數(shù)學(xué)生態(tài)結(jié)構(gòu)化教學(xué)的思考與實(shí)踐

戴厚祥+周善偉

【摘要】本文首先從教學(xué)過程的整體性、聯(lián)系性、層次性等三個(gè)方面論述了生態(tài)結(jié)構(gòu)化教學(xué)的內(nèi)涵，繼而對(duì)構(gòu)建數(shù)學(xué)生態(tài)結(jié)構(gòu)化教學(xué)的策略提出了根本、主導(dǎo)和建模、落腳點(diǎn)等具體實(shí)施建議。

【關(guān)鍵詞】生態(tài)結(jié)構(gòu)化教學(xué) ；知識(shí)優(yōu)化；方法架構(gòu)；思維結(jié)構(gòu)化

在基礎(chǔ)教育課堂教學(xué)中，核心是讓學(xué)科知識(shí)能夠組成知識(shí)塊和知識(shí)鏈，便于學(xué)生迅速提取和應(yīng)用，這就需要構(gòu)建好知識(shí)框架，根據(jù)學(xué)科的主干知識(shí)，幫助學(xué)生建立完整而清晰的知識(shí)體系，形成整體知識(shí)脈絡(luò)。我們認(rèn)為，數(shù)學(xué)生態(tài)結(jié)構(gòu)性教學(xué)就是從數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)和學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)出發(fā)設(shè)計(jì)、思考和組織教學(xué)的，以完善和發(fā)展學(xué)生原有數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

數(shù)學(xué)生態(tài)結(jié)構(gòu)化教學(xué)的特點(diǎn)：教師要以教育生態(tài)學(xué)的角度審視課堂教學(xué)，并站在系統(tǒng)的高度、結(jié)構(gòu)的角度審視目前的數(shù)學(xué)課堂，進(jìn)一步優(yōu)化數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，使學(xué)習(xí)建構(gòu)后的知識(shí)串成知識(shí)鏈，組成知識(shí)塊，長(zhǎng)成知識(shí)樹，用系統(tǒng)的觀點(diǎn)，結(jié)構(gòu)化的思想來設(shè)計(jì)、組織課堂教學(xué)。

一、數(shù)學(xué)生態(tài)結(jié)構(gòu)化教學(xué)的內(nèi)涵

1.數(shù)學(xué)生態(tài)結(jié)構(gòu)化教學(xué)是“燒全魚”的教學(xué)，而不是“去頭、掐尾、留中段”。數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化教學(xué)重視過程的教學(xué)，重視知識(shí)的前因后果、發(fā)生和發(fā)展過程，在這一過程中幫助學(xué)生建立起認(rèn)知結(jié)構(gòu)，更有后勁、更有潛力。

教師要從數(shù)學(xué)知識(shí)體系高度“結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化”的特點(diǎn)和學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成、發(fā)展規(guī)律出發(fā)，站在整體、系統(tǒng)和結(jié)構(gòu)的高度把握、審視和處理數(shù)學(xué)教材，引導(dǎo)學(xué)生充分感受和把握數(shù)學(xué)的知識(shí)結(jié)構(gòu)和方法結(jié)構(gòu)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、形成、發(fā)展、運(yùn)用過程，同時(shí)努力提高學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的可利用性、穩(wěn)定性與清晰性，為新知融入已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)創(chuàng)造條件，以最大限度地避免因教學(xué)的盲目性而走不必要的彎路，盡可能地?cái)U(kuò)大、健全學(xué)生頭腦中的數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)容、觀念和組織，完善和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提高課堂教學(xué)效益。

這就好比撒網(wǎng)，如果將繁雜的知識(shí)點(diǎn)比做一張漁網(wǎng)，那么定理定義就是網(wǎng)綱，教師只有讓學(xué)生真正理解了概念，使學(xué)生在頭腦中形成一套完整的知識(shí)體系，才算是教給了學(xué)生一張能捕獲知識(shí)的“漁網(wǎng)”。學(xué)生結(jié)合已有的知識(shí)來學(xué)習(xí)未知的知識(shí)，能有效地幫助自己在頭腦中建構(gòu)知識(shí)體系，讓知識(shí)點(diǎn)結(jié)成一張完整的知識(shí)網(wǎng)。根據(jù)上下節(jié)點(diǎn)的銜接關(guān)系，學(xué)生不但可以系統(tǒng)地掌握知識(shí)，還可以推導(dǎo)出未知的知識(shí)。

2.數(shù)學(xué)生態(tài)結(jié)構(gòu)化教學(xué)是“整體”的數(shù)學(xué)，著眼于既見樹木、又見森林，著重于將某一知識(shí)、概念鑲嵌于知識(shí)體系之中。教學(xué)過程中體現(xiàn)整體感、塊狀教學(xué)，是以大問題引領(lǐng)、貫穿課堂，避免支離破碎式的提問。

知識(shí)結(jié)構(gòu)本身決定了我們不可能將零散的、孤立的知識(shí)教給學(xué)生，也不可能學(xué)習(xí)某一例題，就在這一例題的范圍內(nèi)進(jìn)行練習(xí)。這就勢(shì)必要打破傳統(tǒng)的模式，在加強(qiáng)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系上下功夫，抓住知識(shí)間的關(guān)系來鉆研教材，做到瞻前顧后，研究每一知識(shí)與整體知識(shí)結(jié)構(gòu)的關(guān)系及相互作用，研究已有知識(shí)怎樣成為后續(xù)知識(shí)的基礎(chǔ)，從中悟出科學(xué)的方法。

例如教學(xué)“分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)”，這一知識(shí)點(diǎn)從二年級(jí)上冊(cè)的“表內(nèi)除法（一）”開始，再經(jīng)過二年級(jí)下冊(cè)“有余數(shù)的除法”和三年級(jí)上冊(cè)“兩、三位數(shù)除以一位數(shù)”引出這一知識(shí)點(diǎn)，然后又延伸到三年級(jí)下冊(cè)的“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)（二）”、五年級(jí)下冊(cè)的“分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)”“分?jǐn)?shù)的加法和減法”、六年級(jí)上冊(cè)的“分?jǐn)?shù)乘法”“分?jǐn)?shù)除法”，這是一種顯性的知識(shí)聯(lián)系。再比如，“商不變的規(guī)律”“小數(shù)的性質(zhì)”“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”和“比的基本性質(zhì)”這些內(nèi)容所蘊(yùn)含的聯(lián)系就是一種隱性聯(lián)系。教學(xué)中，教師要秉持整體的視野，將數(shù)學(xué)知識(shí)串起來、連起來、合起來，形成意義結(jié)構(gòu)。

3.數(shù)學(xué)生態(tài)結(jié)構(gòu)化教學(xué)是“自組織”的數(shù)學(xué)。教學(xué)過程呈現(xiàn)的是蓬勃的生命態(tài)，自組織作為系統(tǒng)存在的一種形式，是系統(tǒng)在一定環(huán)境下最易存在、最穩(wěn)定的狀態(tài)。學(xué)習(xí)的過程是人成長(zhǎng)的過程，是就平衡的打破，新的上位平衡的建立過程，是不斷從無序向有序轉(zhuǎn)化的過程，通過有效的同化和順應(yīng)，自主建構(gòu)新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

數(shù)學(xué)生態(tài)結(jié)構(gòu)化教學(xué)倡導(dǎo)學(xué)生自主整體領(lǐng)悟。教師要對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)體系和新知呈現(xiàn)方式做深度剖析，重視知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展和形成過程，使約定俗成的數(shù)學(xué)概念、規(guī)則對(duì)學(xué)生有“道理”，有“意義”，把“點(diǎn)”狀學(xué)習(xí)放入“線”性體系中，在起始階段學(xué)習(xí)時(shí)就追求并擁有一個(gè)整體的架構(gòu)。筆者在教學(xué)《分?jǐn)?shù)乘法》時(shí)，突出了意義和算法的整體性，由“加法”到“乘法”，從整數(shù)倍、小數(shù)倍到“分?jǐn)?shù)倍”，運(yùn)算方法在拓展，參與乘法計(jì)算的數(shù)也在拓展，但運(yùn)算的道理始終如是，讓學(xué)生自主體味有分?jǐn)?shù)參與的情況下為什么用乘法算以及分?jǐn)?shù)乘法計(jì)算會(huì)出現(xiàn)分?jǐn)?shù)乘整數(shù)、整數(shù)乘分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的情況，把整數(shù)乘法、小數(shù)乘法、分?jǐn)?shù)乘法從數(shù)學(xué)邏輯上打通理順，連為一體。

二、數(shù)學(xué)生態(tài)結(jié)構(gòu)化教學(xué)的實(shí)踐策略

1.知識(shí)優(yōu)化，數(shù)學(xué)生態(tài)結(jié)構(gòu)化教學(xué)的根本

教師必須具有提煉知識(shí)點(diǎn)，并將其分類、總結(jié)、歸納的高超技巧，這樣數(shù)學(xué)知識(shí)就會(huì)在頭腦中穿成串、連成線，形成一個(gè)脈絡(luò)清晰的體系，并使學(xué)生學(xué)會(huì)構(gòu)建知識(shí)及學(xué)科體系的方法。教師采用結(jié)構(gòu)化教學(xué)方法對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)進(jìn)行教學(xué)時(shí)，首先要針對(duì)課本進(jìn)行分析，只有剖析出知識(shí)點(diǎn)之間的規(guī)律，才能更好地開展結(jié)構(gòu)化教學(xué)，然后把學(xué)科書本知識(shí)按其內(nèi)在邏輯組成由簡(jiǎn)單到復(fù)雜的結(jié)構(gòu)鏈。具體說有以下三點(diǎn)。

（1）縱向拉伸：將單元內(nèi)、單元間，甚至跨年級(jí)的同類知識(shí)內(nèi)容按其內(nèi)在的邏輯組成由簡(jiǎn)單到復(fù)雜的結(jié)構(gòu)鏈，通過內(nèi)容的適當(dāng)調(diào)整、增補(bǔ)，將斷裂的知識(shí)結(jié)構(gòu)修復(fù)完善，使學(xué)生對(duì)知識(shí)間的縱向關(guān)聯(lián)有清晰的認(rèn)識(shí)。

（2）橫向貫通：把具有類特征的單元知識(shí)整合到一個(gè)單元，凸顯背后共通的思維方式，豐富學(xué)生對(duì)類結(jié)構(gòu)特征知識(shí)內(nèi)涵的整體認(rèn)識(shí)和結(jié)構(gòu)把握，提升學(xué)生分類、比較、概括、抽象的能力。

（3）縱橫融通：打破原有單元和年段的界限，把視野從單元整體結(jié)構(gòu)拓展到整個(gè)年級(jí)甚至各學(xué)段的教學(xué)過程中，在整個(gè)教學(xué)過程的視野下審視、策劃、體現(xiàn)結(jié)構(gòu)鏈和結(jié)構(gòu)塊之間的關(guān)聯(lián)，形成主次分明、有機(jī)滲透的教學(xué)格局。endprint

如教學(xué)“圓柱和圓錐的整理復(fù)習(xí)”，教師對(duì)課本進(jìn)行了幾個(gè)層面的梳理：第一層次依托本單元知識(shí)，布局圓柱和圓錐特征、表面積和體積；第二層次依托本單元知識(shí)，對(duì)圓柱、圓錐與長(zhǎng)方體之間知識(shí)內(nèi)在聯(lián)系進(jìn)行整合；第三層次依托整個(gè)小學(xué)階段平面圖形，從單元內(nèi)部的條狀知識(shí)到單元之間的塊狀知識(shí)擴(kuò)大到學(xué)科知識(shí)的整體，從整體綜合的角度構(gòu)建知識(shí)之間的聯(lián)系。

2.方法架構(gòu)，數(shù)學(xué)生態(tài)結(jié)構(gòu)化教學(xué)的主導(dǎo)與建模

結(jié)構(gòu)化教學(xué)是非線性的，是一種綜合、立體、動(dòng)態(tài)的過程。學(xué)生只有把零散、雜亂無章的知識(shí)進(jìn)行分析、歸納、編碼和總結(jié)，才能真正把這些知識(shí)納入到已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)和網(wǎng)絡(luò)中去，才能在運(yùn)用時(shí)靈活自如的調(diào)遣。架構(gòu)數(shù)學(xué)生態(tài)結(jié)構(gòu)化教學(xué)的策略有哪些呢？

（1）策略一——圖式

學(xué)生在解決問題的過程中，從對(duì)問題情境的直覺到問題的理解，到解決方法的獲取，都受到圖式的影響。因?yàn)橹R(shí)是由若干相互聯(lián)系的節(jié)點(diǎn)而成的語義網(wǎng)絡(luò)，這種組織的主要方式就是圖式，問題提供的信息可以激活其中的一些節(jié)點(diǎn)，進(jìn)而激活相關(guān)圖式，圖式知識(shí)一旦被激活，就能引導(dǎo)問題解決者以特定的方式搜索問題空間，尋找問題的有關(guān)特征，有助于提高問題解決的效率。所以，在結(jié)構(gòu)化教學(xué)中，教師要激活主體已有的知識(shí)圖式。構(gòu)建更加精致的知識(shí)框架，從而提高知識(shí)在學(xué)生大腦中的自組織程度，做到知識(shí)點(diǎn)成線、知識(shí)線成面，知識(shí)面成網(wǎng)的立體網(wǎng)絡(luò)式結(jié)構(gòu)，使知識(shí)在大腦中形成組塊，學(xué)生在調(diào)用大腦中的信息進(jìn)行同化和順應(yīng)時(shí)，能夠自如地應(yīng)用。

筆者在執(zhí)教《分?jǐn)?shù)的意義》這一節(jié)課時(shí)，圍繞學(xué)生已有的“分?jǐn)?shù)”認(rèn)知展開教學(xué)，力求形成分?jǐn)?shù)意義的認(rèn)知圖式，并在合適的條件下激活相應(yīng)圖式。首先創(chuàng)設(shè)情境，提供材料，學(xué)生分組嘗試構(gòu)建分?jǐn)?shù)并交流；然后引領(lǐng)提問：“同學(xué)們剛才做出的這些分?jǐn)?shù)，它們有什么相同的地方，又有哪些不同的地方？”最后歸納一個(gè)物體、一個(gè)計(jì)量單位或者一個(gè)整體，都可以表示成單位“1”，分?jǐn)?shù)就是將單位“1”平均分成若干份，表示其中一份或幾份的數(shù)。學(xué)生經(jīng)歷這樣的學(xué)習(xí)，從最初“分?jǐn)?shù)”圖式模糊到“分?jǐn)?shù)”圖式清晰，進(jìn)而對(duì)分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)“結(jié)構(gòu)化”。認(rèn)知中有關(guān)“一半”的圖式——平均分成兩份，每份分得同樣多，自然同化于“平均分”圖式之下，從而使認(rèn)知結(jié)構(gòu)更加網(wǎng)絡(luò)化。

（2）策略二——對(duì)比

對(duì)比在數(shù)學(xué)生態(tài)結(jié)構(gòu)化教學(xué)中也很重要，它是“分析與綜合”“抽象與概括”的橋梁，通過對(duì)比，學(xué)生能把握相似知識(shí)間的異同和不同知識(shí)間的聯(lián)系，并能在準(zhǔn)確把握知識(shí)的基礎(chǔ)上，理解知識(shí)的來龍去脈，有助于在橫向上掌握知識(shí)的外延，在縱向上深入理解知識(shí)的內(nèi)涵，從而建立起立體的、豐滿的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系。

筆者在教學(xué)“平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱”時(shí)，首先基于學(xué)生自身關(guān)于“圖形的運(yùn)動(dòng)”的一般性認(rèn)識(shí)，從整體上提出一系列相互聯(lián)系的問題；然后從一種運(yùn)動(dòng)出發(fā)，教學(xué)生初步認(rèn)識(shí)三種運(yùn)動(dòng)，形成對(duì)“圖形的運(yùn)動(dòng)”的整體認(rèn)識(shí)；接著依次展開對(duì)三種運(yùn)動(dòng)的學(xué)習(xí)，同時(shí)注意聯(lián)系其他運(yùn)動(dòng)，學(xué)習(xí)平移時(shí)滲透旋轉(zhuǎn)，學(xué)習(xí)旋轉(zhuǎn)時(shí)回顧平移，從而進(jìn)一步認(rèn)識(shí)三種運(yùn)動(dòng)；最后以聯(lián)系的視角，把三種運(yùn)動(dòng)綜合起來深入研究，通過各種運(yùn)動(dòng)的對(duì)比，發(fā)現(xiàn)它們之間的共同點(diǎn)與區(qū)別，概括出各種運(yùn)動(dòng)的關(guān)鍵點(diǎn)，從而進(jìn)一步形成對(duì)“圖形運(yùn)動(dòng)”的整體認(rèn)識(shí)。這一過程通過對(duì)比抓住了并列與相關(guān)知識(shí)間的橫向聯(lián)系，進(jìn)行橫向整合，抓住知識(shí)的中心要領(lǐng)，統(tǒng)攬全局，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。

（3）策略三——遷移

教學(xué)中教師可以對(duì)相關(guān)知識(shí)進(jìn)行比較，采用分類分析和聚類分析的方法，讓學(xué)生進(jìn)行主動(dòng)遷移。有些數(shù)學(xué)知識(shí)雖然表面不同，但是在認(rèn)識(shí)這些數(shù)學(xué)知識(shí)的過程中卻體現(xiàn)著共同的學(xué)習(xí)方法過程及滲透其中的思想方法，學(xué)生利用這種方法結(jié)構(gòu)，就可以主動(dòng)地參與到其他同類知識(shí)的學(xué)習(xí)過程中。

筆者在教學(xué)《角的度量》一課時(shí)，首先和學(xué)生一起復(fù)習(xí)“用尺測(cè)量物體”，這是學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，可以被教師激活、喚醒。測(cè)量時(shí)引導(dǎo)學(xué)生思考：測(cè)量線段用了什么儀器？——直尺。怎樣測(cè)量線段？——既可以從0刻度開始測(cè)量，也可以從其他刻度開始測(cè)量。為什么不同的測(cè)量方法都可以量出長(zhǎng)度？——都是看比較長(zhǎng)度里面有多少個(gè)標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度（1厘米）。據(jù)此展開“角的度量”教學(xué)，學(xué)生自然提出了三個(gè)本質(zhì)性的核心問題：測(cè)量角度用什么儀器？——量角器。怎樣測(cè)量？——既可以從0刻度開始測(cè)量，也可以從其他刻度開始測(cè)量。為什么不同的測(cè)量方法都可以度量出角度？——都是看比較角度里面有多少個(gè)標(biāo)準(zhǔn)角度。由于學(xué)生有了測(cè)量線段的經(jīng)驗(yàn)支撐、比較、遷移，學(xué)生很快掌握了量角的要領(lǐng)。

3.思維結(jié)構(gòu)化——數(shù)學(xué)生態(tài)結(jié)構(gòu)化教學(xué)的落腳點(diǎn)

思維結(jié)構(gòu)化對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)有一定的成效，有助于提高學(xué)生的邏輯思維能力。它將零散的思維、靈感、知識(shí)、信息、數(shù)據(jù)，還有其它種種用一種框架收攏起來，便于學(xué)生能透過現(xiàn)象看事物的本質(zhì)。所以，結(jié)構(gòu)化思維在數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐研究，對(duì)幫助學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)，不斷完善學(xué)習(xí)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，將多維的課程目標(biāo)細(xì)化、串聯(lián)、落實(shí)在具體、有聯(lián)系的教學(xué)情境中，對(duì)提高學(xué)生的分析、認(rèn)知、表達(dá)等能力，對(duì)形成核心思考力有重大影響。

學(xué)生的思維往往是孤立的，他們會(huì)覺得時(shí)刻要學(xué)習(xí)方法與技能，其實(shí)一些數(shù)學(xué)問題表面變化覆蓋下的實(shí)質(zhì)是相同的。如，六年級(jí)計(jì)算圓柱的體積練習(xí)：一個(gè)圓柱的側(cè)面積是12.56平方分米，底面半徑是2分米，求這個(gè)圓柱的體積。如果按照常規(guī)的思路思考，計(jì)算會(huì)很繁雜。課堂上，一位學(xué)生這樣說“我覺得這題可以這樣算，用側(cè)面積的一半乘半徑就是這個(gè)圓柱的體積，因?yàn)槲覀儗W(xué)過，把圓柱切拼成長(zhǎng)方體后，如果把這個(gè)長(zhǎng)方體側(cè)過來放，這時(shí)它的底面就是圓柱側(cè)面積的一半，高就是圓柱底面半徑”。

該學(xué)生的思維就是結(jié)構(gòu)化的思維，他能將“底面積乘高”這一方法構(gòu)筑于一般意義之上，靈活巧妙地將其延伸，加以運(yùn)用。教師在教學(xué)中要以知識(shí)結(jié)構(gòu)的積極建構(gòu)為思維對(duì)象，力求得出知識(shí)客觀規(guī)律的方法結(jié)構(gòu)，促進(jìn)學(xué)生的結(jié)構(gòu)化思維。

事物是有結(jié)構(gòu)的，事物的結(jié)構(gòu)代表了事物之間相互關(guān)系的組合，事物的本質(zhì)就是結(jié)構(gòu)。當(dāng)數(shù)學(xué)大樹足夠枝繁葉茂，面對(duì)眾多的數(shù)學(xué)分支，面對(duì)各分支中眾多的數(shù)學(xué)概念和命題，我們應(yīng)該把目光投向不同數(shù)學(xué)分支、不同數(shù)學(xué)內(nèi)容之間的關(guān)聯(lián)和統(tǒng)一。這樣，我們就在不知不覺中走進(jìn)了數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。endprint