是根據(jù)數(shù)學(xué)對象的相同點(diǎn)和差異點(diǎn)，將數(shù)學(xué)對象區(qū)分為不同的種類。分類是以比較作為基礎(chǔ)，通過比較能夠明確數(shù)學(xué)對象之間的差異，再根據(jù)對象之間的相同點(diǎn)將數(shù)學(xué)對象歸為較大的類，之后根據(jù)差異點(diǎn)將數(shù)學(xué)對象規(guī)劃為較小的類，這就能夠把數(shù)學(xué)對象構(gòu)建成一個具有嚴(yán)密從屬關(guān)系的邏輯體系。

3. 分類討論的原則

高中數(shù)學(xué)解題中分類討論的原則主要體現(xiàn)在以下幾個方面。首先同一性原則，數(shù)學(xué)對象的分類應(yīng)該按照統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)來進(jìn)行，每次劃分不能同時采用幾個劃分標(biāo)準(zhǔn)。其次互斥性原則，分類之后的各個子項應(yīng)該是互不相容的，換句話來說各個子項之間應(yīng)該保持相互排斥的關(guān)系，分類后的數(shù)學(xué)元素不能屬于一個子項，又同時屬于另一個子項。然后層次性原則，對于數(shù)學(xué)對象的分類也有一次和多次之分，以此分類是對被討論對象只進(jìn)行以此分類，而多次分類是把分類后所有的子項都作為母項再進(jìn)行分類，直到滿足所要求的結(jié)果為止。最后相稱性原則，對于元素的分類也應(yīng)該做到相稱，劃分后子項外延的總和應(yīng)該等同于母項的外延。

二、 分類討論思想應(yīng)用于高中數(shù)學(xué)解題中的重要性

將分類討論思想應(yīng)用到高中數(shù)學(xué)解題中具有重要意義，首先在這一思想的指導(dǎo)下我們的邏輯思維能力更為清晰，因為數(shù)學(xué)是一門理性的科目，很多的理論知識又較為抽象，這在一定程度上增加了解題的難度，而利用分類討論的思想能夠為學(xué)生們理清解題思路，提高解題的速度和正確率。其次利用分類討論思想工作能夠更好地解決數(shù)學(xué)實際問題，將其與生活更好地關(guān)聯(lián)起來，真正做到學(xué)以致用。在應(yīng)用這一思想時要抓住問題的主干，確定變化條件的范圍和方向，遵循分類討論的數(shù)學(xué)解題思想。

三、 分類討論思想在高中數(shù)學(xué)解題中的實際應(yīng)用

1. 分類討論思想在集合中的應(yīng)用

集合類題目的運(yùn)算中常常會需要綜合元素與集合以及集合與集合之間的關(guān)系來對題目進(jìn)行分類討論。在一些含參數(shù)的集合問題中，也只有通過分類討論才能夠完成對題目的解答，高考中這類題目通常以選擇或者填空題的形式出現(xiàn)，偶爾也會用計算題的形式來考察這部分知識。所以要盡可能地做到細(xì)心分類，避免出現(xiàn)遺漏，這樣才能夠得出正確的結(jié)論。

2. 分類討論思想在概率中的應(yīng)用

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中概率占據(jù)著相當(dāng)重要的一部分，也是高考?？嫉闹攸c(diǎn)題型。利用分類討論思想來解答概率題型的時候，我們應(yīng)該從問題的本身入手，根據(jù)題目的要求進(jìn)行分類，以此來求得最終的答案。首先我們應(yīng)該確定題目中概率的類型，其次就是對題目中已知的條件對各個數(shù)進(jìn)行編號，然后就是用分類討論的思想對題目研究對象中變量的可能性數(shù)值進(jìn)行合理的假設(shè)，確定最為合理的方式。最后就是利用分類討論思想得出最后的結(jié)論，這不僅最大程度地節(jié)約了解題的時間，還能有效保證解題的正確率。

3. 分類討論思想在函數(shù)中的應(yīng)用

函數(shù)題型一直是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，在解題的過程中如果函數(shù)的參數(shù)值發(fā)生變化，則必然會導(dǎo)致函數(shù)結(jié)果發(fā)生變化。因此在利用分類討論思想解答函數(shù)問題時，也應(yīng)該對函數(shù)的參數(shù)值進(jìn)行分類討論，讓學(xué)生能夠深入到問題的本質(zhì)，提高解題的速度和準(zhǔn)確度，這樣也能夠有效地提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，從而推動數(shù)學(xué)教學(xué)的不斷進(jìn)步。

4. 分類討論思想在數(shù)列解題中的應(yīng)用

分類討論思想被廣泛應(yīng)用于數(shù)列的解題過程，特別適用于數(shù)列周期性問題、等比數(shù)列求和問題等方面，學(xué)生利用分類討論思想可以提高解題速度，保證解題的準(zhǔn)確性。像如題目中未對公比的取值范圍做出明確的規(guī)定，因此在解題的過程中我們要用分類討論的思想對此進(jìn)行分析，在解答的過程中要考慮取值范圍的特殊情況，最終確定正確的取值范圍。

四、 總結(jié)

分類討論思想是高中數(shù)學(xué)解題過程中最為常見的方法，對于提高學(xué)生的解題效率、培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣具有重要意義。在日常的學(xué)習(xí)中，老師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生積極運(yùn)用分類討論的解題方法，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，像如利用分類討論思想解決函數(shù)問題、數(shù)列問題以及概率問題等，引導(dǎo)他們真正的學(xué)以致用。本文筆者結(jié)合個人經(jīng)驗對此類問題進(jìn)行了總結(jié)，希望能對相關(guān)工作的落實有所幫助。

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作者簡介：

劉彥龍，內(nèi)蒙古自治區(qū)呼和浩特市，托克托縣民族中學(xué)。endprint