平面與平面的二面角的幾個(gè)求解思路

曹佳穎

摘要：所謂二面角，是指由一條直線出發(fā)，兩個(gè)半平面組成的圖形，它是我們高中數(shù)學(xué)知識(shí)的重點(diǎn)。從現(xiàn)階段來看，很多同學(xué)尚未掌握到平面與平面的二面角正確求解方式?，F(xiàn)在，我將綜合我的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，歸納出二面角的幾個(gè)求解方式，讓所有同學(xué)都能夠高效完成二面角知識(shí)的學(xué)習(xí)，具備一定的二面角問題解題能力，更好的解決日常學(xué)習(xí)中所遇到的二面角求解問題，希望都能借此攻克高考大關(guān)，取得優(yōu)異的成績(jī)。

關(guān)鍵詞：平面；二面角；解題思路

前言：二面角大小，是我們立體幾何知識(shí)學(xué)習(xí)中的重點(diǎn)，也是高考的考點(diǎn)。但因二面角的求解題目比較復(fù)雜，需要我們充分發(fā)揮自己的空間想象力，很容易表現(xiàn)出低效率的解題問題。在這一背景下，為了保證解題過程的簡(jiǎn)潔性、流暢性，我們?cè)诙娼谴笮栴}判斷時(shí)，必須學(xué)會(huì)一些解題技巧，并總結(jié)出一些可行性的解題方法。以下就是我結(jié)合自己學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)所提出的二面角解題思路，望其能為現(xiàn)今高中生日常學(xué)習(xí)提供參考。

一、二面角學(xué)習(xí)概述

二面角是高中階段數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)。綜合我的實(shí)踐學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，二面角作為一個(gè)重要概念，它關(guān)乎著我們空間角、旋轉(zhuǎn)體、多面體、面面垂直等位置關(guān)系的學(xué)習(xí)，有利于促進(jìn)我們實(shí)際問題解決能力、邏輯思維能力、空間想象能力等綜合素質(zhì)的發(fā)展。而從現(xiàn)階段來看，二面角領(lǐng)域的知識(shí)學(xué)習(xí)重點(diǎn)包括了二面角定義、二面角平面角定義、二面角平面角應(yīng)用等等，這些知識(shí)的學(xué)習(xí)，要求我們學(xué)會(huì)觀察、類比所學(xué)內(nèi)容，并結(jié)合教學(xué)大綱內(nèi)容，安排自己的學(xué)習(xí)計(jì)劃。

我們通過對(duì)二面角知識(shí)的學(xué)習(xí)，不僅能夠正確認(rèn)識(shí)到“二面角”的概念，也能夠充分發(fā)散自身思維能力，探究“二面角的平面角”應(yīng)用，讓我們?cè)诮邮苻q證唯物主義思想教育的基礎(chǔ)上，養(yǎng)成良好的空間想象力，全身心的投入到數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)中。

二、平面與平面的二面角求解思路

（一）坐標(biāo)法

在平面與平面的二面角問題求解時(shí)，為了簡(jiǎn)化問題求解過程，應(yīng)采取坐標(biāo)法求解方法。

例1：如下圖，在圓內(nèi)，AB是直徑。假設(shè)，AB是2，AC是1，求出二面角C-PC-A的余弦值。

在這一道平面與平面的二面角問題求解時(shí)，為了達(dá)到最佳的問題求解效果，我采取了坐標(biāo)法求解方式，將“幾何”與“代數(shù)”結(jié)合了起來。首先，假設(shè)α-l-β是一個(gè)二面角，這個(gè)二面角的平面角為θ，m是平面α的法向量，n是平面β的法向量，cosθ=cos=m·nm·n[1]。然后，做了一條直線CM，使CM與PA平行，并過點(diǎn)C。緊接著，把直線CB、CA、CM看作空間直角坐標(biāo)系中的x軸、y軸、z軸，通過這一空間直角坐標(biāo)系的建立，很容易可以求出m和n的法向量，就此得出二面角C-PC-A的余弦值，達(dá)到解題目的。

坐標(biāo)法，是一個(gè)極為方便的解題方法，我建議，在日常學(xué)習(xí)中應(yīng)強(qiáng)化對(duì)這一種解題方法的應(yīng)用。

（二）觀察法

在我們?nèi)粘W(xué)習(xí)中，為了達(dá)到高效性的知識(shí)學(xué)習(xí)狀態(tài)，簡(jiǎn)化平面與平面的二面角求解，應(yīng)善于采取觀察法解題方式。

例2：V-ABCD是一個(gè)四棱錐，其中，ABCD是一個(gè)正方形，VAD則是一個(gè)正三角形。如下圖，且VAD與ABCD相互垂直，求出VAD和VDB這兩個(gè)面的二面角。

在這一道題目求解時(shí)，為了保證解題流暢性，我以觀察法解題方式，先分析了題目中的已知條件。然后，在AD中點(diǎn)做了一個(gè)點(diǎn)O，把點(diǎn)O視為了空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)。待O-xyz空間直角坐標(biāo)系建立完成后，假設(shè)底面正方形的邊長(zhǎng)是1，求出了平面VBD和VAD的法向量，最終計(jì)算出了二面角的大小。結(jié)合我本次的解題經(jīng)驗(yàn)可知，觀察法的運(yùn)用，容易讓我們對(duì)二面角大小做出判斷。如，本題中的二面角就可確定為銳角[2]。如此，可在一定程度上降低二面角求解難度，達(dá)到最佳的二面角問題解題效果。

其實(shí)，觀察法既簡(jiǎn)單又可避免一些解題誤區(qū)，應(yīng)合理化運(yùn)用這一種解題方式，讓我們可以更好的發(fā)揮自身思維想象，解決更多的難點(diǎn)問題。

（三）向量自由性法

在平面與平面的二面角問題求解時(shí)，也應(yīng)優(yōu)化向量自由性法解題思路。這種解題方法，在實(shí)際問題求解中的運(yùn)用，需要我們圍繞二面角的定義，以向量的自由平移性，探究問題答案。它在實(shí)際運(yùn)用時(shí)雖然比較復(fù)雜，但可避免一些難點(diǎn)問題，簡(jiǎn)化問題求解過程，不再進(jìn)入運(yùn)算誤區(qū)[3]。比如，在等腰梯形的二面角問題求解時(shí)，便可運(yùn)用向量自由性法，讓解題過程變得更加直觀，達(dá)到高效性問題求解狀態(tài)，更為透徹的理解平面與平面的二面角問題解題思路，掌握一些解題技巧，養(yǎng)成良好的問題解決習(xí)慣。

結(jié)論：綜合我以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)可知，平面與平面的二面角求解過程比較復(fù)雜，考察了我們的觀察能力和想象能力。此時(shí)，為了更為快速的解決一些二面角問題，提高題目求解效率和正確率，我認(rèn)為，應(yīng)將坐標(biāo)法、觀察法、向量自由性法運(yùn)用到日常學(xué)習(xí)中，以相對(duì)科學(xué)的解題方式，解答二面角問題。如此，不僅能夠讓我們實(shí)際問題解決能力有所提高，也可促使我們自己養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)習(xí)慣，形成良好的數(shù)學(xué)知識(shí)體系。

[參考文獻(xiàn)]

[1]張然，馮德軍，徐樂濤.基于Salisbury屏的二面角設(shè)計(jì)及其極化特性分析[J].雷達(dá)學(xué)報(bào)，2016，5（06）：658-665.

[2]魏振方，齊名軍.二面角的兩個(gè)半平面的法向量所成的角與二面角的關(guān)系[J].科技視界，2013，15（05）：133-134.

[3]陳皆紅，張紅，王超等.修正二面角散射模型的改進(jìn)四分量分解[J].電波科學(xué)學(xué)報(bào)，2013，28（03）：559-566+583.

（作者單位：雅禮中學(xué)，湖南 長(zhǎng)沙 410000）