“K”—型圖相似三角形在二次函數(shù)中的應(yīng)用

摘 要： 三角形和二次函數(shù)兩塊內(nèi)容的綜合是初中數(shù)學最突出的綜合內(nèi)容。本文通過確定直角三角形在直角坐標系中的位置、特征，介紹題型，剖析解法，對“K”-型圖相似三角形在二次函數(shù)中的應(yīng)用進行了分析和總結(jié)。

關(guān)鍵詞： “K”-型圖；相似三角形；二次函數(shù)

直角三角形的有關(guān)知識是初中平面幾何中的重點內(nèi)容，而二次函數(shù)則是初中代數(shù)中的重點，這兩塊內(nèi)容的綜合是初中數(shù)學最突出的綜合內(nèi)容。近年來，這類綜合問題是中考數(shù)學試卷的壓軸題，如何挖掘幾何條件，并將其轉(zhuǎn)化為代數(shù)條件，是解題的難點和關(guān)鍵。以下是筆者多年教學過程中對“K”-型圖相似三角形在二次函數(shù)中應(yīng)用的總結(jié)，希望有助于中考復(fù)習。

一、 “K”-型模型圖

“K”-型圖是具有“K”字形狀的圖像，一條直線的同側(cè)的兩條直線互相垂直。如下圖：

在數(shù)學問題的解決過程中，有意識提煉一些典型的數(shù)學模型可以有效提高解題速度，化繁為簡，提高準確率?！癒”-型圖是平面幾何中比較常見的一種圖形，最早出現(xiàn)在全等三角形中，如果能在初始接觸時就加以有意識訓(xùn)練強化“等角的余角相等”這一性質(zhì)，再在后來的相似中熟練運用，并有目的地強調(diào)角、邊關(guān)系，就能準確寫出比例關(guān)系，為最后階段的解決二次函數(shù)中的有關(guān)問題夯實基礎(chǔ)。

1. 若∠APC=90°，求證兩個直角三角形的兩條直角邊對應(yīng)成比例。

證明：如圖示（1），

∠1+∠2=90°，

∠3+∠2=90°，

∴∠1=∠3。

在Rt△ABP和Rt△PDC中，

tan∠1=tan∠3，

即 AB BP = PD CD 。

圖（2）（3）中，同理∠1=∠2，

∴tan∠1=tan∠2，

即 AB BP = PD CD 。

2. 判定∠APC=90°

圖（1）中已知 AB BP = PD CD ，求證∠APC=90°。

在Rt△ABP和Rt△PDC中，

∵ AB BP = PD CD ，

即tan∠1=tan∠3，

∴∠1=∠3。

又∠3+∠2=90°，

∴∠1+∠2=90°，

∴∠APC=90°。

二、 “K”-型圖在二次函數(shù)中的應(yīng)用

最近幾年，全國各地中考數(shù)學試卷的二次函數(shù)壓軸題中頻繁出現(xiàn)判斷三角形形狀（直角三角形）和求構(gòu)成直角三角形動點的坐標。此類問題綜合性強，且?guī)в幸欢ǖ碾y度，通常的方法是利用勾股定理三邊關(guān)系求解，而初中階段直角坐標系中，學生還沒有學習兩點間距離，用學生已有知識也可以給出方法，但過程較長。因此更多老師就直接給出高中知識的兩點間距離公式，讓學生死記硬背，算出或表示出三角形三邊的長度，此方法運算量很大，稍有不慎會算出錯誤答案。甚至有更復(fù)雜的方法，在這里就不一一贅述。其實在實際解題時，若能把握問題的關(guān)鍵，排除圖形干擾，在復(fù)雜的圖形中構(gòu)造出“K”-型圖，就可以化難為易，快速解題。

1. 二次函數(shù)圖像中判定直角三角形

（1）已知：直線AB與二次函數(shù)y= 1 4 x2的圖形交于 A（-2，1），B（8，16）兩點。求證：△AOB為直角三角形。

分析： 分別向x軸引垂線構(gòu)造“K”-型圖，有目的計算一對角的正切值。

證明： 分別過點A，B作AC⊥x軸，BD⊥x軸，垂足分別為C，D，

在Rt△AOC和Rt△OBD中，

AC=1，OC=2，OD=8，BD=16，

∴ AC OC = OD BD = 1 2 ，

即tan∠AOC=tan∠OBD，

∴∠AOC=∠OBD。

又∠OBD+∠BOD=90°，

∴∠AOC+∠BOD=90°，

∴∠AOB=90°，

即△AOB為直角三角形。

（2）如圖所示，已知二次函數(shù)經(jīng)過點B（3，0），C（0，3），D（1，4），連接DC，BC，DB，求證：△BCD是直角三角形。

分析： 向y軸引垂線構(gòu)造“K”-型圖。

證明： 過點D作DE⊥y軸，垂足為E，

在Rt△DEC和Rt△COB中，

DE=1，CE=1，OC=3，OB=3，

∴∠DCE=∠BCO=45°，

∴∠DCE+∠BCO=90°，

∴∠DCB=90°，

∴△BCD是直角三角形。

2. 求構(gòu)成直角三角形動點的坐標

（1）已知如圖示拋物線y=- 1 2 x2圖像，將一把直角三角板的直角頂點置于平面直角坐標系的原點O，兩直角邊與該拋物線交于A，B兩點，過B作BF⊥x軸于點F，測得OF=1，寫出此時點B和A的坐標。

分析： 向x軸引垂線構(gòu)造“K”-型圖。

解： 過A點做AE⊥x軸，垂足為E，

∵B點橫坐標是1，

∴B 1，- 1 2 。

設(shè)A x，- 1 2 x2 ，

則OF=1，F(xiàn)B= 1 2 ，OE=-x，AE= 1 2 x2。

∵∠AOB=90°，

∴∠FOB=∠EAO，

∴tan∠FOB=tan∠EAO，

∴ BF OF = OE AE ，

即 1 2 1 = -x 1 2 x2 ， 1 4 x2+x=0，

解得x1=0（舍去），x2=-4，

∴A（-4，-8）。

（2）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，直線y=kx+n（k≠0）經(jīng)過B，C兩點，已知A（1，0），C（0，3），且BC=5。endprint

①求拋物線解析式；

②在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使得B，C，P三點為頂點的三角形是直角三角形？若存在，請求出點P坐標；若不存在，請說明理由。

分析： 直角頂點在坐標軸上的向坐標軸引垂線，構(gòu)造“K”-型圖，直角頂點不在坐標軸上，過直角頂點做坐標軸平行線，再向平行線引垂線構(gòu)造“K”-型圖。

解： ①∵BC=5，OC=3，

∴OB=4，

∴B（4，0），

y=a（x-1）（x-4），經(jīng)過C（0，3），

4a=3，

a= 3 4 ，

∴拋物線解析式為y = 3 4 （x-1）（x-4）

= 3 4 x2- 15 4 x+3，

對稱軸x= 5 2 ；

②存在。

設(shè)P 5 2 ，y

?。┮訡為直角頂點，過點C作CP⊥CB交對稱軸于P1，即當∠P1CB=90°時，過點P1作P1D⊥y軸，垂足為D。如圖所示：

在Rt△P1DC和Rt△COB中，

∠DCP1=∠CBO，

∴tan∠DCP1=tan∠CBO，

即 5 2 y-3 = 3 4 ，y= 19 3 ，∴P1 5 2 ， 19 3

ⅱ）以B為直角頂點，過點B作BP⊥CB交對稱軸于P2，即當∠P2BC=90°時，過點B作MN∥y軸，分別過P2，C向MN引垂線，如圖所示：

同理∠1=∠2，

tan∠1=tan∠2，

即 3 4 = 3 2 -y ，y=-2，∴P2 5 2 ，-2

ⅲ）當P為直角頂點，即∠CP3B=90°時，過P3作P3E∥x軸，交y軸于E、交MN于Q。如圖所示：

∴∠3=∠4，

tan∠3=tan∠4，

即 y-3 5 2 = 3 2 y ，4y2-12y-15=0，y1= 3+2 6 2 ，y2= 3-2 6 2 ，

∴P3 5 2 ， 3+2 6 2 ，P4 5 2 ， 3-2 6 2 ，

∴P1 5 2 ， 19 3 ，P2 5 2 ，-2 ，P3 5 2 ， 3+2 6 2 ，P4 5 2 ， 3-2 6 2 。

通過以上例題分析，遇到此類問題，我們只需寫出或表示出“K”-型圖里與坐標軸平行的兩個直角三角形直角邊的長度（注意不需要斜邊），有目的的算出一對對應(yīng)銳角的正切值，從而判斷角的關(guān)系及三角形的形狀；或者利用等角的正切值相等列出比例關(guān)系，算出動點坐標。此方法步驟簡單，學生容易掌握，更重要的是可以增加學生學習二次函數(shù)的自信心。

需要強調(diào)的是，此方法中一直沿用對應(yīng)角的正切值，而非相似三角形對應(yīng)邊成比例，是因為：

（1）正切值固定于三角形兩條直角邊，直角邊都平行于坐標軸，計算和表示都非常簡單，可以一眼看出結(jié)果或表達式。

（2）等角的正切固定于兩個直角三角形中對應(yīng)角的 對邊 鄰邊 ，以免學生常常把對應(yīng)邊混淆出錯。

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作者簡介：

閆嵐子，高級教師，西藏自治區(qū)拉薩市，西藏拉薩江蘇中學。endprint