從一道模擬題探究數(shù)列求和問(wèn)題中∑ni=1an≤fn型不等式

摘要：浙江省高考數(shù)學(xué)最后一道壓軸題由原來(lái)的導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)移到數(shù)列部分，它結(jié)合了不等式的性質(zhì)及證明等知識(shí)，包含數(shù)列放縮的思想方法；對(duì)不等式的理解掌握要求高，要求考生有較高的探究發(fā)現(xiàn)、運(yùn)算求解能力，試題難度大。其中關(guān)于數(shù)列求和的相關(guān)問(wèn)題是重要的考查方向，本文通過(guò)一到模擬題歸納總結(jié)數(shù)列求和問(wèn)題中∑ni=1an≤f（n）不等式的常規(guī)解法。

關(guān)鍵詞：∑ni=1an≤f（n）型數(shù)列不等式；分析法；數(shù)學(xué)歸納法；構(gòu)造法

課程改革以來(lái)，浙江省數(shù)學(xué)高考卷就以全面深入考查基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想方法的命題原則，多層次、多角度的考查考生的思維能力及數(shù)學(xué)素養(yǎng)，充分體現(xiàn)了考基礎(chǔ)、考能力、考素質(zhì)、考潛能和以考生發(fā)展為本的考試目標(biāo)；試題靈活，立意新穎，區(qū)分度高，選拔功能強(qiáng)。自2015年，浙江省高考數(shù)學(xué)最后一道壓軸題由原來(lái)的導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)移到數(shù)列部分，它結(jié)合了不等式的性質(zhì)及證明等知識(shí)，包含數(shù)列放縮的思想方法；對(duì)不等式的理解掌握要求高，要求考生有較高的探究發(fā)現(xiàn)、運(yùn)算求解能力，試題難度大。其中關(guān)于數(shù)列求和的相關(guān)問(wèn)題是重要的考查方向，數(shù)列求和問(wèn)題常見(jiàn)的基本結(jié)構(gòu)形式有如下2種：

①∑ni=1an≤k（k為常數(shù)）；②∑ni=1an≤f（n）；

對(duì)于第①種類(lèi)型可根據(jù)題目特點(diǎn)利用等差模型、等比模型、錯(cuò)位相減模型、裂項(xiàng)相消模型等進(jìn)行放縮證明，在本文不做研究。本文主要探究∑ni=1an≤f（n）型數(shù)列不等式涉及的方法和技巧，現(xiàn)從一道模擬題開(kāi)始探討：

例已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=an+1an（n∈N*）。

（Ⅰ）求證：2≤a2n+1-a2n≤3；

（Ⅱ）求證：1a1+1a2+…+1an≤2n-1。

解析：（Ⅰ）由題易知{an}是正項(xiàng)數(shù)列；由遞推公式an+1=an+1anan+1-an=1an>0所以{an}是遞增數(shù)列即an≥1。an+1=an+1an兩邊平方得：a2n+1=a2n+1a2n+2a2n+1-a2n=1a2n+2∈[2，3]。

（Ⅱ）題是典型的∑ni=1an≤f（n）型數(shù)列不等式先通過(guò)下面三種方法解決這一問(wèn)題：

方法1：利用分析法選擇切入點(diǎn)：

（Ⅰ）中不等式累加可得：a2n≥2n-1，所以1an≤12n-1，利用裂項(xiàng)的技巧當(dāng)n≥2時(shí)1an≤12n-1=222n-1≤22n-1+2n-3=2n-1-2n-3經(jīng)過(guò)累加可證明結(jié)論。詳細(xì)解答如下：

由（Ⅰ）可得：a2n-a2n-1≥2，a2n-1-a2n-2≥2，…，a23-a22≥2，a22-a21≥2，累加可得：a2n≥2n-1；

開(kāi)方后取倒數(shù)1an≤12n-1=222n-1≤22n-1+2n-3=2n-1-2n-3；

所以當(dāng)n≥2時(shí)從第二項(xiàng)開(kāi)始放縮1a1+1a2+…+1an≤1+2×2-1-2×2-3+…+2n-3-2n-5+2n-1-2n-3=2n-1；

當(dāng)n=1時(shí)顯然成立；

綜上所述1a1+1a2+…+1an≤2n-1。證畢

點(diǎn)評(píng)：數(shù)學(xué)問(wèn)題是環(huán)環(huán)相扣的要善于發(fā)現(xiàn)題目中的內(nèi)在聯(lián)系，難點(diǎn)是不等式1an≤12n-1=222n-1≤22n-1+2n-3=2n-1-2n-3放縮，對(duì)不等式放縮技巧要求高，難度較大，我們是否可以在回歸到題目中所給的條件，從另外的角度去尋找思路？下面所給的方法2和方法3就是從全新的角度去思考和探究：

方法2：數(shù)學(xué)歸納法

利用題目中條件可得1an=an+1-an，所以 1a1+1a2+…+1an=an+1-a1，只需用數(shù)歸證an+1≤2n-1+1，此時(shí)可用歸納等法法進(jìn)行證明。

詳細(xì)解答如下：

由an+1=an+1an可知1an=an+1-an，

所以求證1a1+1a2+…+1an=a2-a1+a3-a2+an+1-an=an+1-1≤2n-1，

即證明：an+1≤2n-1+1，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

當(dāng)n=1時(shí)，a2=2≤2×1-1+1；

假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，ak+1≤2k-1+1；

當(dāng)n=k+1時(shí)，ak+2=ak+1+1ak+1≤2k-1+1+12k-1+1。

ak+2=ak+1+1ak+1≤2k-1+1+12k-1+1

下面證明： 2k-1+1+12k-1+1≤2k+1+1

12k-1+1≤2k+1-2k-1=22k+1+2k-1，

2k+1+2k-1≤22k-1+22≥2k+1-2k-1

=22k+1+2k-12k+1+2k-1≥1

因?yàn)?k+1+2k-1≥1（k≥2）恒成立，

所以2k-1+1+12k-1+1≤2k+1+1，

所以ak+2≤2k+1+1；

綜上由數(shù)學(xué)歸納法可得：an+1≤2n-1+1，

所以1a1+1a2+…+1an≤2n-1。證畢

方法3：構(gòu)造新的數(shù)列

我們都知道數(shù)列的前n項(xiàng)和是關(guān)于n的函數(shù)，反之對(duì)于f（n）我們可以把它看做是新數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，驗(yàn)證bn≥1an，那么此結(jié)論不攻自破。

詳細(xì)解答如下：

由（Ⅰ）可得：a2n-a2n-1≥2，a2n-1-a2n-2≥2，…，a23-a22≥2，a22-a21≥2，累加可得：a2n≥2n-1；

開(kāi)方后取倒數(shù)1an≤12n-1；

構(gòu)造新的數(shù)列{bn}滿足：

bn=1n=12n-1-2n-3n≥2，

易知數(shù)列{bn}前n項(xiàng)和是2n-1；

當(dāng)n=1時(shí)，b1=1≥a1；

當(dāng)n≥2時(shí)，bn=2n-1-2n-3=22n-1+2n-3≥22n-1+2n-1

=12n-1≥1an；

綜上所述bn≥1an；

所以1a1+1a2+…+1an≤b1+b2+…+bn=12n-1。證畢

方法3是形如∑ni=1ai

設(shè)Sn和Tn分別為數(shù)列{an}和{bn}的前n項(xiàng)和，顯然，若an

本題中方法1和方法2都是用數(shù)列求和中常規(guī)的方法去解決問(wèn)題，方法3是利用數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)特點(diǎn)構(gòu)造新數(shù)列進(jìn)行解題，對(duì)于同一道題目從多角度去思考感受數(shù)學(xué)的奧妙，感知探究的樂(lè)趣。數(shù)學(xué)是一門(mén)靈活開(kāi)放的學(xué)科，它的思想方法沒(méi)有一成不變的，本文中歸納的方法只是∑ni=1an≤f（n）型數(shù)列不等式常見(jiàn)的幾種，有句話說(shuō)得好：“生活不是缺少美，而是缺少發(fā)現(xiàn)美的眼睛?！睌?shù)學(xué)學(xué)習(xí)也是如此，深入思考，挖掘問(wèn)題的本質(zhì)，才能融會(huì)貫通，達(dá)到“無(wú)招勝有招的”境界。

作者簡(jiǎn)介：

郝培德，浙江省杭州市，浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)。