探究換元法 解決三角函數(shù)問題

摘 要：換元法的形式多種多樣，在解決三角函數(shù)問題時(shí)，需要根據(jù)實(shí)際情況決定應(yīng)該采用怎樣的換元方法，有時(shí)直接換元就可以解決問題，有時(shí)需要采用整體換元法，在某些難題中，也需要采用特殊換元法，這需要做到具體情況具體分析。

關(guān)鍵詞：換元；三角函數(shù)；極值

換元法在高中數(shù)學(xué)中有著重要的應(yīng)用，三角函數(shù)問題的解決離不開換元法。對于求三角函數(shù)的極值問題，通過換元法可以將三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為單純的代數(shù)問題，將問題進(jìn)行巧妙的轉(zhuǎn)化之后，可以化繁為簡的解決問題。

一、 直接換元

直接換元法簡單直接，就是將題目中的某一個(gè)三角函數(shù)直接用t或者x表示，將三角函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，得到相應(yīng)的冪函數(shù)。對于冪函數(shù)，求極值的方法就比較簡單，通過對冪函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，可以較為容易的得到函數(shù)的極值。

例1 已知函數(shù)y=7sinθ+2sinθcosθ，其中0≤θ≤π2，求函數(shù)y的最大值。

解析：令t=cosθ，那么0≤t≤1，則y=1-t2（7+2t），兩邊同時(shí)平方，可以得到新的函數(shù)式，為y2=（1-t2）（7+2t）2，可以記f（t）=（1-t2）（7+2t）2，求導(dǎo)得f′（t）=-2（4t-1）（2t+7）（t+2），令導(dǎo)數(shù)為0，又由于0≤t≤1，所以t=14。通過判斷函數(shù)單調(diào)性，可知f（t）在t=14處取得最大值，[f（t）]max=f（14）=15364，所以當(dāng)cosθ=14時(shí)，函數(shù)y=7sinθ+2sinθcosθ取得最大值為15158。

點(diǎn)撥：本題通過換元法求出函數(shù)最值，計(jì)算比較復(fù)雜，但是掌握一些小技巧，可以大大簡化計(jì)算，比如對于y=1-t2（7+2t），兩邊同時(shí)平方，可以很好的避免對含有二次根式的函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，簡化了計(jì)算過程，達(dá)到了事半功倍的效果。

二、 整體換元

整體換元法注重所求問題的整體，是將一個(gè)式子進(jìn)行整體換元，整體換元的優(yōu)點(diǎn)在于從全局考慮問題，抓住問題中的關(guān)鍵性條件，通過整體換元，可以大大簡化計(jì)算過程，提高解題效率，通過以下的例題可以更好的理解整體換元。

例2 已知sinα+sinβ=22，求cosα+cosβ的最大值。

解析：令cosα+cosβ=t，則（sinα+sinβ）=t，則（sinα+sinβ）2+（cosα+cosβ）2=12+t2，化簡之后，可以得到（sin2α+cos2α）+（sin2β+cos2β）+2（sinαsinβ+cosαcosβ），整理之后可以得到2+2cos（α-β）=12+t2，所以2cos（α-β）=t2-32，由于-1≤cosθ≤1，所以-2≤t2-32≤2，即-12≤t2≤72，化簡可得-142≤t≤142，所以cosα+cosβ的最大值為142。

點(diǎn)撥：本題中將所求的問題進(jìn)行整體代換，接著通過三角函數(shù)的恒等變形，將三角函數(shù)的極值問題進(jìn)行巧妙轉(zhuǎn)化，簡化計(jì)算的同時(shí)提高了解題效率。

三、 特殊換元

特殊換元是根據(jù)題目中的實(shí)際情況對參數(shù)進(jìn)行換元，這類問題一般具有一定的難度，需要對題目中的條件有一個(gè)細(xì)致的觀察，找到各個(gè)條件之間的內(nèi)在關(guān)系，同時(shí)還需要對題意有較深入的理解，對學(xué)生的數(shù)學(xué)能力有較高的要求。

例3 若α+β+γ=π2，求sinα+sinβ+sinγ的最大值。

解析：因?yàn)棣?π2-（α+β），所以sinγ=cos（α+β），設(shè)sinα+β2=x，則sinα+sinβ+sinγ=sinα+sinβ+cos（α+β）=2sinα+β2·cosα-β2+1-2sin2α+β2=2xcosα-β2+1-2x2，構(gòu)造方程y=2xcosα-β2+1-2x2，即2x2-2xcosα-β2+y-1=0，因?yàn)閤=sinα+β2∈R，所以Δ=4cos2α-β2-8（y-1）≥0，于是又2y≤2+cosα-β2≤3，所以（sinα+sinβ+sinγ）max=ymax=32（此時(shí)α=β=γ=π6）。

點(diǎn)撥：本題的形式雖然比較簡單，但是解決問題卻很有難度，因?yàn)楹瘮?shù)三個(gè)未知參數(shù)，所以采用換元法勢在必行，通過換元法構(gòu)造出所需要的方程，利用一元二次方程的判別式可以很好的解決問題。

綜上所述，換元法的最重要作用在于將三角函數(shù)的極值問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將繁瑣的三角函數(shù)極值問題轉(zhuǎn)化為單純的代數(shù)問題。學(xué)生在學(xué)習(xí)換元法時(shí)，需要做到舉一反三，試著通過換元法解決不同的問題，只有不斷的練習(xí)才能取得優(yōu)異的成績。

作者簡介：

夏仁權(quán)，云南省曲靖市，云南省富源縣勝境中學(xué)。endprint