體驗(yàn)數(shù)學(xué)邊程 感悟模型思想

郭惠煌

摘要：數(shù)學(xué)素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想，模型思想是數(shù)學(xué)思想中尤為重要的一部分，構(gòu)建模型被越來(lái)越多地運(yùn)用于課堂教學(xué)中。教師在教學(xué)時(shí)首先通過(guò)事例讓學(xué)生來(lái)感知模型，其次建立數(shù)學(xué)活動(dòng)來(lái)驗(yàn)證模型，使學(xué)生達(dá)到思維的全面通透，從而呈現(xiàn)出模型的本質(zhì)，再經(jīng)過(guò)不斷的反思和頓悟完善模型，最后經(jīng)過(guò)去偽求真的運(yùn)用過(guò)程，使模型扎根到學(xué)生心里。在教學(xué)中數(shù)學(xué)建模的思想使學(xué)生提高了解決問(wèn)題的能力，促進(jìn)自我的數(shù)學(xué)建構(gòu)，最終提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);鴿巢原理;模型思想;過(guò)程;數(shù)學(xué)素養(yǎng)

中圖分類號(hào)：G623.5

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1009-010X（ 2018）01-0031-03

史寧中教授說(shuō)：“小學(xué)那點(diǎn)知識(shí)不到半年就學(xué)會(huì)了，為什么要用6年的時(shí)間來(lái)學(xué)習(xí)呢？就是要培養(yǎng)能力?！毙抡n標(biāo)由雙基到四基，雙能到四能，其主要目的在于實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的全面提升。數(shù)學(xué)素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想，“模型思想”是唯一一個(gè)以“思想”指稱的概念。新課標(biāo)在闡述模型思想時(shí)談到：“數(shù)學(xué)有兩件事情很重要，一件事情就是解決問(wèn)題，所以要形成模型;另外一件事，要從實(shí)際情境中找到解決問(wèn)題的模型”。小學(xué)階段數(shù)學(xué)建模的定位應(yīng)當(dāng)是引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中“模型”的存在，培養(yǎng)初步的建模能力，建立思維方法，反過(guò)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，提高解決問(wèn)題的能力。即模型建構(gòu)的一般過(guò)程為“生活情境——抽象模型——驗(yàn)證模型——生活問(wèn)題”。

一、真實(shí)經(jīng)驗(yàn)，感知模型

新課標(biāo)提出：重視學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生體驗(yàn)從實(shí)際背景中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、尋求結(jié)果、解決問(wèn)題的過(guò)程。小學(xué)教學(xué)主體是兒童，模型建構(gòu)要從兒童視角出發(fā)，將生活中發(fā)生的與數(shù)學(xué)有關(guān)的素材引入課堂，并努力將教材上的內(nèi)容轉(zhuǎn)化為兒童生活數(shù)學(xué)問(wèn)題去思考，且要盡量貼近兒童的“最近發(fā)展區(qū)”，使學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力，積極調(diào)動(dòng)自身經(jīng)驗(yàn)，感知數(shù)學(xué)模型的存在。比如：面對(duì)“鴿巢問(wèn)題”這一抽象原理，充分挖掘?qū)W生的認(rèn)知起點(diǎn)，創(chuàng)設(shè)游戲情境，讓學(xué)生感悟到生活中閃爍著鴿巢問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生探索的欲望。

游戲“你躲我猜”——“四位同學(xué)任意站在這3個(gè)圈子里，每個(gè)人都必須站進(jìn)去”老師來(lái)猜學(xué)生站的情形。教師猜法1：“不管你們?cè)趺凑?，總有一個(gè)圈子里至少站著1個(gè)人”。學(xué)生調(diào)整站形，發(fā)現(xiàn)根本戰(zhàn)勝不了老師。學(xué)生在調(diào)整中頓悟：只要有人存在，圈子肯定有人，根本就不用猜，也就是這個(gè)猜法沒(méi)有實(shí)際意義。突破第一個(gè)難點(diǎn)，下面的教學(xué)中學(xué)生就不會(huì)出現(xiàn)“不管怎么飛，總有一個(gè)鴿舍里至少飛進(jìn)1只鴿子”這種理論的干擾。教師猜法2：“不管你們?cè)趺凑?，總有一個(gè)圈子里至少站著2個(gè)人”。學(xué)生不斷地調(diào)整站形，發(fā)現(xiàn)根本就戰(zhàn)勝不了老師。教師的猜法層層遞進(jìn)，激發(fā)學(xué)生在調(diào)整過(guò)程中不斷地思考，碰撞出火花，模型若隱若現(xiàn)：“4個(gè)人站進(jìn)3個(gè)圈子里，不管怎么站總有一個(gè)圈子至少站了2個(gè)人”。這個(gè)游戲在激活學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)，吸引學(xué)生注意力的同時(shí)，讓學(xué)生從已有的生活經(jīng)驗(yàn)初步感知抽象的“鴿巢原理”，感受趣味背后的意義，而且其中還孕伏了“鴿巢原理”的核心詞“總有”“至少”，有效地分散了教學(xué)難點(diǎn)，為模型的建構(gòu)提供助力，潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲，提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

二、實(shí)踐活動(dòng)，驗(yàn)證模型

蘇霍姆林斯基指出：“兒童的智慧在他的手指尖上?！眱和乃季S是離不開(kāi)實(shí)踐活動(dòng)的。模型建構(gòu)需要大量的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)來(lái)支撐，動(dòng)手操作是一種帶著強(qiáng)烈數(shù)學(xué)意識(shí)的活動(dòng)，實(shí)踐活動(dòng)能降低模型的抽象程度，數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)需要在“做”的過(guò)程和“思考”的過(guò)程中積淀，從而幫助學(xué)生思維通透，驗(yàn)證模型的存在。豐富數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累也是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要手段。

當(dāng)“鴿巢原理”這一模型若隱若現(xiàn)時(shí)，立刻讓學(xué)生動(dòng)手操作，用學(xué)具擺出所有站法，驗(yàn)證每一種情況：4種站法（4，0，0），（3，1，0），（2，2，0），（2，1，1）。學(xué)生在做的過(guò)程中思考：（1）通過(guò)實(shí)際操作，你覺(jué)得這句話對(duì)嗎？（2）第一種擺法滿足這句話嗎？但是這里存在0，符合題目要求嗎？（3）我們說(shuō)只要一個(gè)圈子滿足2個(gè)或2個(gè)以上就可以，3個(gè)圈子都需要看嗎？看哪個(gè)？

通過(guò)這一過(guò)程學(xué)生發(fā)現(xiàn)并不需要每個(gè)圈子都去檢查是否有2人或2人以上，只要看最多的圈子是否滿足條件即可。突破“只需考慮鴿子數(shù)最多的一個(gè)鴿舍里”這一難點(diǎn)。讓看得見(jiàn)的東西來(lái)幫忙，溝通多種解決問(wèn)題策略間的內(nèi)在聯(lián)系，學(xué)生通過(guò)經(jīng)歷實(shí)踐操作這一直觀過(guò)程確定模型的存在。

三、本質(zhì)挖掘，呈現(xiàn)模型

數(shù)學(xué)最本質(zhì)的追求——發(fā)展思維。模型建構(gòu)由直觀走向推理，才能達(dá)到思維的全面通透，從而呈現(xiàn)出模型的本質(zhì)。知其然并知其所以然，學(xué)生才能領(lǐng)悟到模型思想的真諦，也會(huì)讓已有的模型由深入走向深刻，帶給學(xué)生更深層次的體會(huì)，從而輕松呈現(xiàn)出模型。

通過(guò)直觀操作確定“鴿巢原理”模型存在后，引導(dǎo)學(xué)生得出這個(gè)結(jié)論。不管學(xué)生思維轉(zhuǎn)到假設(shè)法還是反證法，都能順利溝通“平均分”，關(guān)鍵是要理解為什么要平均分。學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了直觀操作，將假設(shè)法（反證法）所得到的結(jié)果（2，1，1），與實(shí)際操作聯(lián)系。三次追問(wèn)：（l）為什么假設(shè)法就只考慮（2，l，1）這種情況？（2）哪一種站法里圈子人最多？（4，0，0）。哪一種站法圈子里人最少？（2，l，1）。（3）如果最少的都滿足了還要看最多嗎？

攻克第二個(gè)難點(diǎn)首先考慮“最少飛進(jìn)幾只鴿子”。緊接著追問(wèn)“為什么要平均分”，再次追問(wèn)“怎樣站才能讓其中一個(gè)圈子站最多人？怎樣站才能最少？”學(xué)生腦洞大開(kāi)：“所有人都在一個(gè)圈子就最多，讓每個(gè)圈子都有人就最少?！?/p>

“讓每個(gè)圈子都有人”就要盡量平均分才能保障這個(gè)結(jié)果。在經(jīng)歷了這一系列的過(guò)程后，學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識(shí)到了這一原理的本質(zhì)，從而自主建構(gòu)模型：4÷3：1……1，1+1=2。第一個(gè)1是平均分得到的1人，第二個(gè)1是剩余的1人再次站進(jìn)去，二者合起來(lái)，圈子就有2個(gè)人。學(xué)生對(duì)于“鴿巢原理”“盡量平均分”這一精髓能夠理解得更深刻。

四、異中求同，完善模型

對(duì)比同類問(wèn)題情境，抓住它們相同的點(diǎn)，能讓學(xué)生在有趣的類推活動(dòng)中，對(duì)模型體驗(yàn)并理解，逐步得出一般性的結(jié)論，同時(shí)模型建構(gòu)需要在不斷的反思和頓悟過(guò)程中才能得到完善，致使模型更牢固，并學(xué)會(huì)用一般性的數(shù)學(xué)方法來(lái)思考問(wèn)題，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（1）5個(gè)人站進(jìn)4個(gè)圈子中，不管怎么站，總有一個(gè)圈子里至少站了幾個(gè)人，為什么？（2）10個(gè)人站進(jìn)9個(gè)圈子里呢？（3）100個(gè)人放進(jìn)站進(jìn)99個(gè)圈子里呢？經(jīng)歷這3個(gè)問(wèn)題情境，學(xué)生不斷地探究和思考，初步模型得到穩(wěn)固：“人比圈子的數(shù)量多1，不管怎么站，總有一個(gè)圈子里至少站進(jìn)2人?！?/p>

如果人的數(shù)量比圈子多2或多3規(guī)律還存在嗎？（1）7只鴿子飛回5個(gè)鴿舍，不管怎么飛，總有一個(gè)鴿舍至少有幾只鴿子？為什么？（2）11只鴿子飛回4個(gè)鴿舍呢？（3）12只鴿子飛回4個(gè)鴿舍呢？在不斷對(duì)比、思考、理解與反思的過(guò)程中，找到相同點(diǎn)，即“盡量平均分”，模型得到完善：“人”的數(shù)量多于“圈子”數(shù)量且又不是倍數(shù)關(guān)系時(shí)，不管怎么站，總有一個(gè)圈子至少站了（商+l）個(gè)人?！边@里的1與余數(shù)無(wú)關(guān)。解決這類問(wèn)題，就可以直接用“商+1”來(lái)解決。

五、去偽求真，模型扎根

新課標(biāo)指出：“教師應(yīng)該充分利用學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)，指導(dǎo)學(xué)生把所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用到現(xiàn)實(shí)中去，以體會(huì)數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用價(jià)值”。生活問(wèn)題的一半是數(shù)學(xué)問(wèn)題，另一半是生活實(shí)際，數(shù)學(xué)問(wèn)題是解決生活問(wèn)題的核心。應(yīng)用模型解決問(wèn)題，首先要去掉問(wèn)題中與數(shù)學(xué)無(wú)關(guān)的內(nèi)容，使數(shù)學(xué)信息和生活信息分離開(kāi)，再?gòu)臄?shù)學(xué)問(wèn)題中找到與模型相同的影子，即去偽求真。經(jīng)歷運(yùn)用過(guò)程，模型才得以扎根到學(xué)生心里。

“鴿巢原理”模型在運(yùn)用時(shí)，教師應(yīng)予以提示：應(yīng)用原理的關(guān)鍵點(diǎn)（找到鴿子和鴿舍的影子，至少數(shù)=商+1）。（1）隨意找13位老師，他們中至少有2個(gè)人的屬相相同。為什么？（2）小張參加飛鏢比賽，投了5鏢，成績(jī)是41環(huán)。小張至少有一鏢不低于9環(huán)。為什么？這兩道題都與需要找準(zhǔn)鴿子和鴿舍原理一樣，靈活應(yīng)用知識(shí)解決問(wèn)題?！傍澇苍怼钡念}型變式很多，應(yīng)該讓學(xué)生靈活運(yùn)用模型解決生活問(wèn)題，才能進(jìn)一步感受數(shù)學(xué)的魅力，從而提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

數(shù)學(xué)建模是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的必經(jīng)之路，數(shù)學(xué)建模是提升學(xué)生思維的重要方法，數(shù)學(xué)教師應(yīng)注重過(guò)程，讓學(xué)生感悟模型建構(gòu)，形成模型意識(shí)，建立思維方法，反過(guò)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，提高解決問(wèn)題的能力，促進(jìn)自我的數(shù)學(xué)建構(gòu)，最終提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。