順勢而為化璞為玉

何麗娜+張志平

在學習人教版《數(shù)學》五年級上冊《平行四邊形的面積》之前，學生已經(jīng)學習了長方形、正方形的面積計算，已掌握平行四邊形的特征，還會畫平行四邊形的底和對應的高，這些都是學習平行四邊形面積的重要基礎。本節(jié)課第一次用到 “轉(zhuǎn)化”的方法探索面積的計算公式，因此轉(zhuǎn)化方法的習得和轉(zhuǎn)化思想的滲透無疑成了本節(jié)課教學的重要目標。

在以往的教學中，我沿著教材的思路進行教學，先讓學生對已知底、高和鄰邊的平行四邊形的面積進行猜想，再組織學生驗證，最后強化將平行四邊形通過“割補”變成長方形的方法，分析兩種圖形的面積與長、高之間的關系，從而得出平行四邊形的面積公式。從學生作業(yè)反饋來看，正確率比較高。但是過了一段時間，問題暴露出來了：不少學生頻頻出現(xiàn)用兩鄰邊相乘計算平行四邊形面積的情況。問題出在哪兒呢？我反思教學過程：首先，整個教學過程難以使“未教先知”的學生參與探究；其次，難以消除學生“為什么只能通過割補‘轉(zhuǎn)化，而不能通過拉動‘轉(zhuǎn)化”的疑慮；第三，教學過程不“厚實”，學生參與面積形成過程的機會太少，體驗比較淺顯，不能建立起清晰的知識表象，因而遺忘較快。

這學期再次教學《平行四邊形的面積》時，我設計了三個層次的活動：第一個層次是操作轉(zhuǎn)化，讓學生達成共識——沿高剪開后通過平移將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形；第二個層次是觀察思考，讓學生通過觀察對比后發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)化前后圖形之間的等量關系，溝通了兩個圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系，為有效推導面積公式提供了有力支撐；第三個層次是概括公式，水到渠成。這樣設計層次清楚，目標明確。

一、回顧交流，激趣導入

1.回顧平行四邊形、長方形、正方形之間的關系。

2.如果這個正方形的邊長是1厘米，那么它的面積是1平方厘米，我們可以用它來測量多邊形的面積。

3.你們能利用這個方格圖求出平行四邊形的面積嗎？

評析：引導學生回顧整理平行四邊形與長方形、長方形與正方形的本質(zhì)聯(lián)系，回憶長方形面積研究的方法。這既激活了學生已有的知識和經(jīng)驗，又對轉(zhuǎn)化的目標指引了方向，更重要的是能讓探究活動承載理性的數(shù)學思考。

二、動手操作，探究發(fā)現(xiàn)

1.初步感知轉(zhuǎn)化過程

（1）運用方格圖，探究平行四邊形的面積。用方格圖試著測量這個平行四邊形的面積。

（2）誰來跟大家說說你是怎么測量出這個平行四邊形的面積的？

方案1：先數(shù)整格，再把幾個不滿1格的圖形拼成1格。

方案2：把左邊的小格平移到右邊，平移過來后可以看成是長方形。

方案3：把左邊這個三角形平移到右邊，也可以看成是長方形。

（3）無論是一格一格地補滿，還是把這一整個部分移過來補滿，都是把不滿一格的拼成滿格，數(shù)出了它的面積是28平方厘米，變化前后的圖形面積不變。

評析：本環(huán)節(jié)主要通過讓學生用數(shù)方格的方法，初步感知平行四邊形與長方形面積之間的聯(lián)系，在模型的初步驗證中滲透特殊化思想和轉(zhuǎn)化思想，同時為下一步的探究提供思路，做好鋪墊。

2.經(jīng)歷探索轉(zhuǎn)化過程

（1）如果沒有了方格圖，應該怎么求出它的面積呢？

（2）學生借助剪刀、三角尺這些工具，進行研究。

（3）和同桌交流：①你是怎么做的？②你為什么這么做？

（4）全班交流，邊演示邊說。

（5）想一想：為什么要沿高剪開呢？

評析：通過讓學生親身經(jīng)歷把平行四邊形轉(zhuǎn)化成一個長方形的全過程，溝通兩個圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而輕松獲取平行四邊形的面積，在模型的進一步證明中滲透一般化思想和轉(zhuǎn)化思想。

3.推導公式

（1）不管是數(shù)方格還是剪拼，我們都是將平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形，求出長方形的面積就可以知道平行四邊形的面積。那以后我們每次求平行四邊形的面積都要先找一張同樣大小的紙片，沿著高剪開，然后平移拼成長方形，再來測量長和寬，最后計算出面積，從而得到平行四邊形的面積。

（2）這太麻煩了，有沒有更簡便的計算方法呢？平行四邊形的面積和它自身的哪些條件有關呢？它可不可以計算？如果可以計算又應該怎樣計算呢？

生：我覺得平行四邊形的面積可以用底乘高計算。

師：真的嗎？那我們來量量這個平行四邊形的底和高各是多少？

（教師演示操作。）

師：大家看看，28正好是7和4的乘積。這個平行四邊形的面積的確是用底乘以高，是不是所有的平行四邊形都可以用底乘以高求出面積呢？

（3）任選一個平行四邊形，量一量、算一算，并將相關數(shù)據(jù)填入表格。

（4）通過驗證，我們得到了平行四邊形的面積計算方法是底乘以高。為什么平行四邊形的面積是底乘高呢？

（5）通過數(shù)據(jù)的驗證和圖形的觀察，我們發(fā)現(xiàn)：長方形的長和平行四邊形的底數(shù)值相等，長方形的寬和平行四邊形的高數(shù)值相等，所以我們知道了平行四邊形的面積=底×高，這就是平行四邊形面積的計算方法。如果用a表示底，h表示高，S表示面積，那么平行四邊形的面積公式可以怎樣寫呢？

評析：五年級學生具備一定的思辨能力，把平行四邊形轉(zhuǎn)化成等積的長方形之后，可以嘗試著去思考現(xiàn)象背后的原因。學生再次回顧探究過程，溝通了一般與特殊的本質(zhì)聯(lián)系，感悟“轉(zhuǎn)化”策略的應用價值。

三、總結升華，拓展延伸

師：關于多邊形的面積相關內(nèi)容，早在兩千多年前，我國漢代數(shù)學典籍《九章算術》一書的《方田章》中就有這樣一段論述：“廣從步數(shù)相乘得積步?！彼囊馑际钦f長方形的面積等于長乘寬。長方形是特殊的平行四邊形，那為什么長方形的面積是長乘寬而不是底乘高呢？

評析：適時地向?qū)W生介紹一些有關的數(shù)學史料，使學生體會數(shù)學在人類發(fā)展史中的作用，體現(xiàn)數(shù)學文化的人文價值教育，首尾呼應，滲透了辯證統(tǒng)一的思想。endprint

【整體評析】

數(shù)學核心素養(yǎng)可以理解為數(shù)學思想方法在具體學習領域中的表現(xiàn)，而思想方法是在操作層面實現(xiàn)數(shù)學核心素養(yǎng)的體現(xiàn)。在數(shù)學教學活動中，教師應激發(fā)學生的學習積極性，向?qū)W生提供充分經(jīng)歷數(shù)學活動的機會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數(shù)學知識與技能、數(shù)學思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學活動經(jīng)驗。

1.追溯本質(zhì)，滲透數(shù)學思想

學生學習數(shù)學知識的過程，尤其是新知的形成過程，其實就是對數(shù)學思想方法體驗的過程。數(shù)學思想方法是需要學生經(jīng)歷認知過程，才能逐步體會、理解和掌握的。

巧數(shù)方格，滲透轉(zhuǎn)化思想。方格是學生熟悉的學習面積的工具，盡管長方形面積公式是從若干個面積的計量單位排列的操作實踐中推導出來的，但是獲得公式后，教師更關注的是公式的熟練掌握和變式練習，學生對長代表一行能擺幾個面積的計量單位、寬代表能擺相同的幾行這一事實逐漸忽略淡忘。到了五年級學習《平行四邊形面積》時，教材中也編排了借助方格數(shù)平行四邊形面積的內(nèi)容，但很多教師僅僅把方格當作數(shù)的工具，“不足一格的按半格計算”從數(shù)學角度看也不夠嚴謹，還有的完全拋棄了方格，直接進入了操作環(huán)節(jié)。

細讀教材，數(shù)方格其實也是“轉(zhuǎn)化”，因此在教學中應該重視數(shù)方格的過程和方法，幫助學生建立空間觀察，初步感受轉(zhuǎn)化的魅力。用方格圖嘗試著數(shù)出平行四邊形面積的過程中，有的學生先數(shù)出整格，再通過觀察選擇對應的兩個不足一格的部分湊成一格后再數(shù)；有的學生發(fā)現(xiàn)把每行左邊的半格平移到右邊，就能轉(zhuǎn)化成小長方形（即“小補”），利用數(shù)面積單位的方法確定了平行四邊形的面積，避免了“不到一格算半格”的不足；還有的學生面對放在方格圖下的平行四邊形，想到了把左邊的三角形整體“移”到另一邊，正好“補”成一個長方形（即“大補”）。學生在交流中分享經(jīng)驗 ，在“移、補”中，完成了從“平行四邊形到長方形”的轉(zhuǎn)化，這些方法正是“出入相補”思想的體現(xiàn)。不管是“小補”還是“大補”，恰恰滲透了本課的核心操作——用割、補的方法把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形，初步體驗到了轉(zhuǎn)化的好處，“將未知轉(zhuǎn)化為已知”“將復雜轉(zhuǎn)化為簡單”，為后續(xù)教學進行了鋪墊，降低了難度。

動手剪拼，感悟轉(zhuǎn)化思想。數(shù)學知識的探究過程，實際上就是數(shù)學思想的發(fā)生過程。揭開數(shù)學這種嚴謹、抽象的面紗，將發(fā)現(xiàn)過程中的活生生的教學“返璞歸真”地交給學生，讓學生親自參與“知識再發(fā)現(xiàn)”的過程，經(jīng)歷探索過程的磨礪，就是對學生最好的滲透和訓練。數(shù)學思想方法在小學數(shù)學課堂教學中只可意會，不需言傳，讓學生明白其中的道理，掌握內(nèi)在的規(guī)律就達到了教學的目的，無須讓學生記住這是什么思想方法，否則就會使課堂教學顯得牽強與做作，與學生的認知脫節(jié)，影響學生思維能力的發(fā)展。

用方格圖能數(shù)出圖形的面積，如果方格沒有了，面積怎么求呢？由于有之前“大補”成長方形的活動經(jīng)驗，學生會下意識地想：是不是也可以把這個沒有方格的平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形求出面積呢？ 但怎樣轉(zhuǎn)化呢？對此，教師給學生提供了平行四邊形紙片，提供足夠的空間去思考，足夠的時間去探討，引導他們自己通過操作尋找合理途徑。學生在匯報時，既可以表達出自己的想法，又發(fā)現(xiàn)平行四邊形可以剪拼成一個長方形，原平行四邊形的面積與拼成的長方形的面積相等，計算出這個平行四邊形的面積就能知道平行四邊形的面積，在不同的方法轉(zhuǎn)化中抓住本質(zhì)點——沿高剪拼。以上探究活動，學生經(jīng)歷了化新為舊、化難為易的過程，發(fā)現(xiàn)了知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，思維始終聚焦在“轉(zhuǎn)化”的本質(zhì)上，感悟了轉(zhuǎn)化思想的本質(zhì)。

抽象歸納，建立數(shù)學模型。學生經(jīng)歷了數(shù)學思想方法的認知、嘗試、體驗等學習過程，頭腦中會或多或少地形成一些活動經(jīng)驗，但這些經(jīng)驗是零散的、低層次的，要從“經(jīng)歷”走向“經(jīng)驗”，形成比較穩(wěn)定、完整的數(shù)學思想方法經(jīng)驗系統(tǒng)，需要將知識中隱含的思想方法加以歸納提煉，學生才能牢固掌握數(shù)學思想方法。

在學生找到合理轉(zhuǎn)化途徑之后，又一個現(xiàn)實問題擺在他們的面前：是不是以后要求平行四邊形的面積，都要找一個和它同樣大小的圖形進行剪拼，轉(zhuǎn)化成長方形來計算才能得出這個平行四邊形的面積呢？這就引導學生不得不去思考將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形除了面積不變外，還存在著哪些聯(lián)系。通過觀察數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)：平行四邊形的底和轉(zhuǎn)化后的長方形的長數(shù)值相等，平行四邊形的高和長方形的寬數(shù)值相等，平行四邊形的面積正好是底和高的乘積，由此一步步推導出平行四邊形面積的計算公式。脫離圖形，梳理轉(zhuǎn)化的過程，溝通知識前后間的聯(lián)系，把形象直觀的操作過程轉(zhuǎn)化成具體的數(shù)學方法，建立了數(shù)學模型。

2.溝通聯(lián)系，感受數(shù)學文化

數(shù)學是一種文化，數(shù)學教育既是科學素養(yǎng)的教育，也是一種文化素質(zhì)的教育。每一個數(shù)學知識的背后都有豐富的數(shù)學文化，在教學中，應適時地向?qū)W生介紹一些數(shù)學趣聞與數(shù)學史料，使學生了解數(shù)學知識的產(chǎn)生與發(fā)展源于人類生活的需要，體會數(shù)學在人類發(fā)展史中的作用，體現(xiàn)數(shù)學文化的人文價值。

《平行四邊形的面積》一課主要是運用轉(zhuǎn)化思想，通過剪拼，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形，因此，開課就用韋恩圖的方式溝通了長方形、正方形與平行四邊形間的本質(zhì)聯(lián)系；接著引導學生數(shù)方格，通過補成滿格初步感知平行四邊形與長方形之間的關系；再去掉方格后進行剪拼，進一步明確平行四邊形可以轉(zhuǎn)化成長方形；這樣，未知的問題與以往的經(jīng)驗有了良好對接，認知的道路由此打通。最后通過對比它們的底（長）、高（寬）和面積的數(shù)據(jù)，再次溝通這兩個圖形之間的聯(lián)系，水到渠成地探索出平行四邊形面積的計算方法，直觀而牢固，清晰而深刻。課尾，教師與孩子們一起走進了東漢時期數(shù)學典籍《九章算術》，《方田章》中的一段論述讓學生馬上明白了這其實就是課始的韋恩圖里長方形和平行四邊形之間的關系。古人經(jīng)過長期的探索，也能從一般到特殊的研究圖形面積，首尾呼應，滲透了辯證統(tǒng)一的思想。

3.激活思維，提升數(shù)學素養(yǎng)

學生數(shù)學素養(yǎng)的形成是一個長期的、不斷體驗的、慢慢積淀的過程。在課堂教學中，應給學生提供足夠的思維時間和空間，讓學生自主建構數(shù)學知識或解決數(shù)學問題。在這個過程中，形成問題意識，學會數(shù)學思維，領悟數(shù)學精神，體驗數(shù)學價值，將數(shù)學素養(yǎng)的形成真正落實到課堂教學并有效地融入學生的學習過程中，持之以恒，學生的數(shù)學素養(yǎng)才能真正得到培養(yǎng)和提升。

本課始終以“轉(zhuǎn)化”這一重要的數(shù)學思想方法貫穿探索平行四邊形面積計算方法的全過程，給學生預留充分的“獨立思考”“合作討論”“交流反饋”等學習空間與時間，站在學生的角度來設想問題，挖掘其背后存在的數(shù)學問題，體現(xiàn)數(shù)學問題的真實性。如：在將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形的過程中為什么面積是不變的？又如：為什么平行四邊形的面積等于底×高？還如：為什么要“沿高剪”呢？接二連三的問題“轟炸”，不僅激發(fā)了學生探究的欲望，促進學生學會數(shù)學的思考，用數(shù)學的眼光看待事物，而且培養(yǎng)了學生良好的學習品質(zhì)和思維品質(zhì)，從而有效地培養(yǎng)學生的探索精神和探究新知識的能力，而這正是數(shù)學學科素養(yǎng)中重要的內(nèi)容。

（作者單位：何麗娜，武漢市江漢區(qū)紅領巾學校；張志平，武漢市江漢區(qū)小學教研室）

責任編輯 陳建軍endprint