我的“恒成立”問題

邱浩??

摘要：恒成立問題是高中數(shù)學(xué)一種常見題型，在高三的模擬考試和全國(guó)各地的高考中屢有出現(xiàn)，是高三復(fù)習(xí)的重點(diǎn)也是難點(diǎn)，解決好恒成立的問題，需要扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)，但也需要掌握一些典型的方法。恒成立問題考查函數(shù)不等式等知識(shí)以及轉(zhuǎn)化化歸等數(shù)學(xué)思想，因此備受命題者青睞。本文將恒成立問題的幾種典型的方法略作歸納。

關(guān)鍵詞：教學(xué)方式；教學(xué)案例；公式

方法一、構(gòu)造函數(shù)

1. 確定主要元素，利用函數(shù)單調(diào)性解決。

例1求使不等式x2+px+1>2p+x對(duì)于|p|≤2恒成立的x的取值范圍。

分析：多元不等式問題求解的關(guān)鍵在于確定哪個(gè)元素為主要元素。這個(gè)問題的常見錯(cuò)誤是把它當(dāng)成關(guān)于x的不等式討論。正確的是將p作為主要元素，就可轉(zhuǎn)化為關(guān)于p在[-2，2]內(nèi)的一次函數(shù)大于0恒成立的問題。

解：不等式化為（x-1）p+x2-2x+1>0，

令：f（p）=（x-1）p+x2-2x+1，

轉(zhuǎn)化為：f（p）=（x-1）p+x2-2x+1>0在[-2，2]上恒成立

解得f（-2）>0

f（2）>即x2-4x+3>0

x2-1>0

得：x>3或x<1

x>1或x<-1

∴x<-1或x>3。

2. 構(gòu)造二次函數(shù)，利用根的分布來解決。

例2不等式sin2x+acosx+a2≥1+cosx對(duì)一切x∈R恒成立，若a<0，求a的取值范圍。

分析：這類和三角函數(shù)綜合的問題，思路要明確，首先有換元思想，構(gòu)造成二次函數(shù)，可以參照其圖像來解決。

解：不等式可化為：cos2x+（1-a）cosx-a2≤0

令：cosx=t，因?yàn)閤∈R，所以t∈[-1，1]，

設(shè)f（t）=t2+（1-a）t-a2

即f（t）=t2+（1-a）t-a2≤0在t∈[-1，1]上恒成立

得a<0

f（1）=1+1-a-a2≤0

f（-1）=1-（1-a）-a2≤0

a<0

a≤-2或a≥1

a≤0或a≥1a≤-2

故所求的a的范圍為（-∞，-2]。

方法二、分離變量，求函數(shù)的最值的方法。

例4已知二次函數(shù)f（x）=ax2+x+1對(duì)x∈[0，2]恒有f（x）>0，求a的取值范圍。

分析：分離變量是一種很典型的方法，在把變量分離之前，一定要注意能否分，分了之后不等式的符號(hào)能否確定，必要時(shí)候還要進(jìn)行討論，本題就結(jié)合了分類討論的思想進(jìn)行分離變量。

解：對(duì)x∈[0，2]恒有f（x）>0即ax2+x+1>0變形為ax2>-（x+1）

當(dāng)x=0時(shí)對(duì)任意的a都滿足f（x）>0只需考慮x≠0的情況

a>-（x+1）x2即a>-1x-1x2

要滿足題意只要保證a比右邊的最大值大就行。

現(xiàn)求-1x-1x2在x∈（0，2]上的最大值。令t=1x

∴t≥12

g（t）=-t2-t=-t+122+14（t≥12）

g（t）max=g12=-34所以a>-34

又f（x）=ax2+x+1是二次函數(shù)∴a≠0

∴a>-34且a≠0

方法三、數(shù)形結(jié)合，直觀求解。

例5不等式ax≤x（4-x）在x∈[0，3]內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

解：畫出兩個(gè)函數(shù)y=ax和y=x（4-x）在x∈[0，3]上的圖像，如圖：

知當(dāng)x=3時(shí)y=3，a=33

當(dāng)a≤33x∈[0，3]時(shí)總有ax≤x（4-x）所以a≤33

作者簡(jiǎn)介：邱浩，江蘇省句容市，句容市第三中學(xué)。endprint