對(duì)數(shù)求導(dǎo)法的問題探討

宋大謀+鄭愛武

摘 要：針對(duì)用對(duì)數(shù)函數(shù)求導(dǎo)法去求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)的值域的正負(fù)、利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)改變了函數(shù)的定義域?qū)η髮?dǎo)的影響以及對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求出的不可導(dǎo)點(diǎn)是否真的是函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn)，本文作出論述。

關(guān)鍵詞：對(duì)數(shù)；值域；定義域；求導(dǎo)數(shù)

在教學(xué)中，教師只介紹對(duì)數(shù)求導(dǎo)的方法后就講例題應(yīng)用，而一些肯鉆研的學(xué)生總覺得這種方法有些不嚴(yán)謹(jǐn)，對(duì)此提出質(zhì)疑。本文對(duì)此作出一些探討。

問題一：若函數(shù)的值域是負(fù)數(shù)，能否取對(duì)數(shù)？

對(duì)數(shù)求導(dǎo)的方法是在原函數(shù)的兩邊取對(duì)數(shù)，而不管函數(shù)值的正負(fù)。我們知道負(fù)數(shù)是沒有對(duì)數(shù)的，故心存疑惑。針對(duì)這個(gè)問題，先將原函數(shù)兩邊取絕對(duì)值，即將函數(shù)y=f（x）先變?yōu)閨y|=|f（x）|，然后再兩邊取對(duì)數(shù)就有：ln|y|=ln|f（x）|，下面討論[ln|y|]′=（lny）′。

（1）當(dāng)y>0時(shí)，顯然有|y|=y，所以ln|y|=lny，

故[ln|y|]′=（lny）′=1yy′，這就是教材上常用的對(duì)數(shù)求導(dǎo)法的第一步。

（2）當(dāng)y<0時(shí)，有|y|=-y，所以ln|y|=ln（-y），

故有[ln|y|]′=[ln（-y）]′=1-y（-y）′=1-y（-1）y′=1yy′，即有[ln|y|]′=（ln）y′。

綜上不論y>0還是y<0，都有[ln|y|]′=（lny）′=1yy′，這說明不論y>0還是y<0，函數(shù)的兩邊都可以直接取對(duì)數(shù)，然后再去求導(dǎo)。

問題二：取對(duì)數(shù)后，利用對(duì)數(shù)性質(zhì)運(yùn)算時(shí)，改變了函數(shù)的定義域，對(duì)函數(shù)的求導(dǎo)是否有影響？

本文以例題說明：求函數(shù)y=（x-1）（x-3）（x-5）（x-6）的導(dǎo)數(shù)。

解：兩邊取對(duì)數(shù)：lny=ln（x-1）（x-3）（x-5）（x-6）（a）

lny=12[ln（x-1）+ln（x-3）-ln（x-5）-ln（x-6）]（b）

兩邊求導(dǎo)數(shù)：1yy′=121x-1+1x-3-1x-5-1x-6

所以：y′=12（x-1）（x-3）（x-5）（x-6）1x-1+1x-3-1x-5-1x-6（c）

在這個(gè)求解過程中，很多同學(xué)認(rèn)為式（a）變到式（b），定義域明顯地改變了，定義域只是原來函數(shù)定義域的一個(gè)區(qū)間，這種改變是否影響到所求的導(dǎo)數(shù)？為解決此問題，我們把原函數(shù)的定義域按區(qū)間分成3個(gè)對(duì)應(yīng)區(qū)間來討論。

函數(shù)y=（x-1）（x-3）（x-5）（x-6）的定義域?yàn)椋簒∈（-∞，1]∪[3，5）∪（6，+∞）

（1）當(dāng)x>6時(shí)，顯然取對(duì)數(shù)后得到式（b），而式（b）的定義域仍為x>6，這個(gè)變化是恒等變形。（b）兩邊求導(dǎo)后得到的結(jié)果是式（c）。

（2）當(dāng)3

y=（x-1）（x-3）（x-5）（x-6）=（x-1）（x-3）（5-x）（6-x）

兩邊取對(duì)數(shù)則有：

lny=12[ln（x-1）+ln（x-3）-ln（5-x）-ln（6-x）]（d）

式（d）的定義域仍是3

（3）當(dāng)x<1時(shí)，用同樣的方法，將函數(shù)恒等變形為

y=（x-1）（x-3）（x-5）（x-6）=（1-x）（3-x）（5-x）（6-x）

同樣有：lny=12[ln（1-x）+ln（3-x）-ln（5-x）-ln（6-x）]（e）

式（e）的定義域仍為x<1。最后求導(dǎo)的結(jié)果仍可以化為式（c）。

綜上3種情況，用對(duì)數(shù)的性質(zhì)后，對(duì)定義域沒有影響，所求得的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的結(jié)果都是一樣的。

基于以上的討論，我們發(fā)現(xiàn)，對(duì)于復(fù)雜的根式分式函數(shù)，不論f（x）>0，還是f（x）<0，都可以用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法去求導(dǎo)數(shù)。

參考文獻(xiàn)：

[1]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué).北京：高等教育出版社，2014.

作者簡(jiǎn)介：

宋大謀，鄭愛武，湖北省宜昌市，湖北三峽職業(yè)技術(shù)學(xué)院。